空间几何体的表面积与体积练习题.及答案

空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1棱长为2的正四面体的表面积是(C)A. B4 C4 D16解析每个面的面积为：22.正四面体的表面积为：4.2把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 (B)A2倍 B2倍 C.倍 D.倍解析由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积VR3，知体积扩大到原来的2倍3如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为(B)A. B. C. D.解析根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积VV长方体V正三棱锥4462.4某几何体的三视图如下，则它的体积是(A)A8 B8 C82 D.解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V2328.5已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(A)A24 B24 C24 D24据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V23412324.6某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为(C)A. cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为23312130；中间部分的表面积为21，下面部分的表面积为24416264.故其表面积是94.7已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥S-ABC的体积为(C)A3 B2 C. D1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SDx，则DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在SAD和SBD中，由已知条件可得ADBDx，又因为SC为直径，所以SBCSAC90，所以DCBDCA60，在BDC中 ，BD(4x)，所以x(4x)，所以x3，ADBD，所以三角形ABD为正三角形，所以VSABD4.二、填空题8三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_解析依题意有，三棱锥PABC的体积VSABC|PA|223.9一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 32_解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2r2r4r2，设球的半径是R，则球的表面积是4R2，根据已知4R24r2，所以Rr.所以圆柱的体积是r22r2r3，球的体积是r3，所以圆柱的体积和球的体积的比是32.10如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V11.11如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_2R2_解析由球的半径为R，可知球的表面积为4R2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2r2R2.而圆柱的侧面积为2r2h4rh42R2(当且仅当rh时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2R2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2R2.12如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_13_cm.解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为13 (cm)三、解答题13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为VVPEFGHVABCDEFGH402604022064 000(cm3)14 .一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S2(11112)62.15已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示(1)几何体的体积为：VS矩形h68464.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h15.左、右侧面的底边上的高为：h24.故几何体的侧面面积为：S24024.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2r=a，底面圆的面积是，于是全面积与侧面积的比是，2在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）. 2解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体积是， 3一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 。3答案：148 cm2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm，所以底面边长是5cm，侧面面积是455=100cm2，两个底面面积是48cm2，所以棱柱的全面积是148cm2.4已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。4答案：2：解：设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式，得，所以它们的高的比是.5已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_5答案：1cm3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm，2cm的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3， 则它的体积是13=1cm3. 6矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为 6答案：解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=b2a，矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=a2b，所以两个几何体的体积的比是16四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解析(1)如图，在四面体ABCD中，设ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD平面BPC，VA-BCDVA-BPCVD-BPCSBPCAPSBPCPDSBPCADa xa3(当且仅当xa时取等号)该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，S表2a22a a2aa2a2.5