2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)

虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 1 页 OC1D1B1A1 DCBA 虹口区 2017 学年度第二学期期中教学质量监控测试 高三数学 试卷 时间 120 分钟 满分 150 分 2018 4 一 填空题 1 6 题每小题 4 分 7 12 题每小题 5 分 本大题满分 54 分 1 已知 且 则实数 的范围是 Aa 1 2 BAB a 2 直线 与直线 互相平行 则实数 0 xy 20 xay 3 已知 则 3cos5 tn 4 4 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 则 222coscs 5 已知函数 则 0 1xf 1 9 f 6 从集合 随机取一个为 从集合 随机取一个为 则方程 1 2 3m 2 1 n 表示双曲线的概率为 2xymn 7 已知数列 是公比为 的等比数列 且 成等差数列 则 naq2a43q 8 若将函数 表示成 则 的值等于 6 fx 23601 fxxaax 3 9 如图 长方体 的边长 它的外接球是球 则1ABCD 1AB 这两点的球面距离等于 A1 10 椭圆的长轴长等于 短轴长等于 则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 mn 11 是不超过 的最大整数 则方程 满足 的所有实数解是 x 271 04xx x 12 函数 对于 且 记 sinfx 123n 12 8n 10n 则 的最大值等于 1234 Mfxffxffx M 二 选择题 每小题 5 分 满分 20 分 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 2 页 13 下列函数是奇函数的是 A 1fx B sincofxx C arcosfx D0 xf 14 在 中 点 是线段 的三等分点 点 在线段 上运动且满足RtC AMNAPBC 当 取得最小值时 实数 的值为 Pk PN k A 12 B13 14 18 15 直线 与圆 交于 两点 且 过点 分别作 0lkxy 2xy AB42A AB 的垂线与 轴交于点 则 等于 lMN 4 8 A2 B C2 D 16 已知数列 的首项 且 是此数列的前 项和 na1a 04 146nna nSn 则以下结论正确的是 不存在 和 使得 不存在 和 使得 A25nS Ban2016n 不存在 和 使得 不存在 和 使得Ca017 D8S 三 解答题 本大题满分 76 分 17 本题满分 14 分 第 1 小题 7 分 第 2 小题 7 分 如图 直三棱柱的底面是等腰直角三角形 1ABC 2BAC 高等于 3 点 为所在线段的三等分点 1M21N2 1 求此三棱柱的体积和三棱锥 的体积 12MN 2 求异面直线 所成的角的大小 12A 18 本题满分 14 分 第 1 小题 7 分 第 2 小题 7 分 已知 中 角 所对应的边分别为 BC abc cosinzA 是虚数单位 是方程 的根 i20z 3 1 若 求边长 的值 4 c P2P1 C1B1A1 N2N1M2M1 CBA 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 3 页 2 求 面积的最大值 ABC 19 本题满分 14 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 平面内的 向量列 如果对于任意的正整数 均有 则称此 向量列 为 等 na n1nad 差向量列 称为 公差向量 平面内的 向量列 如果 且对于任意的正整数 均有d b0 n 则称此 向量列 为 等比向量列 常数 称为 公比 1nnbq 0 q 1 如果 向量列 是 等差向量列 用 和 公差向量 表示 na 1a d 12na 2 已知 是 等差向量列 公差向量 是 n 3 0 d 1 nxy b 等比向量列 公比 求 2q 1 b nnmk 2bb 20 本题满分 16 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 5 分 第 3 小题 7 分 如果直线与椭圆只有一个交点 称该直线为椭圆的 切线 已知椭圆 点 是 2 1xCy Mmn 椭圆 上的任意一点 直线 过点 且是椭圆 的 切线 ClMC 1 证明 过椭圆 上的点 的 切线 方程是 mn12mxny 2 设 是椭圆 长轴上的两个端点 点 不在坐标轴上 直线 分别交 轴ABC ABy 于点 过 的椭圆 的 切线 交 轴于点 证明 点 是线段 的中点 PQlyDPQ 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 4 页 OF2F1 BA xy 3 点 不在 轴上 记椭圆 的两个焦点分别为 和 判断过 的椭圆 的 切线 MmnxC1F2MC 与直线 所成夹角是否相等 并说明理由 l1F2 21 本题满分 18 分 第 1 小题 3 分 第 2 小题 7 分 第 3 小题 8 分 已知函数 3 fxa aR x 1xg R 1 如果 是关于 的不等式 的解 求实数 的取值范围 42x 0f a 2 判断 在 和 的单调性 并说明理由 gx 31 34 1 2 3 证明 函数 存在零点 q 使得 成立的充要条件f 4732naqq 是 4a 虹口区 2017 学年度第二学期高三年级数学学科 期中教学质量监控测试题答案 一 填空题 1 6 题每小题 4 分 7 12 题每小题 5 分 本大题满分 54 分 1 2 2 3 4 2 5 6 7 或 a 1 2 112 8 20 9 10 11 或 12 16 mn1x 二 选择题 每小题 5 分 满分 20 分 13 14 15 16 BCDA 三 解答题 本大题满分 76 分 17 14 分 解 1 2 12ABCS 13ABCV 分 到平面 的距离等于 即 到平面132AMS 112NP2P1 C1B1A1 N2N1M2M1 CBA 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 5 页 的距离等于 1AB1 122132AMNAV 三棱柱 的体积等于 立方单位 三棱锥 的体积等于 立方单位 CB312AMN 1 7 分 2 取线段 的三等分点 连 1A1P2121PC 的大小等于异面直线 所成的角或其补角的 1NPCM 12AN1 大小 9 分 121A 12 26C 216cosPC 异面直线 所成的角的大小等于 14 分12N1M3 18 14 分 解 1 的两个根为 2 分20z 12zi 4 分cos2A 3sinA 得 7 分562ii14C sinicaC 326c 2 22oabcA 从而 等号当 时成立 此时 9bc 9 bc 的面积的最大值等于 14 分max193sin24Sbc BC 34 19 14 分 解 1 设 nnaxy 12 d 由 得 所以数列 是以 为首项 公差为 的等差数列 数列1nad 112ny nx11d 是以 首项 公差为 的等差数列 3 分 ny12 2112 nnnaxxyy 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 6 页 112112 2 2nxdnydnxynd 6 分a 2 设 nnxy nbmk 由 从而 11 11 3 0 nnxyxy 13nx 数列 是以 1 为首项 公差为 3 的等差数列 从而 数列 是常数列 0ny nx 2x y 由 得 又 数列 是以 1 为首项 公比为12nb 1nnm 12nk 1m13k nm 2 的等比数列 数列 是以 3 为首项 公比为 2 的等比数列 从而有 10 分 k 2 32nk 121 1n n naabxxyky 令 211247 3 n nSxm 347 n 得 得21 2 nn 5 2nS 令 123 nnnnTykyk 从而 14 分12 2 nnnababST 20 16 分解 1 由点 在椭圆 上 有 在直线 上 MmC21m Mmn12xny 当 时 由 得 直线方程为 代入椭圆方程得 得0n 21n 2x20y 一个交点 直线 是椭圆 切线 ml 当 时 有 直线为 代入椭圆方程得 有0n 21n 12myxn 2210 xmn 直线是椭圆 切线 4 分22214 0 C 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 7 页 另解 不讨论将椭圆方程化为 将直线方程 代入消 得到 的一元 22nxyn 12mxny yx 二次方程 然后证明 0 2 点 不在坐标轴上 得 Mmn 2AMyxm 0 2nP 得 6 分 2 Byx 0 nQ 过点 的切线为 得 由 得 从而有 mn 1ly 1 0 D21n 22mn 点 是线段 的中点 9 分224PQnym PQ 3 的方向向量 Mn 1xly l 2 dn 记 与 的夹 21m 0 F 2 1 MFm2 1 MFmn d 1MF 角 与 的夹角 12 分 d 2 122 22 cos4 1 44nnMnFmm 222 22 cs dnnnm 所以 有 从而有 与直线 所成的夹角相等 16 分osc l1MF2 21 18 分 解 1 由 得 3 分 334 02aa 34 2 设 21x 121211332 xxxgx 当 时 3124210 x 10 12x 3124x 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 8 页 有 6 分12 x 12 0 x 21 0gx 当 时 3240 32 3 32x 31240 x 有 12 x 12 x 1 0gx 当 时 0 303x 2 21 gx 在 递减 在 和 上递增 从而在 上递增 10 分 gx34 24 2 34 1 3 充分性 当 时 有 又 函数 3a 3334 022af a 0f 在 内的图像连续不断 故在 内一定存在零点 且 有3 fxa 31 231 q1 得 从而 14 分30q 3q 4732naqq 必要性 当 时 0 当 时 由 成立 可得 从而得 0q 4732naqq 31q 1q 由 2 中的结论可知 在 递减 在 递增 从而 31a 3 1xg 34 4 2 或 4 gx 34 x 从而 时 有 18 分31qa 1 34a