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习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间a, b内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1), 把区间a, b分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n). 第二步: 在第i个小区间xi-1, xi (i=1, 2, , n)上取右端点, 作和 . 第三步: 令l=maxDx1, Dx2, , Dxn, 取极限得所求面积 . 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(a0, 所以函数f(x)=xarctan x在区间上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4). 解 先求函数在区间0, 2上的最大值M与最小值m. , 驻点为. 比较f(0)=1, f(2)=e2, , 得, M=e2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在a, b上连续, 证明: (1)若在a, b上, f(x)0, 且, 则在a, b上f(x)0; 证明 假如, 则必有f(x)0. 根据f(x)在a, b上的连续性, 在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 这与条件相矛盾. 因此在a, b上f(x)0. (2)若在a, b上, f(x)0, 且, 则; 证明 证法一 因为f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 证法二 因为f(x)0, 所以. 假如不成立. 则只有, 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此. (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 则在a, b上f(x)g(x). 证明 令F(x)=g(x)-f(x), 则在a, b上F(x)0且 , 由结论(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)还是？ 解 因为当0x1时, x2x3, 所以. 又当0xx3, 所以. (2)还是？ 解 因为当1x2时, x2x3, 所以. 又因为当1x2时, x2x3, 所以. (3)还是？ 解 因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以. 又因为当1x2时, 0ln x(ln x)2, 所以. (4)还是？ 解 因为当0x1时, xln(1+x), 所以. 又因为当0ln(1+x), 所以. (5)还是？ 解 设f(x)=ex-1-x, 则当0x1时f (x) =ex-10, f(x)=ex-1-x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)=0, 即ex1+x, 所以. 又因为当01+x, 所以. 习题5-2 1. 试求函数当x=0及时的导数. 解 , 当x=0时, y=sin0=0; 当时, . 2. 求由参数表示式, 所给定的函数y对x的导数. 解 x(t)=sin t, y(t)=cos t, . 3. 求由所决定的隐函数y对x的导数. 解 方程两对x求导得 , 于是 . 4. 当x为何值时, 函数有极值？ 解 , 令I (x)=0, 得x=0. 因为当x0时, I (x)0时, I (x)0, 所以x=0是函数I(x)的极小值点. 5. 计算下列各导数: (1); 解 . (2); 解 . (3). 解 . 6. 计算下列各定积分: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 =-cosp +cos0+cos2p-cosp=4. (12), 其中. 解 . 7. 设k为正整数. 试证下列各题: (1); 证明 . (2); 证明 . (3); 证明 . (4). 证明 . 8. 设k及l为正整数, 且kl. 试证下列各题: (1); 证明 . (2); 证明 . (3). 证明 . . 9. 求下列极限: (1); 解 . (2). 解 . 10. 设. 求在0, 2上的表达式, 并讨论j(x)在(0, 2)内的连续性. 解 当0x1时, ; 当1x2时, . 因此 . 因为, , , 所以j(x)在x=1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 11. 设. 求在(-, +)内的表达式. 解 当xp时, . 因此 . 12. 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导且f (x)0, .证明在(a, b)内有F(x)0. 证明 根据积分中值定理, 存在xa, x, 使 . 于是有 . 由f (x)0可知f(x)在a, b上是单调减少的, 而axx, 所以f(x)-f(x)0. 又在(a, b)内, x-a0, 所以在(a, b)内 . 习题5-3 1. 计算下列定积分: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12) ; 解 . (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20). 解 . 2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1); 解 因为x4sin x在区间-p, p上是奇函数, 所以 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 因为函数是奇函数, 所以. 3. 证明: , 其中j(u)为连续函数. 证明 因为被积函数j(x2)是x的偶函数, 且积分区间-a, a关于原点对称, 所以有 . 4. 设f(x)在-b, b上连续, 证明. 证明 令x=-t, 则dx=-dt, 当x=-b时t=b, 当x=b时t=-b, 于是 , 而 , 所以 . 5. 设f(x)在a, b上连续., 证明. 证明 令x=a+b-t, 则dx=d t, 当x=a时t=b, 当x=b时t=a, 于是 , 而 , 所以 . 6. 证明: . 证明 令, 则, 当x=x时, 当x=1时t=1, 于是 , 而 , 所以 . 7. 证明: . 证明 令1-x=t , 则 , 即 . 8. 证明: . 证明 , 而 , 所以 . 9. 设f(x)是以l为周期的连续函数, 证明的值与a无关. 证明 已知f(x+l)=f(x). , 而 , 所以 . 因此的值与a无关. 10. 若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明是奇函数. 证明 设. 若f(t)是连续函数且为奇函数, 则f(-t)=-f(t), 从而 , 即是偶函数. 若f(t)是连续函数且为偶函数, 则f(-t)=f(t), 从而 , 即是奇函数. 11. 计算下列定积分: (1); 解 . (2); 解 . (3)(w为常数); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 所以 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解法一 . 因为 , 所以 . 因此 . 解法二 , 故 . (11); 解 . (12)(m为自然数); 解 . 根据递推公式, (13)(m为自然数). 解 因为 , 所以 (用第8题结果). 根据递推公式, 习题5-4 1. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值: (1); 解 因为 , 所以反常积分收敛, 且. (2); 解 因为, 所以反常积分发散. (3)(a0); 解 因为 , 所以反常积分收敛, 且. (4)(p1); 解 因为 , 所以反常积分收敛, 且. (5)(p0, w0); 解 ,所以 . (6); 解 . (7); 解 这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点. . (8); 解 这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点. 因为 , 而 , 所以反常积分发散. (9); 解 这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点. . (10). 解 这是无界函数的反常积分, x=e是被积函数的瑕点. . 2. 当k为何值时, 反常积分收敛? 当k为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值? 解 当k1时, . 因此当k1时, 反常积分收敛; 当k1时, 反常积分发散. 当k1时, 令, 则 . 令f (k)=0得唯一驻点. 因为当时f (k)0, 所以为极小值点, 同时也是最小值点, 即当时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分. 解 因为 , 所以 In= n(n-1)(n-2)2I1. 又因为 , 所以 I n= n(n-1)(n-2) 2I1=n!. 总习题五 1. 填空: (1)函数f(x)在a, b上(常义)有界是f(x)在a, b上可积的_条件, 而f(x)在a, b上连续是f(x)在a, b上可积_的条件; 解 函数f(x)在a, b上(常义)有界是f(x)在a, b上可积的_必要_条件, 而f(x)在a, b上连续是f(x)在a, b上可积_充分_的条件; (2)对a, +)上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分在a, +)上有界是反常积分收敛的_条件; 解 对a, +)上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分在a, +)上有界是反常积分收敛的_充分_条件; (3)绝对收敛的反常积分一定_; 解 绝对收敛的反常积分一定_收敛_; (4)函数f(x)在a, b上有定义且|f(x)|在a, b上可积, 此时积分_存在. 解 函数f(x)在a, b上有定义且|f(x)|在a, b上可积, 此时积分_不一定_存在. 2. 计算下列极限: (1); 解 . (2)(p0); 解 . (3); 解 . (4), 其中f(x)连续; 解法一 (用的是积分中值定理). 解法二 (用的是洛必达法则). (5). 解 . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由: (1); 解 计算不正确, 因为在-1, 1上不连续. (2)因为, 所以. 解 计算不正确, 因为在-1, 1上不连续. (3). 解 不正确, 因为 . 4. 设p0, 证明. 证明 . 因为 , 而 , , 所以 . 5. 设f (x)、g (x)在区间a, b上均连续, 证明: (1); 证明 因为f(x)-lg(x)20, 所以l2g 2(x)-2l f(x)g(x)+f 2(x)0, 从而 . 上式的左端可视为关于l的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即 , 亦即 . (2), 证明 , 又 , 所以 . 6. 设f (x)在区间a, b上连续, 且f (x)0. 证明. 证明 已知有不等式, 在此不等式中, 取, , 则有 , 即 . 7. 计算下列积分: (1); 解 . (2); 解 . 令 则 , 所以 . (3); 解 令x=a sin t, 则 . 又令, 则 , 所以 . (4); 解 . (5). 解 . 8. 设f(x)为连续函数, 证明. 证明 . 9. 设f(x)在区间a, b上连续, 且f(x)0, , xa, b. 证明: (1)F (x)2; (2)方程F(x)=0在区间(a, b)内有且仅有一个根. 证明 (1). (2)因为f(x)0, a0. 因f(x)在a, b上连续, 所以f(x)在a, b上有最大值M和最小值m即 mf(x)M, 因此有 mg(x)f(x)g(x)Mg(x). 根据定积分的性质, 有 , 或 . 因为f(x)在a, b上连续, 根据介值定理, 至少存在一点x(a, b), 使 , 即 . *12.(1)证明: 证明 =(2)证明
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