特殊四边形中常添加的辅助线

1 特殊四边形 作辅助线 添加辅助线解特殊四边形 特殊四边形主要包括平行四边形 矩形 菱形 正方形和梯形 在解决一些 和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线 下面介绍一些辅助线的添加方法 知识点一 平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形 包括矩形 正方形 菱形 的两组对边 对角和对角线都具 有某些相同性质 所以在添辅助线方法上也有共同之处 目的都是造就线段 的平行 垂直 构成三角形的全等 相似 把平行四边形问题转化成常见的 三角形 正方形等问题处理 其常用方法有下列几种 举例简解如下 1 连对角线或平移对角线 2 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 3 连接对角线交点与一边中点 或过对角线交点作一边的平行线 构造 线段平行或中位线 4 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段 构造三角形相似或等 积三角形 5 过顶点作对角线的垂线 构成线段平行或三角形全等 第一类 连结对角线 把平行四边形转化成两个全等三角形 例 1 如图 1 在平行四边形 中 点 在对角线 上 且 请ABCDFE ACFE 你以 为一个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 猜想并证明F 它和图中已有的某一条线段相等 只需证明一条线段即可 连结 B 证明 连结 设 交于点 OF 四边形 为平行四边形 ACDBDCA 即E FE E 四边形 为平行四边形 BF 图2图1 OO E CC A B D A B D E F 第二类 平移对角线 把平行四边形转化为梯形 例 2 如图 2 在平行四边形 中 对角线 和 相交于点 O 如果ACDCD 那么 的取值范围是 1 C0BDm 2 A B C D 1 m2 120 m65 m 解 将线段 沿 方向平移 使得 则有四边形DEDB 为平行四边形 在 中 CBEAE 0AB2 即 解得 故选 A020 第三类 过一边两端点作对边的垂线 把平行四边形转化为矩形和直角三角形 问题 例 3 已知 如图 3 四边形 为平行四边形BCD 求证 222 AAC 证明 过 分别作 于点 的延长线于点 F E BCF BCEEBA 2 2222 DCDFBD 则 CFBAAC 2222 四边形 为平行四边形 且 BCA FB 09 EFE E 222 DBD 3 2 1 图4图3 K P F E DC FE DA B C B A 第四类 延长一边中点与顶点连线 把平行四边形转化为三角形 例 4 已知 如图 4 在正方形 中 分别是 的中点 与ADE CDBE 交于 点 求证 CFPBP 证明 延长 交 的延长线于点 四边形 为正方形 FKAB 且 ABDC09 又 K 109 AFDCD KF E21E 09DBCBC 0931 3 则 0932 09 CPB09 KPBABP 第五类 延长一边上一点与一顶点连线 把平行四边形转化为平行线型相似三 角形 例 5 如图 5 在平行四边形 中 点 为边 上任一点 请你在该图基ADEC 础上 适当添加辅助线找出两对相似三角形 解 延长 与 的延长线相交于 则有 AEBFA F F CB 图6图5 F ON DD B A C B A C E F E 第六类 把对角线交点与一边中点连结 构造三角形中位线 例 6 已知 如图 6 在平行四边形 中 ACDBN E31 交 于 求DFB 解 连结 交 于点 连结ACON 四边形 为平行四边形 2 DO 且 N C21B21 FBNE BE313 BE3 52OF51DF 综上所述 平行四边形中常添加辅助线是 连对角线 平移对角线 延长 一边中点与顶点连线等 这样可将平行四边形转化为三角形 或特殊三角形 矩形 梯形 等图形 为证明解决问题创造条件 知识点二 和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线 借助菱形的判定定理或 性质定定理解决问题 例 7 如图 7 在 ABC 中 ACB 90 BAC 的平分线交 BC 于点 D E 是 AB 上一点 且 AE AC EF BC 交 AD 于点 F 求证 四边形 CDEF 是菱形 分析 要证明四边形 CDEF 是菱形 根据已知条件 本题有两种判定方法 一是 证明四边相等的四边形是菱形 二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 根据 AD 是 BAC 的平分线 AE AC 可通过连接 CE 构造等腰三角形 借助三 4 线合一证明 AD 垂直 CE 求 AD 平分 CE 证明 连结 CE 交 AD 于点 O 由 AC AE 得 ACE 是等腰三角形 因为 AO 平分 CAE 所以 AO CE 且 OC OE 因为 EF CD 所以 1 2 又因为 EOF COD 所以 DOC 可以看成由 FOE 绕点 O 旋转而成 所以 OF OD 所以 CE DF 互相垂直平分 所以四边形 CDEF 是菱形 图 7 图 8 例 8 如图 8 四边形 ABCD 是菱形 E 为边 AB 上一个定点 F 是 AC 上一个动 点 求证 EF BF 的最小值等于 DE 长 分析 要证明 EF BF 的最小值是 DE 的长 可以通过连结菱形的对角线 BD 借 助菱形的对角线互相垂直平分得到 DF BF 然后结合三角形两边之和大于第三 边解决问题 证明 连结 BD DF 因为 AC BD 是菱形的对角线 所以 AC 垂直 BD 且平分 BD 所以 BF DF 所以 EF BF EF DF DE 当且仅当 F 运动到 DE 与 AC 的交点 G 处时 上式等号成立 所以 EF BF 的最小 值恰好等于 DE 的长 综上所述 菱形是一种特殊的平行四边形 和菱形的有关证明题或计算题作辅 助线的不是很多 常见的几种辅助线的方法有 1 作菱形的高 2 连结菱形的对角线 知识点三 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种 1 计算型题 一般通过作辅助线构造直角三 角形借助勾股定理解决问题 2 证明或探索题 一般连结矩形的对角线借助 对角线相等这一性质解决问题 和矩形有关的试题的辅助线的作法较少 例 9 如图 9 已知矩形 ABCD 内一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 PD 的长 分析 要利用已知条件 因为矩形 ABCD 可过 P 分别作两组对边的平行线 构 造直角三角形借助勾股定理解决问题 5 解 过点 P 分别作两组对边的平行线 EF GH 交 AB 于 E 交 CD 于 F 交 BC 于点 H 交 AD 于 G 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 PF2 CH2 PC2 PH2 DF 2 AE2 AP2 EP2 PH 2 PE2 BP2 所以 PD2 PC2 PH2 AP2 EP2 PC2 AP2 PB2 52 32 42 18 所以 PD 3 2 图 9 图 10 说明 本题主要是借助矩形的四个角都是直角 通过作平行线构造四个小矩形 然后根据对角线得到直角三角形 利用勾股定理找到 PD 与 PA PB PC 之间 的关系 进而求到 PD 的长 知识点四 与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形 它既是轴对称图形 又是中心对称图形 有 关正方形的试题较多 解决正方形的问题有时需要作辅助线 作正方形对角线是 解决正方形问题的常用辅助线 例 10 如图 10 过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE AC 且 AE AC 又 CF AE 求 证 BCF 2 1 AEB 分析 由 BE AC CF AE AE AC 可知四边形 AEFC 是菱形 作 AH BE 于 H 根据正方形的性质可知四边形 AHBO 是正方形 从 AH OB 2 1 AC 可算出 E ACF 30 BCF 15 证明 连接 BD 交 AC 于 O 作 AH BE 交 BE 于 H 在正方形 ABCD 中 AC BD AO BO 又 BE AC AH BE 所以 BO AC 所以四边形 AOBH 为正方形 所以 AH AO 2 1 AC 因为 AE AC 所以 AEH 30 因为 BE AC AE CF 所以 ACFE 是菱形 所以 AEF ACF 30 因为 AC 是 6 正方形的对角线 所以 ACB 45 所以 BCF 15 所以 BCF 2 1 AEB 说明 本题是一道综合题 既涉及正方形的性质 又涉及到菱形的性质 通过连 接正方形的对角线构造正方形 AHBO 进一步得到菱形 借助菱形的性质解决 题 知识点五 与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的 主要涉及以下几种类型 1 作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形 2 作梯形的高 构造 矩形和直角三角形 3 作一对角线的平行线 构造直角三角形和平行四边形 4 延长两腰构成三角形 5 作两腰的平行线等 例 11 已知如图 11 在梯形 ABCD 中 AD BC AB AC BAC 90 BD BC BD 交 AC 于点 0 求证 CO CD 分析 要证明 CO CD 可证明 COD CDO 由于已知 BAC 90 所以可通过 作梯形高构造矩形 借助直角三角形的性质解决问题 证明 过点 A D 分别作 AE BC DF BC 垂足分别是 E F 则四边形 AEFD 为矩形 因为 AE DF AB AC AE BC BAC 90 所以 AE BE CE 2 1 BC ACB 45 所以 AE DF 2 1 又 DF BC 所以在 Rt DFB 中 DBC 30 又 BD BC 所以 BDC BCD 752180DBC 所以 DOC DBC ACB 30 45 75 所以 BDC DOC 所以 C0 CD 图 11 图 12 说明 在证明线段相等时 一般利用等角对等边来证明 本题作梯形的高将梯 形转化为矩形和直角三角形 进而根据直角三角形知识解决 例 12 如图 12 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AC BD AD BC 10 DE BC 7 于 E 求 DE 的长 分析 根据本题的已知条件 可通过平移一条对角线 把梯形转化为平行四边 形和直角三角形 借助勾股定理解决 解 过点 D 作 DF AC 交 BC 的延长线于 F 则四边形 ACFD 为平行四边形 所 以 AC DF AD CF 因为四边形 ABCD 为等腰梯形 所以 AC DB BD FD 因为 DE BC 所以 BE EF 2 1 BF BC CF 2 1 BC AD 2 1 10 5 因为 AC DF BD AC 所以 BD DF 因为 BE FE 所以 DE BE EF 5 即 DE 的长为 5 说明 当有对角线或垂直成梯形时 常作梯形对角线的平行线 构造平行四边形 等腰三角形或直角三角形来解决 知识点六 和中位线有关辅助线的作法 例 13 如图 13 在四边形 ABCD 中 AC 于 BD 交于点 0 AC BD E F 分别是 AB CD 中点 EF 分别交 AC BD 于点 H G 求证 OG OH 分析 欲证 0G OH 而 OG OH 为同一个三角形的两边 又 E F 分别是 AB CD 中点 所以可试想作辅助线 构造三角形中位线解决问题 证明 取 AD 中点 P 连结 PE PF 因为 E 是 AB 的中点 F 是 CD 的中点 所以 PE BD 且 PE 2 1 BD PF AC 且 PF 2 1 AC 所以 PEF PFE 又 PEF OGH PFE OHG 所以 OGH OHG 所以 OG OH 图 13 说明 遇中点 常作中位线 借助中位线的性质解题