2014高中数学抽象函数专题习题

1 高中数学抽象函数专题 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f x kx k 0 f x y f x f y 幂函数 f x xn f xy f x f y 或 y fx f 指数函数 f x ax a 0 且 a 1 f x y f x f y f 或 对数函数 f x logax a 0 且 a 1 f xy f x f y y f x f yx f 或 正 余弦函数 f x sinx f x cosx f x T f x 正切函数 f x tanx y fx1 f yx f 余切函数 f x cotx f f f 一 定义域问题 多为简单函数与复合函数的定义域互求 例 1 若函数 y f x 的定义域是 2 2 则函数 y f x 1 f x 1 的定义域为 练习 已知函数 f x 的定义域是 求函数 的定义域 2 1 f3log21 例 2 已知函数 的定义域为 3 11 求函数 f x 的定义域 xf3log 2 练习 定义在 上的函数 f x 的值域为 若它的反函数为 f 1 x 则 y f 8 3 2 1 2 3x 的定义域为 值域为 二 求值问题 抽象函数的性质是用条件恒等式给出的 可通过赋特殊值法 使问题得以解决 例 3 对任意实数 x y 均满足 f x y2 f x 2 f y 2 且 f 1 0 则 f 2001 R 上的奇函数 y f x 有反函数 y f 1 x 由 y f x 1 与 y f 1 x 2 互为反函 数 则 f 2009 例 4 已知 f x 是定义在 R 上的函数 f 1 1 且对任意 x R 都有 f x 5 f x 5 f x 1 f x 1 若 g x f x 1 x 则 g 2002 练习 1 f x 的定义域为 对任意正实数 x y 都有 f xy f x f y 且 f 4 2 则 0 2 f 2 的 值 是则且如 果 201 f 5 f634 1 f2 f y x f 2 1 ff222 4683 5 7 ffffff 3 对任意整数 函数 满足 若 则yx xf 1 xyfyxf f 8 f A 1 B 1 C 19 D 43 4 函数 f x 为 R 上的偶函数 对 都有 成立 若 则xR 6 3 fxf 1 2f 205 f A 2005 B 2 C 1 D 0 5 定义在 R 上的函数 Y f x 有反函数 Y f 1 x 又 Y f x 过点 2 1 Y f 2x 的反函数为 Y f 1 2x 则 Y f 1 16 为 A B C 8 D 161816 3 的 值求的 值求均 有 对 所 有上 的 函 数 满 足 是 定 义 在为 实 数 且 已 知 71 2 1 1 0 10 6fayafxfayxf yxffa 三 值域问题 例 4 设函数 f x 定义于实数集上 对于任意实数 x y f x y f x f y 总成立 且存在 使得 求函数 f x 的值域 21x 21xff 四 求解析式问题 换元法 解方程组 待定系数法 递推法 区间转移法 例 5 已知 f 1 sinx 2 sinx cos2x 求 f x 例 6 设对满足 x 0 x 1 的所有实数 x 函数 f x 满足 求 xfx 1 f x 的解析式 例 7 已知 f x 是多项式函数 且 f x 1 f x 1 2x2 4x 求 f x 4 例 8 是否存在这样的函数 f x 使下列三个条件 f n 0 n N f n 1 n2 f n1 f n2 n1 n2 N f 2 4 同时成立 若存在 求出 函数 f x 的解析式 若不存在 说明理由 例9 已知 是定义在R上的偶函数 且 恒成立 当 时 xf 21 3 xff 3 2 x 则 时 函数 的解析式为 f 0 2 xf A B C D 24 12 练习 1 23 x f x 1 f2 x f x f x fy 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设 2 重庆 已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f f x x2 x f x x2 x 若 f 2 3 求 f 1 又若 f 0 a 求 f a 设有且仅有一个实数 x0 使得 f x0 x0 求函数 f x 的解析表达式 3 函数 f x 对一切实数 x y 均有 f x y f y x 2y 1 x 成立 且 f 1 0 1 5 求 的值 2 对任意的 都有 f x1 20 时 f x 0 时 f x 1 且对于任意实数 x y 有 f x y f x f y 求证 f x 在 R 上为增函数 6 例 11 已知偶函数 f x 的定义域是 x 0 的一切实数 对定义域内的任意 x1 x2都 有 且当 时 1 f x 在 0 上是增1212 fxf 1 0 2 ff 函数 2 解不等式 2 f 练习 已知函数 f x 的定义域为 R 且对 m n R 恒有 f m n f m f n 1 且 f 0 当 x 时 f x 0 求证 f x 是单调递增函数 2121 例 12 定义在 R 上的函数 f x 满足 对任意实数 m f xm mf x f 2 1 1 求证 f xy f x f y 对任意正数 x y 都成立 2 证明 f x 是 R 上的单调增函数 3 若 f x f x 3 2 求 x 的取值范围 练习 1 定义在 R 上的函数 y f x f 0 0 当 x 0 时 f x 1 且对 7 任意的 a b R 有 f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 求证 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x 2 1 求 x 的取值范围 练习 2 已知函数 f x 对任何正数 x y 都有 f xy f x f y 且 f x 0 当 x 1 时 f x un n N 2 定义域为R的函数f x 满足 对于任意的实数x y都有f x y f x f y 成立 且当x 0时f x 0恒成立 1 判断函数f x 的奇偶性 并证明你的结论 2 证明f x 为减函数 若函数f x 在 3 3 上总有 f x 6成立 试确定f 1 应满足的条件 0a n afx fn1 x fa fn1x 22 是 一 个 给 定 的 自 然 数的 不 等 式解 关 于 3 已知 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且 f 1 1 若 a b 1 1 a b 0 时 有 0 baf 1 判断函数 f x 在 1 1 上是增函数 还是减函数 并证明你的结论 2 解不等式 f x f 2 3 若 f x m 2 2pm 1 对所有 x 1 1 p 1 1 p 是常数 恒成立 求实数 m 的取值范围 10 七 周期性与对称性问题 由恒等式简单判断 同号看周期 异号看对称 编 号 周 期 性 对 称 性 1 T 2 axff 对称轴 是 axff ax yfx 偶函数 对称中心 a 0 xff 是奇函数ya 2 T xbfaf 对称轴 bff 2bax 对称中心 xff 0 3 f x f x a T 2a f x f x a 对称中心 2a 4 T 2 xbff 对称中心 xbfaf 0 b 5 f x T 2 xf 1f x b f x a 对称中心 2 a 6 f x 1 T 3 0 1 xfaa 11 结论 1 函数图象关于两条直线 x a x b 对称 则函数 y f x 是周期函数 且 T 2 a b 2 函数图象关于点 M a 0 和点 N b 0 对称 则函数 y f x 是周期函数 且 T 2 a b 3 函数图象关于直线 x a 及点 M b 0 对称 则函数 y f x 是周期函数 且 T 4 a b 4 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别 y f a x 与 y f b x 关于 对称 y f a x 与 y f b x 关于点 对称2abx 0 2 ab 例 17 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 函数 f x 对于任意的实数 x 都有 f 1 2x f 1 2x 则 f 2x 的图像关于 对称 例 18 已知函数 y f x 满足 求 的值 20 xf xfxf 2011 例 19 奇函数 f x 定义在 R 上 且对常数 T 0 恒有 f x T f x 则在区间 0 2 T 上 方程 f x 0 根的个数最小值为 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 练习 12 1 函数 是偶函数 则 的图象关于 对称 1 xfy xfy 2 函数 满足 且 则 1 3 ff 13 20 f 3 函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 且 则 2fx 1 3 45 ff 4 已知函数 是定义在 R 上的奇函数 函数 是 的反函数 若 21 yfx ygx 则 120 x 1 g A 2 B 0 C 1 D 2 5 设 f x 是 R 的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1 时 f x x 则 f 7 5 0 5 6 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 3 则 f 1 x f 1 3 x 7 f x 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数 且 f 2 0 则方程 f x 0 在区间 0 6 内解的个数的最小值是 A 4 B 5 C 6 D 7 8 设函数 f x 的定义域为 1 3 且函数 f x 的图象关于点 2 0 成中心对称 已 知当 x 2 3 时 f x 2x 求当 x 1 2 时 f x 的解析式 9 山东 已知定义在 R 上的奇函数 满足 且在区间 0 2 上 xf 4 fxfx 是增函数 若方程 f x m m 0 在区间 上有四个不同的根 则 8 12341234 xx 八 综合问题 13 例 21 定义在 R 上的函数 f x 满足 对任 意实数 m n 总有 且当 x 0 时 0 f x 0 时 f x 1 且对任意 x y R 有 f x y f x f y f 1 2