理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法

极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式， 以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，A正确.有两个零点：，即：-得： 根据对数平均值不等式：，而， B正确，C错误而+得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则， -得：，化简得： 而根据对数平均值不等式：等式代换到上述不等式根据：（由得出）式变为： ，在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数 .如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，两边取对数-得： 根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数 ，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：-得：，即： 根据对数平均值不等式：，+得：根据均值不等式：函数在单调递减题目5：已知函数与直线交于两点.求证：【解析】由，可得：，-得： +得：根据对数平均值不等式利用式可得：由题于与交于不同两点，易得出则上式简化为: