数列通项公式的求解方法-2

一对一个性化辅导数列通项公式的求解方法一、公式法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。四、待定系数法例7 已知数列满足，求数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。五、对数变换法例10 已知数列满足，求数列的通项公式。六、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式。七、数学归纳法例12 已知数列满足，求数列的通项公式。八、换元法例13 已知数列满足，求数列的通项公式。九、不动点法例14 已知数列满足，求数列的通项公式。例15 已知数列满足，求数列的通项公式。十、特征根法例16 已知数列满足，求数列的通项公式。习题练习1在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.2 已知等比数列的公比，前3项和() 求数列的通项公式； () 若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式3. 设数列满足,(1)求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,4. 已知数列的前项和为，且满足：， N*，.（）求数列的通项公式； （）若存在 N*，使得，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论.5. 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、。(I) 求数列的通项公式；(II) 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。6.（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当nk时，都成立.（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式.7. 已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.8. 已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式； （II）求数列的前n项和9. 等比数列的各项均为正数，且（)求数列的通项公式；（）设 求数列的前n项和.10. 设等差数列满足，。（）求的通项公式； （）求的前项和及使得最大的序号的值。11. 设数列满足且.（）求的通项公式；（）设，记，证明：.12在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为（）若，证明成等比数列；（）若对任意，成等比数列，其公比为() 设,证明是等差数列;() 若,证明.13. 在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为（）证明成等比数列；（）求数列 的通项公式；（）记证明14. 已知数列满足：且（）（）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）证明：（）。15. 已知公差不为0的等差数列的首项为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）对，试比较与的大小16. 已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和（）当、成等差数列时，求q的值；（）当、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、也成等差数列17. 已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。18. 数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。19. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，-为公差的等差数列。求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式。 例题答案解析例1解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。例2解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例3解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例5解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6解：因为所以用式式得则故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。例7解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例10解：因为，所以。在式两边取常用对数得设11将式代入11式，得，两边消去并整理，得，则，故代入11式，得 12由及12式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例11解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。例12解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。例13解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例14解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程组求得从而。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。