二次函数知识点总结和分类试题【精华篇】

1 二次函数知识点 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 2yaxbc a 0a 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而 可以为零 二次函数的定义域是全体实数 0 bc 2 二次函数 的结构特征 2yaxbc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 bc bc 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性2yaxc 质 上加下减 3 的 2yaxh 性质 左加右减 4 2yaxhk 的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0 轴y 时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 0 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大xx 值 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 0c 轴y 时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 ca 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大x0 x 值 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 0h X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 0a 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大yxxh 值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 2 三 二次 函数 图象 的平 移 1 平 移步骤 方 法一 将 抛物线 解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2yaxhk hk 保持抛物线 的形状不变 将其顶点平移到 处 具体平移方法如下 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿 轴平移 向上 下 平移 个单位 变成cbxay 2ymcbxay 2 或 mcbxa 2 沿轴平移 向左 右 平移 个单位 变成cxy2 cxy2 或 ba mxbxy 2 四 二次函数 与 的比较 2yaxhk 2ac 从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前者 即yxb 其中 224bacyax 242achk 五 二次函数 图象的画法2yxb 五点绘图法 利用配方法将二次函数 化为顶点式 确定其开口方向 对称轴及2yaxbc 2 yaxhk 顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 y 0c 以及 关于对称轴对称的点 与 轴的交点 若与 轴没有交点 则取两组关于 0c hc 10 x 2 x 对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与 轴的交点 y 0a 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 k 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大yxxh 值 3 六 二次函数 的性质2yaxbc 1 当 时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0 2bxa 24bac 当 时 随 的增大而减小 当 时 随 的增大而增大 当 时 有最小值2bxa yx yx2bxa y 4c 2 当 时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当 时 随 的增0a 2bxa 24bac 2bxa yx 大而增大 当 时 随 的增大而减小 当 时 有最大值 2bxa yx y2 七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 yc bc0a 2 顶点式 为常数 2 xhkahk 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 1a 0 1x2x 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物 线与 轴有交点 即 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式24bc 可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a 二次函数 中 作为二次项系数 显然 2yxbc a0a 当 时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 开口越大 0 当 时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 开口越大 a 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大小 aa 2 一次项系数 b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在 的前提下 0 当 时 即抛物线的对称轴在 轴左侧 02 y 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 b a 当 时 即抛物线对称轴在 轴的右侧 0 02 y 在 的前提下 结论刚好与上述相反 即a 当 时 即抛物线的对称轴在 轴右侧 ba 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 0 02 y 当 时 即抛物线对称轴在 轴的左侧 b a 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 b 4 的符号的判定 对称轴 在 轴左边则 在 轴的右侧则 概括的说就是 左同ababx2 y0 aby0 ab 右异 总结 3 常数项 c 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴上方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为正 0 yxy 当 时 抛物线与 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴下方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为负 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 c 总之 只要 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 ab 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目 的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于 轴对称x 关于 轴对称后 得到的解析式是 2yabc x 2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 xhk hk 2 关于 轴对称y 关于 轴对称后 得到的解析式是 2abc y 2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 yxhk hk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2abc 2yaxbc 关于原点对称后 得到的解析式是 yxhk hk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 关于顶点对称后 得到的解析式是 2abc 22byaxca 关于顶点对称后 得到的解析式是 yxhk hk 5 关于点 对称 mn 关于点 对称后 得到的解析式是 2yaxhk n 2yaxhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此 永远不变 求抛物线a 5 的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先确定原抛物线 或表 达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向 然后再写出其对称抛 物线的表达式 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 轴交点情况 x 一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况 20axbc 2yabc 0y 图象与 轴的交点个数 当 时 图象与 轴交于两点 其中的 是一元二次方程24 x 120AxB 12 x 12x 的两根 这两点间的距离 20axbca 214bac 当 时 图象与 轴只有一个交点 x 当 时 图象与 轴没有交点 当 时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 1 0a x0y 当 时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 2 x 2 抛物线 的图象与 轴一定相交 交点坐标为 2yaxbc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数 中 的符号 或由二次函数中 的符号判断图2yaxbc abcabc 象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与 轴的一个交点x 坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数 下面以2 0 axbc 时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 0a 图像参考 抛物线与 轴有x 两个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与 轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与 轴无x 交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 6 y x 2 2 y 2x2 y x2 y 2x 2 y x2 y x22 y 2x 2 4 y 2x2 2 y 2x2 y 3 x 4 2 y 3 x 2 2y 3x 2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2y 2x2 y 2 x 4 2 3 y 2 x 4 2y 2x2 7 十一 函数的应用 二次函数应用 何 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义 性质 有关试题常出现在选择题中 如 已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点 则 的值是 x 2 2 mxy m 2 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函 数的图像 试题类型为选择题 如 如图 如果函数 的图像在第一 二 三象限内 那么函数 的图像大致是 bkxy 12 bxky y y y y 1 1 0 x o 1 x 0 x 0 1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式 有关习题出现的频率很高 习题类型有中档解答题和选拔性的 综合题 如 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对称轴为 求这条抛物线的解析式 35 x 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 有关试题为解答题 如 已知抛物线 a 0 与 x 轴的两个交点的横坐标是 1 3 与 y 轴交点的纵坐标是 2yaxbc 32 1 确定抛物线的解析式 2 用配方法确定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力 常见的作为专项压轴题 例题经典 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 1 二次函数 的图像如图 1 则点 在 2yaxbc acbM A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数 a b c 之间的关系 是解决问题的关键 例 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x 1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的正半轴的交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 例 4 2006 年烟台市 如图 单位 m 等腰三角形 ABC 以 2 米 秒的速度沿直线 L 向正方形移动 直到 AB 与 CD 重合 设 x 秒时 三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 1 写出 y 与 x 的关系式 2 当 x 2 3 5 时 y 分别是多少 3 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时 三角形移动了多长时间 求抛物线顶点坐标 对称轴 例 5 已知抛物线 y x2 x 15 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 求线段 AB 的长 点评 本题 1 是对二次函数的 基本方法 的考查 第 2 问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例 6 已知 二次函数 y ax2 b 1 x 3a 的图象经过点 P 4 10 交 x 轴于 两点 交 0 1A 2xB 21x y 轴负半轴于 C 点 且满足 3AO OB 1 求二次函数的解析式 2 在二次函数的图象上是否存在点 M 使锐角 MCO ACO 若存在 请你求出 M 点的横 坐标的取值范围 若不存在 请你说明理由 1 解 如图 抛物线交 x 轴于点 A x1 0 B x2 O 则 x1 x2 3 0 又 x 1O x 1 O 30A OB x 2 3x1 x 1 x2 3x12 3 x 12 1 x1 0 x 1 1 x 2 3 点 A 1 O P 4 10 代入解析式得解得 a 2 b 3 二次函数的解析式为 y 2x2 4x 6 2 存在点 M 使 MC0 ACO 2 解 点 A 关于 y 轴的对称点 A 1 O 直线 A C 解析式为 y 6x 6 直线 A C 与抛物线交点为 0 6 5 24 符合题意的 x 的范围为 1 x 0 或 O x 5 当点 M 的横坐标满足 1 x O 或 O x ACO 9 例 7 已知函数 的图象经过点 A c 2 cbxy 21 求证 这个二次函数图象的对称轴是 x 3 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写出求解过程 并画出二 次函数图象 若不能 请说明理由 2 请你根据已有的信息 在原题中的矩形框中 填加一个适当的条件 把原题补充完整 点评 对于第 1 小题 要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式 就要把原来的结论 函数 图象的对称轴是 x 3 当作已知来用 再结合条件 图象经过点 A c 2 就可以列出两个方程了 而解析式 中只有两个未知数 所以能够求出题中的二次函数解析式 对于第 2 小题 只要给出的条件能够使求出的二次 函数解析式是第 1 小题中的解析式就可以了 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件 可以考虑再给图象 上的一个任意点的坐标 可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等 解答 1 根据 的图象经过点 A c 2 图象的对称轴是 x 3 得cbxy 21 解得 321 2bc 2 3cb 所以所求二次函数解析式为 图象如图所示 2312 xy 2 在解析式中令 y 0 得 解得0 53 21 xx 所以可以填 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 3 或 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 5 0 53 令 x 3 代入解析式 得 25 y 所以抛物线 的顶点坐标为312 x 253 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种现实背景理解函数 将函数 视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思想 关注函数与相关知识的联系 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一点 P 使矩 形 PNDM 有最大面积 评析 本题是一道代数几何综合题 把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起 能很好考查学生的综 合应用能力 同时 也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关系如下表 x 元 15 20 30 y 件 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多少元 10 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b 则 解得 k 1 b 40 即一次函数表达式为152 0kb y x 40 2 设每件产品的销售价应定为 x 元 所获销售利润为 w 元 w x 10 40 x x 2 50 x 400 x 25 2 225 产品的销售价应定为 25 元 此时每日获得最大销售利润为 225 元 点评 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似 也有区别 主要有两点 1 设未知数在 当某某 为何值时 什么最大 或最小 最省 的设问中 某某 要设为自变量 什么 要设为函数 2 问的求 解依靠配方法或最值公式 而不是解方程 例 3 你知道吗 平时我们在跳大绳时 绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线 如图所示 正在甩绳的甲 乙 两名学生拿绳的手间距为 4 m 距地面均为 1m 学生丙 丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m 2 5 m 处 绳子 在甩到最高处时刚好通过他们的头顶 已知学生丙的身高是 1 5 m 则学生丁的身高为 建立的平面直角坐标系如 右图所示 A 1 5 m B 1 625 m C 1 66 m D 1 67 m 分析 本题考查二次函数的应用 答案 B 11 分类试题 二次函数的定义 考点 二次函数的二次项系数不为 0 且二次函数的表达式必须为整式 1 下列函数中 是二次函数的是 y x 2 4x 1 y 2x 2 y 2x 2 4x y 3x y 2x 1 y mx 2 nx p y 错误 未定义书签 y 5x F 4 2 在一定条件下 若物体运动的路程 s 米 与时间 t 秒 的关系式为 s 5t2 2t 则 t 4 秒时 该物体所经过 的路程为 3 若函数 y m2 2m 7 x 2 4x 5 是关于 x 的二次函数 则 m 的取值范围为 4 若函数 y m 2 x m 2 5x 1 是关于 的二次函数 则 m 的值为 6 已知函数 y m 1 x m2 1 5x 3 是二次函数 求 m 的值 二次函数的对称轴 顶点 最值 技法 如果解析式为顶点式 y a x h 2 k 则最值为 k 如果解析式为一般式 y ax2 bx c 则最值为 4ac b24a 1 抛物线 y 2x2 4x m2 m 经过坐标原点 则 m 的值为 2 抛物 y x2 bx c 线的顶点坐标为 1 3 则 b c 3 抛物线 y x 2 3x 的顶点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 若抛物线 y ax 2 6x 经过点 2 0 则抛物线顶点到坐标原点的距离为 A B C D 01514 5 若直线 y ax b 不经过二 四象限 则抛物线 y ax 2 bx c A 开口向上 对称轴是 y 轴 B 开口向下 对称轴是 y 轴 C 开口向下 对称轴平行于 y 轴 D 开口向上 对称轴平行于 y 轴 6 已知抛物线 y x 2 m 1 x 的顶点的横坐标是 2 则 m 的值是 14 7 抛物线 y x2 2x 3 的对称轴是 8 若二次函数 y 3x2 mx 3 的对称轴是直线 x 1 则 m 9 当 n m 时 函数 y m n x n m n x 的图象是抛物线 且其顶点在原点 此抛物线的开 口 10 已知二次函数 y x2 2ax 2a 3 当 a 时 该函数 y 的最小值为 0 11 已知二次函数 y mx2 m 1 x m 1 有最小值为 0 则 m 12 已知二次函数 y x2 4x m 3 的最小值为 3 则 m 函数 y ax2 bx c 的图象和性质 1 抛物线 y x2 4x 9 的对称轴是 2 抛物线 y 2x2 12x 25 的开口方向是 顶点坐标是 3 试写出一个开口方向向上 对称轴为直线 x 2 且与 y 轴的交点坐标为 0 3 的抛物线的解析式 4 通过配方 写出下列函数的开口方向 对称轴和顶点坐标 12 1 y x2 2x 1 2 y 3x 2 8x 2 3 y x2 x 4 12 14 5 把抛物线 y x2 bx c 的图象向右平移 3 个单位 在向下平移 2 个单位 所得图象的解析式是 y x2 3x 5 试求 b c 的值 6 把抛物线 y 2x 2 4x 1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 问所得的抛物线有没有最大值 若有 求出该最大值 若没有 说明理由 7 某商场以每台 2500 元进口一批彩电 如每台售价定为 2700 元 可卖出 400 台 以每 100 元为一个价格单位 若将每台提高一个单位价格 则会少卖出 50 台 那么每台定价为多少元即可获得最大利润 最大利润是多少元 函数 y a x h 2的图象与性质 1 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 23 xy1 2 已知函数 y 2x2 y 2 x 4 2 和 y 2 x 1 2 1 分别说出各个函数图象的开口方 对称轴和顶点坐标 2 分析分别通过怎样的平移 可以由抛物线 y 2x2得到抛物线 y 2 x 4 2和 y 2 x 1 2 3 试写出抛物线 y 3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标 1 右移 2 个单位 2 左移 个单位 3 先左移 1 个单位 再右移 4 个单位 23 4 试说明函数 y x 3 2 的图象特点及性质 开口 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 12 5 二次函数 y a x h 2的图象如图 已知 a OA OC 试求该抛物线的解析式 12 二次函数的增减性 1 二次函数 y 3x2 6x 5 当 x 1 时 y 随 x 的增大而 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减少 则 x 1 时 y 的值为 3 已知二次函数 y x2 m 1 x 1 当 x 1 时 y 随 x 的增大而增大 则 m 的取值范围是 4 已知二次函数 y x2 3x 的图象上有三点 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 且 3 x1 x20 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b0 b 0 c 0 B b 2a C a b c 0 D c0 a b c 0 a b c 0 b 2 4ac 0 abc 0 其中正 确的为 A B C D 4 当 bb c 且 a b c 0 则它的图象可能是图所示的 6 二次函数 y ax 2 bx c 的图象如图 5 所示 那么 abc b 2 4ac 2a b a b c 四个代数式中 值为正数的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 7 在同一坐标系中 函数 y ax2 c 与 y a 0 时 y 随 x 的增大而增大 则二次函数 y kx 2 2kx 的图象大致为图中的 kx A B C D 10 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相同 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其 中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 11 已知二次函数 y ax 2 bx c 经过一 三 四象限 不经过原点和第二象限 则直线 y ax bc 不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 二次函数与 x 轴 y 轴的交点 二次函数与一元二次方程的关系 1 如果二次函数 y x 2 4x c 图象与 x 轴没有交点 其中 c 为整数 则 c 写一个即 可 2 二次函数 y x 2 2x 3 图象与 x 轴交点之间的距离为 3 抛物线 y 3x 2 2x 1 的图象与 x 轴交点的个数是 A 没有交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D 有三个交点 4 如图所示 二次函数 y x 2 4x 3 的图象交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于点 C 则 ABC 的面积为 A 6 B 4 C 3 D 1 5 已知抛物线 y 5x 2 m 1 x m 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧 它们的距离平方等于为 则 m 的值为 4925 A 2 B 12 C 24 D 48 6 若二次函数 y m 5 x 2 2 m 1 x m 的图象全部在 x 轴的上方 则 m 的取值范围是 7 已知抛物线 y x 2 2x 8 1 求证 该抛物线与 x 轴一定有两个交点 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 且它的顶点为 P 求 ABP 的面积 函数解析式的求法 一 已知抛物线上任意三点时 通常设解析式为一般式 y ax2 bx c 然后解三元方程组求解 1 已知二次函数的图象经过 A 0 3 B 1 3 C 1 1 三点 求该二次函数的解析式 15 2 已知抛物线过 A 1 0 和 B 4 0 两点 交 y 轴于 C 点且 BC 5 求该二次函数的解析式 二 已知抛物线的顶点坐标 或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时 通常设解析式为顶点式 y a x h 2 k 求解 3 已知二次函数的图象的顶点坐标为 1 6 且经过点 2 8 求该二次函数的解析式 4 已知二次函数的图象的顶点坐标为 1 3 且经过点 P 2 0 点 求二次函数的解析式 三 已知抛物线与轴的交点的坐标时 通常设解析式为交点式 y a x x 1 x x 2 5 二次函数的图象经过 A 1 0 B 3 0 函数有最小值 8 求该二次函数的解析式 6 已知 x 1 时 函数有最大值 5 且图形经过点 0 3 则该二次函数的解析式 7 抛物线 y 2x2 bx c 与 x 轴交于 2 0 3 0 则该二次函数的解析式 8 若抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为 1 3 且与 y 2x2的开口大小相同 方向相反 则该二次函数的解析式 9 抛物线 y 2x2 bx c 与 x 轴交于 1 0 3 0 则 b c 10 若抛物线与 x 轴交于 2 0 3 0 与 y 轴交于 0 4 则该二次函数的解析式 11 根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式 1 当 x 3 时 y 最小值 1 且图象过 0 7 2 图象过点 0 2 1 2 且对称轴为直线 x 32 3 图象经过 0 1 1 0 3 0 4 当 x 1 时 y 0 x 0 时 y 2 x 2 时 y 3 5 抛物线顶点坐标为 1 2 且通过点 1 10 11 当二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1 3 x 2 1 时 且与 y 轴交点为 0 2 求这个二次函数 的解析式 16 12 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于 2 0 4 0 顶点到 x 轴的距离为 3 求函数的解析式 13 知二次函数图象顶点坐标 3 且图象过点 2 求二次函数解析式及图象与 y 轴的交点坐标 12 112 14 已知二次函数图象与 x 轴交点 2 0 1 0 与 y 轴交点是 0 1 求解析式及顶点坐标 15 若二次函数 y ax2 bx c 经过 1 0 且图象关于直线 x 对称 那么图象还必定经过哪一点 12 16 y x 2 2 k 1 x 2k k2 它的图象经过原点 求 解析式 与 x 轴交点 O A 及顶点 C 组成的 OAC 面 积 17 抛物线 y k2 2 x 2 m 4kx 的对称轴是直线 x 2 且它的最低点在直线 y x 2 上 求函数解析式 12 二次函数应用 一 经济策略性 1 某商店购进一批单价为 16 元的日用品 销售一段时间后 为了获得更多的利润 商店决定提高销售价格 经检 验发现 若按每件 20 元的价格销售时 每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时 每月能卖 210 件 假定每 月销售件数 y 件 是价格 X 的一次函数 1 试求 y 与 x 的之间的关系式 2 在商品不积压 且不考虑其他因素的条件下 问销售价格定为多少时 才能使每月获得最大利润 每月的最 大利润是多少 总利润 总收入 总成本 2 有一种螃蟹 从海上捕获后不放养最多只能活两天 如果放养在塘内 可以延长存活时间 但每天也有一定数 量的蟹死去 假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变 现有一经销商 按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养 在塘内 此时市场价为每千克 30 元 据测算 以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元 但是放养一天需各种费 用支出 400 元 且平均每天还有 10 千克蟹死去 假定死蟹均于当天全部售出 售价都是每千克 20 元 1 设 X 天后每千克活蟹的市场价为 P 元 写出 P 关于 X 的函数关系式 2 如果放养 X 天后将活蟹一次性出售 并记 1000 千克蟹的销售额为 Q 元 写出 Q 关于 X 的函数关系式 2 该经销商将这批蟹放养多少天后出售 可获最大利润 利润 销售总额 收购成本 费用 最大利润是多少 17 3 某商场批单价为 25 元的旅游鞋 为确定 一个最佳的销售价格 在试销期采用多种价格进性销售 经试验发现 按每双 30 元的价格销售时 每天能卖出 60 双 按每双 32 元的价格销售时 每天能卖出 52 双 假定每天售出鞋 的数量 Y 双 是销售单位 X 的一次函数 1 求 Y 与 X 之间的函数关系式 2 在鞋不积压 且不考虑其它因素的情况下 求出每天的销售利润 W 元 与销售单价 X 之间的函数关系式 3 销售价格定为多少元时 每天获得的销售利润最多 是多少