【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习：课时冲关练(二)--1.2向量、不等式、线性规划

1 课时冲关练 二 向量 不等式 线性规划 A 组 30 分钟 76 分 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 2014 杭州模拟 已知 A B C 三点在同一条直线 l 上 O 为直线外一 点 若 p q r 0 p q r R 则 p q r A 1 B 0 C 1 D 3 解析 选 B 因为 A B C三点在同一条直线上 所以存在实数 使 所以 即 1 0 因为 p q r 0 所以 p 1 q 1 r 所以 p q r 0 2 设向量 a 4 x b 2 1 且 a b 则 x 的值是 A 8 B 8 C 2 D 2 解析 选 A 因为 a b 所以 a b 4 2 x 0 解得 x 8 3 设 a b 为实数 则 0 ab 1 是 b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 D 0 ab0 b 0时 b 当 a 0 b 故不充分 反之 当 b 0 可有 ab0 则下列不等式恒成立的是 A a2 b2 2ab B a b 2 C D 2 解析 选 D 对于 A 当 a b 1时满足 ab 0 但 a2 b2 2ab 所以 A错 对于 B C 当 a b 1时满足 ab 0 但 a b 0 0 0 显然 B C不对 对于 D 当 ab 0时 由基本不等式可得 2 2 5 已知不等式 ax2 bx c 0 的解集为 x 2 x 4 则不等式 cx2 bx a 0 的解集为 A B C D 解析 选 D 由已知 a 0 把 2和 4看作方程 ax2 bx c 0的两个根 则 所以 b 6a c 8a 即 cx2 bx a 0 8ax2 6ax a 0 因为 a0 解得 x 或 xlgx x 0 B sinx 2 x k k Z C x2 1 2 x x R D 1 x R 解题提示 应用基本不等式 x y 为正实数 当且仅当 x y 时取等号 逐个分析 注意基本不等式的应用条件及取等号的条件 解析 选 C 当 x 0时 x 2 2 x x 所以 lg x 2 lgx x 0 故选项 A不正确 运用基本不等式时需保证一正 二定 三相等 而当 x k k Z 时 sinx 的正 负不定 故选项 B不正确 由基本不等式可知 选项 C正确 当 x 0时 有 1 故选项 D不正确 10 2014 合肥模拟 若不等式组 表示的平面区域的 面积为 3 则实数 a 的值是 A 1 B 2 C D 3 解析 选 B 作出可行域 如图中阴影部分所示 区域面积 S 2 2 3 解得 a 2 11 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b a b 其全程的平均时 速为 v 则 5 A a v B v C v D v 解析 选 A 由小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a和 b 则全程 的平均时速为 v 又因为 a b 所以 所以 a v0 所以 sin BAM 的最大值为 答案 15 2014 台州模拟 设 k R 若 1 x 2 时恒有 x3 3x2 2 1 k x 1 0 则 k 的取值集合是 7 解析 因为 1 x 2 时 恒有 1 k x 1 0 所以 所以 k 2 x 3 3x2 2 1 k x 1 则 1 k x 2 3x 设 f x x2 3x f x 2x 3 设 f x 0在 1 x 2 时的解为 a 所以函数 f x 在 1 a 上单调递减 在 a 2 上单调递增 因为 f 1 1 f 2 所以 f x max f 1 1 所以 1 k 1 所以 k 2 所以 k的取值集合是 2 答案 2 16 2014 潍坊模拟 已知 a 0 b 0 且 a 2b 1 则 的最小值为 解析 3 3 2 3 2 即 的最小值为 3 2 答案 3 2 B 组 30 分钟 76 分 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 2014 浏阳模拟 设 a b R 若 a b 0 则下列不等式中正确的是 8 A b a 0 B a3 b30 D a2 b20去掉绝对值号得到 a与 b的大小关系 从 而作出判断 亦可以在 a b R 的前提下取满足 a b 0的特殊实数 a b验证 解析 选 C 方法一 由 a b 0 得 a b 所以 a b0且 a b 0 所以 b a0 所以 B错 而 a2 b2 a b a b 0 所以 D错 方法二 特殊值法 因为 a b R 且 a b 0 所以取 a 2 b 1 则 b a 1 2 30 所以 B错 a2 b2 22 1 2 3 0 所以 D错 2 已知向量 a b 满足 a 3 b 2 且 a a b 则 a 与 b 的夹角 为 A B C D 解析 选 D a a b a a b a2 a b a 2 a b cos 0 9 故 cos 故所求夹角为 3 直线 ax by c 0 的某一侧的点 P m n 满足 am bn c0 b 0 时 该点位于该直线的 A 右上方 B 右下方 C 左下方 D 左上方 解析 选 D 因为 am bn c 0 b m 所以点 P所在的平面区域满足不等式 y x a 0 b0 故点 P在该直线的上侧 综上知 点 P在该直线的左上方 4 2014 绍兴模拟 已知约束条件对应的平面区域 D 如图所示 其中 l1 l2 l3对应的直线方程分别为 y k 1x b1 y k2x b2 y k3x b3 若目标函 数 z kx y 仅在点 A m n 处取到最大值 则有 A k1 k k2 B k1 k k3 C k1 k k 3 D kk3 解析 选 B 因为 z kx y仅在点 A m n 处取得最大值 则由 y kx z 可 知 k1 k k3 5 2014 黄冈模拟 在 ABC 中 3 则角 A 的最大值为 A B C D 10 解析 选 A 由 3 可得 3 0 化简可得 cosB 3 cos C cosA 0 A 所以 00 因为 a3 a2 2a1 所以 a1q2 a1q 2a1 解之得 q 2 又 4a1 所以 qm n 2 16 所以 2m n 2 16 因此 m n 6 则 m n 5 9 当且仅当 n 2m 即 n 4 m 2 时取等号 所以 m n 的最小值为 9 从而 的最小值为 7 2014 天津高考 已知菱形 ABCD 的边长为 2 BAD 120 点 E F 分别在边 BC DC 上 BE BC DF DC 若 1 则 11 A B C D 解析 选 C 因为 BAD 120 所 以 cos120 2 因为 BE BC 所以 因为 1 所以 1 即 2 2 同理可得 得 8 设 x y R 向量 a x 1 b 1 y c 2 4 且 a c b c 则 a b A B C 2 D 10 解析 选 B 因为 a x 1 b 1 y c 2 4 由 a c 得 a c 2x 4 0 所以 x 2 由 b c 得 1 4 2y 0 所以 y 2 因此 a b 2 1 1 2 3 1 则 a b 9 设 x y 满足约束条件 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的最大值为 12 则 的最小值为 A B C D 4 12 解题提示 先由已知结合线性规划知识可以求得 a b的关系式 再 由基本不等式求解 解析 选 A 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0与直线 3x y 6 0的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大值 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 所以 2 方法技巧 线性规划问题的求解关注 线性规划的实质是把代数问题几何化 即数形结合的思想 需要关注的 是 1 准确无误地作出可行域 2 画目标函数所对应的直线时 要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较 避免出错 3 一般情况下 目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上 取得 10 2014 温州模拟 在 ABC 中 若 2 则有 A B C D 13 解析 选 D 因为 2 所以 cosA 2 所以 cosA 因为 cosA是 在 上的投影 如图 所以 cosA 所以必须 C为钝角时才能满足 cosA 根据大角对大边得 最长 故选 D 11 2014 台州模拟 在 ABC 中 cos18 cos72 2cos63 2cos27 则 ABC 的面积为 A B C D 解析 选 B 2cos 18 cos 63 2cos 72 cos 27 2sin 27 cos 18 2cos 27 sin 18 2sin 27 18 2sin45 而 1 2 所以 cosB 所以 sinB 所以 S ABC sinB 12 定义 max a b 设实数 x y 满足约束条件 14 且 z max 4x y 3x y 则 z 的取值范围为 A 6 0 B 7 10 C 6 8 D 7 8 解析 选 B 因为 4x y 3x y x 2y 所以 z 直线 x 2y 0将约束条件 所确定 的平面区域分为两部分 如图 令 z1 4x y 点 x y 在四边形 ABCD上及其内部 求得 7 z 1 10 令 z2 3x y 点 x y 在四边形 ABEF上及其内部 除 AB边 求得 7 z 2 8 综上可知 z 的取值范围为 7 10 故选 B 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 13 已知函数 f x 若 f 2 a2 f a 则实数 a 的取值 范围是 解析 f x 由 f x 的图象可知 f x 在 上是单调增函数 由 f 2 a2 f a 得 2 a2 a 即 a2 a 2 0 解得 2 a 1 答案 2 a 1 15 14 2014 宁波模拟 已知点 O 是 ABC 的外接圆圆心 且 AB 3 AC 4 若存在非零实数 x y 使得 x y 且 x 2y 1 则 cos BAC 解析 因为 cos BAO 又因为 cos BAO 是 在 上的投影且 O为外接圆的圆心 所以 cos BAO 所以 同理 AC 8 又因为 x y 所以 x 2 y 9x y x y 2 x 16y 8 设 a 则有 解得 a 8 即 8 所以 cos BAC 答案 15 2014 衢州模拟 已知 x y 满足 则 的取值范 围是 解析 由题意作出可行性区域如图所示 16 设 z 则 z 1 设 k 则 z k 1 k的几何意义是可行域内任一点与点 4 2 连线的斜率 k的取值范围 由图象可得 所以 z 答案 16 2014 绍兴模拟 若不等式 m 在 x 0 1 时恒成立 则实 数 m 的最大值为 解析 设 f x x 0 1 f x 令 f x 0 得 x 1或 x 所以 f x 在 上为减函数 在 上为增函数 所以 f x min f 若 m 在 x 0 1 时恒成立 则 m 故 m的最大值为 答案