线性代数第三章习题解

线性代数第三章习题解1. 计算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) ;2) ;3) .2. 计算下列三阶行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 将行列式按第一列展开2) 将行列式按第二行展开3)3. 计算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D=0.2) 将行列式按第一列展开得3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得4. 利用行列式的性质计算下列行列式1) ;2) ;3) 解: 下面都将所求行列式的值设为D.1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D=0;2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a,d,f, 再从第1,2,3列提取公因子b,c,e, 得3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) ;2) 解:1)2)6. 计算下列n阶行列式1) 2) 解: 1) 设此行列式的值为D, 将第2,3,n列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为, 将此公因式提出, 因此有再令第n行减去第n-1行, 第n-1行减去第n-2行, , 第2行减去第1行, 可得2) 此题和第3题的2)一样, 因此有7. 证明下列行列式1) 2) 证: 1)2) 用归纳法, 设Dn为所求行列式值, 当n=1时, 等式成立.假设当n=k时假设成立, 即有当n=k+1时, 证毕.8. 求矩阵的伴随矩阵A*, 并求A-1.解: 因此得A的行列式为因此有9. 设A为三阶方阵, A*是A的伴随矩阵, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)-1-2A*|的值.解: 因, 以及, 还有,则10. 设A为n阶可逆阵, A2=|A|I, 证明: A的伴随矩阵A*=A.证: 因A可逆, 则在等式A2=|A|I两边乘A-1, 得A=|A|A-1, 即, 而因为, 所以有A=A*, 证毕.11. 用克莱姆法则解下列方程组.(1) (2) 解: (1) 方程的系数矩阵A为, 常数向量, 则求A的逆矩阵:因此得则方程的解X为即x1=3,x2=4,x3=5.(2) 方程的系数矩阵A为, 常数向量先求A的逆A-1:因此有则即x1=0, x2=2, x3=0, x4=0.12. 如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?解: 此方程组的系数矩阵A为要使方程组有非零解, 必须有det(A)=0.而因此, 只有当k=5或者k=2或者k=8时, 此方程组才有非零解.13. 问, 取何值时, 齐次线性方程组有非零解?解: 此方程组的系数矩阵A为, 要使方程组有非零解, 必须det(A)=0, 而因此, 只有当=1或者=0时, 方程组才有非零解.