Excel回归分析结果的详细阐释

1 Excel 回归分析结果的详细阐释 利用 Excel 的数据分析进行回归 可以得到一系列的统计参量 下面以连续 10 年积雪深度和灌溉面积序列 图 1 为例给予详细的说明 图 1 连续 10年的最大积雪深度与灌溉面积 1971 1980 回归结果摘要 Summary Output 如下 图 2 图 2 利用数据分析工具得到的回归结果 第一部分 回归统计表 这一部分给出了相关系数 测定系数 校正测定系数 标准误差和样本数目如下 表 1 表 1 回归统计表 2 逐行说明如下 Multiple 对应的数据是相关系数 correlation coefficient 即 R 0 989416 R Square 对应的数值为测定系数 determination coefficient 或称拟合优度 goodness of fit 它是相关系数的平 方 即有 R2 0 9894162 0 978944 Adjusted 对应的是校正测定系数 adjusted determination coefficient 计算公式为1 12 mnRRa 式中 n 为样本数 m 为变量数 R2 为测定系数 对于本例 n 10 m 1 R 2 0 978944 代入上式得9763 00 84 a 标准误差 standard error 对应的即所谓标准误差 计算公式为 Se1 ns 这里 SSe 为剩余平方和 可以从下面的方差分析表中读出 即有 SSe 16 10676 代入上式可得4892 067 10 s 最后一行的观测值对应的是样本数目 即有 n 10 第二部分 方差分析表 方差分析部分包括自由度 误差平方和 均方差 F 值 P 值等 表 2 表 2 方差分析表 ANOVA 逐列 分行说明如下 第一列 df 对应的是自由度 degree of freedom 第一行是回归自由度 dfr 等于变量数目 即 dfr m 第二行 为残差自由度 dfe 等于样本数目减去变量数目再减 1 即有 dfe n m 1 第三行为总自由度 dft 等于样本数目减 1 即有 dft n 1 对于本例 m 1 n 10 因此 dfr 1 dfe n m 1 8 dft n 1 9 第二列 SS 对应的是误差平方和 或称变差 第一行为回归平方和或称回归变差 SSr 即有8542 7 Sr12 niiiy 它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差 第二行为剩余平方和 也称残差平方和 或称剩余变差 SSe 即有1067 Se12 niiiy 3 它表征的是因变量对其预测值的总偏差 这个数值越大 意味着拟合的效果越差 上述的 y 的标准误差即由 SSe 给出 第三行为总平方和或 称总变差 SSt 即有 它表示的是因变量对其平均值的总偏差 容易验证 748 8542 16 10676 764 961 即有Ster 而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重 即有 9784 061 74528St2 R 显然这个数值越大 拟合的效果也就越好 第四列 MS 对应的是均方差 它是误差平方和除以相应的自由度得到的商 第一行为回归均方差 MSr 即有52 dfrM 第二行为剩余均方差 MSe 即有 0134 867 1feS 显然这个数值越小 拟合的效果也就越好 第四列对应的是 F 值 用于线性关系的判定 对于一元线性回归 F 值的计算公式为221dfe 1RmnF 式中 R2 0 978944 dfe 10 1 1 8 因此 9453 798 01 第五列 Significance F 对应的是在显著性水平下的 F 临界值 其实等于 P 值 即弃真概率 所谓 弃真概率 即模型为假的概率 显然 1 P 便是模型为真的概率 可见 P 值越小越好 对于本例 P 0 0000000542 0 0001 故置信度达到 99 99 以上 第三部分 回归参数表 回归参数表包括回归模型的截距 斜率及其有关的检验参数 表 3 表 3 回归参数表 第一列 Coefficients 对应的模型的回归系数 包括截距 a 2 356437929 和斜率 b 1 812921065 由此可以建立回 归模型 ii xy8129 564 2 或 961 74 Sr12 niiiy 4 iii xy 8129 3564 2 第二列为回归系数的标准误差 用 或 表示 误差值越小 表明参数的精确度越高 这个参数较少使用 as b 只是在一些特别的场合出现 例如 L Benguigui 等人在 When and where is a city fractal 一文中将斜率对应的标准误 差值作为分形演化的标准 建议采用 0 04 作为分维判定的统计指标 参见 EPB2000 不常使用标准误差的原因在于 其统计信息已经包含在后述的 t 检验中 第三列 t Stat 对应的是统计量 t 值 用于对模型参数的检验 需要查表才能决定 t 值是回归系数与其标准误 差的比值 即有 ast bt 根据表 3 中的数据容易算出 289167 7 135642 at 285 1904 8 bt 对于一元线性回归 t 值可用相关系数或测定系数计算 公式如下 12 mnRt 将 R 0 989416 n 10 m 1 代入上式得到 285 910846 9 t 对于一元线性回归 F 值与 t 值都与相关系数 R 等价 因此 相关系数检验就已包含了这部分信息 但是 对 于多元线性回归 t 检验就不可缺省了 第四列 P value 对应的是参数的 P 值 双侧 当 P 0 05 时 可以认为模型在 0 05 的水平上显著 或者置信 度达到 95 当 P 0 01 时 可以认为模型在 0 01 的水平上显著 或者置信度达到 99 当 P 0 001 时 可以 认为模型在 0 001 的水平上显著 或者置信度达到 99 9 对于本例 P 0 0000000542 0 0001 故可认为在 0 0001 的水平上显著 或者置信度达到 99 99 P 值检验与 t 值检验是等价的 但 P 值不用查表 显然要方便 得多 最后几列给出的回归系数以 95 为置信区间的上限和下限 可以看出 在 0 05 的显著水平上 截距的变化 上限和下限为 1 85865 和 6 57153 即有 5713 685 1 a 斜率的变化极限则为 1 59615 和 2 02969 即有 0299b 第四部分 残差输出结果 这一部分为选择输出内容 如果在 回归 分析选项框中没有选中有关内容 则输出结果不会给出这部分结 果 残差输出中包括观测值序号 第一列 用 i 表示 因变量的预测值 第二列 用 表示 残差 residuals iy 第三列 用 ei 表示 以及标准残差 表 4 表 4 残差输出结果 5 预测值是用回归模型 ii xy8129 3564 2 计算的结果 式中 xi 即原始数据的中的自变量 从 图 1 可见 x1 15 2 代入上式 得189 3564 2 xy 91284 5 其余依此类推 残差 ei 的计算公式为 iiiye 从图 1 可见 y 1 28 6 代入上式 得到 31284 9 26 8 11 ye 其余依此类推 标准残差即残差的数据标准化结果 借助均值命令 average 和标准差命令 stdev 容易验证 残差的算术平均值 为 0 标准差为 1 337774 利用求平均值命令 standardize 残差的单元格范围 均值 标准差 立即算出表 4 中的结果 当然 也可以利用数据标准化公式 var iizz iz 逐一计算 将残差平方再求和 便得到残差平方和即剩余平方和 即有 1067 1212 niiini yeS 利用 Excel 的求平方和命令 sumsq 容易验证上述结果 以最大积雪深度 xi 为自变量 以残差 ei 为因变量 作散点图 可得残差图 图 3 残差点列的分布越是没有 趋势 没有规则 即越是随机 回归的结果就越是可靠 用最大积雪深度 xi 为自变量 用灌溉面积 yi 及其预测值 为因变量 作散点图 可得线性拟合图 图 4 iy 最 大 积 雪 深 度 x 米 Residual Plot 3 2 1 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 最 大 积 雪 深 度 x 米 残差 图 3 残差图 最 大 积 雪 深 度 x 米 Line Fit Plot 0 10 20 30 4 50 60 0 10 20 30 最 大 积 雪 深 度 x 米 灌溉 面积 y 千 亩 灌 溉 面 积 y 千 亩 预 测 灌 溉 面 积y 千 亩 图 4 线性拟合图 第五部分 概率输出结果 在选项输出中 还有一个概率输出 Probability Output 表 表 5 第一列是按等差数列设计的百分比排位 第二列则是原始数据因变量的自下而上排序 即从小到大 选中图 1 中的第三列 C 列 数据 用鼠标点击 6 自下而上排序按钮 立即得到表 5 中的第二列数值 当然 也可以沿着主菜单的 数据 D 排序 S 路径 打开数据排序选项框 进行数据排序 用表 5 中的数据作散点图 可以得到 Excel 所谓的正态概率图 图 5 表 5 概率输出表 Normal Probability Plot 0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 Sample Percentile 灌溉 面积 y 千 亩 图 5 正态概率图 几点说明 第一 多元线性回归与一元线性回归结果相似 只是变量数目 m 1 F 值和 t 值等统计量与 R 值也不再 等价 因而不能直接从相关系数计算出来 第二 利用 SPSS 给出的结果与 Excel 也大同小异 当然 SPSS 可以给出更多的统计量 如 DW 值 在表 示方法上 SPSS 也有一些不同 例如 P Value P 值 用 Sig 显著性 表征 因为二者等价 只要能够读懂 Excel 的回归摘要 就可以读懂 SPSS 回归输出结果的大部分内容 更多相关资料 请参考