点差法习题(有答案)

点差法习题若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、 以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。答 案例1. 解：设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例2. 解：设存在被点平分的弦，且、则，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。例3. 解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ，两式相减得即 ，即点的坐标为。例4. 解：设弦端点、，弦的中点，则， 又 ，两式相减得即，即 ，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为例5.解：设椭圆的方程为，则设弦端点、，弦的中点，则， ，又，两式相减得即 联立解得，所求椭圆的方程是例6.解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得