2018年全国中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

中考数学真题汇编 二次函数 一 选择题 1 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h m 与飞行时间 t s 满足函数表达式 h t 2 24t 1 则下列说法中正确的是 A 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B 点火后 24s 火箭落于地面 C 点火后 10s 的升空高度为 139m D 火箭升空的最大高度为 145m 答案 D 2 关于二次函数 下列说法正确的是 A 图像与 轴的交点坐标为 B 图像的对称轴在 轴的右侧 C 当 时 的值随 值的增大而减小 D 的最小值为 3 答案 D 3 如图 函数 和 是常数 且 在同一平面直角坐标系的图象可能是 A B C D 答案 B 4 二次函数 的图像如图所示 下列结论正确是 A B C D 有两个不相等的实数根 答案 C 5 给出下列函数 y 3x 2 y y 2x 2 y 3x 上述函数中符合条作 当 x 1 时 函数值 y 随自变量 x 增大而增大 的是 A B C D 答案 B 6 若抛物线 y x2 ax b 与 x 轴两个交点间的距离为 2 称此抛物线为定弦抛物线 已知某定弦抛物线的对 称轴为直线 x 1 将此抛物线向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 得到的抛物线过点 A 3 6 B 3 0 C 3 5 D 3 1 答案 B 7 如图 若二次函数 y ax2 bx c a 0 图象的对称轴为 x 1 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于点 A 点 B 1 0 则 二次函数的最大值为 a b c a b c 0 b 2 4ac 0 当 y 0 时 1 x 3 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 8 若抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2 称此抛物线为定弦抛物线 已知某定弦抛物 线的对称轴为直线 将此抛物线向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 得到的抛物线过点 A B C D 答案 B 9 如图是二次函数 是常数 图象的一部分 与 轴的交点 在 点 和 之间 对称轴是 对于下列说法 为实数 当 时 其中正确的是 A B C D 答案 A 10 如图 二次函数 y ax2 bx 的图象开口向下 且经过第三象限的点 P 若点 P 的横坐标为 1 则一次函 数 y a b x b 的图象大致是 A B C D 答案 D 11 四位同学在研究函数 b c 是常数 时 甲发现当 时 函数有最小值 乙发 现 是方程 的一个根 丙发现函数的最小值为 3 丁发现当 时 已知 这四位同学中只有一位发现的结论是错误的 则该同学是 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 答案 B 12 如图所示 DEF 中 DEF 90 D 30 DF 16 B 是斜边 DF 上一动点 过 B 作 AB DF 于 B 交边 DE 或边 EF 于点 A 设 BD x ABD 的面积为 y 则 y 与 x 之间的函数图象大致为 A B C D 答案 B 二 填空题 13 已知二次函数 当 x 0 时 y 随 x 的增大而 填 增大 或 减小 答案 增大 14 右图是抛物线型拱桥 当拱顶离水面 2m 时 水面宽 4m 水面下降 2m 水面宽度增加 m 答案 4 4 三 解答题 15 如图 抛物线 a 0 过点 E 10 0 矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上 点 A 在点 B 的左边 点 C D 在抛物线上 设 A t 0 当 t 2 时 AD 4 1 求抛物线的函数表达式 2 当 t 为何值时 矩形 ABCD 的周长有最大值 最大值是多少 3 保持 t 2 时的矩形 ABCD 不动 向右平移抛物线 当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G H 且直线 GH 平分矩形的面积时 求抛物线平移的距离 答案 1 设抛物线的函数表达式为 y ax x 10 当 t 2 时 AD 4 点 D 的坐标是 2 4 4 a 2 2 10 解得 a 抛物线的函数表达式为 2 由抛物线的对称性得 BE OA t AB 10 2t 当 x t 时 AD 矩形 ABCD 的周长 2 AB AD 0 当 t 1 时 矩形 ABCD 的周长有最大值 最大值是多少 3 如图 当 t 2 时 点 A B C D 的坐标分别为 2 0 8 0 8 4 2 4 矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为 5 2 当平移后的抛物线过点 A 时 点 H 的坐标为 4 4 此时 GH 不能将矩形面积平分 当平移后的抛物线过点 C 时 点 G 的坐标为 6 0 此时 GH 也不能将矩形面积平分 当 G H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时 直线 GH 不可能将矩形面积平分 当点 G H 分别落在线段 AB DC 上时 直线 GH 过点 P 必平分矩形 ABCD 的面积 AB CD 线段 OD 平移后得到线段 GH 线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P 在 OBD 中 PQ 是中位线 PQ OB 4 所以 抛物线向右平移的距离是 4 个单位 16 学校拓展小组研制了绘图智能机器人 如图 1 顺次输入点 P1 P2 P3 的坐标 机器人能根 据图 2 绘制图形 若图形是线段 求出线段的长度 若图形是抛物线 求出抛物线的函数关系式 请根 据以下点的坐标 求出线段的长度或抛物线的函数关系式 P 1 4 0 P 2 0 0 P 3 6 6 P 1 0 0 P 2 4 0 P 3 6 6 答案 P 1 4 0 P 2 0 0 4 0 4 0 绘制线段 P1P2 P1P2 4 P 1 0 0 P 2 4 0 P 3 6 6 0 0 0 绘制抛物线 设 y ax x 4 把点 6 6 坐标代入得 a 即 17 如图 一小球沿与地面成一定角度的方向飞出 小球的飞行路线是一条抛物线 如果不考虑空气阻力 小球的飞行高度 y 单位 m 与飞行时间 x 单位 s 之间具有函数关系 y 5x 2 20 x 请根据要求解 答下列问题 1 在飞行过程中 当小球的飞行高度为 15m 时 飞行时间是多少 2 在飞行过程中 小球从飞出到落地所用时间是多少 3 在飞行过程中 小球飞行高度何时最大 最大高度是多少 答案 1 解 当 y 15 时 15 5x2 20 x 解得 x 1 1 x 2 3 答 在飞行过程中 当小球的飞行高度为 15m 时 飞行时间是 1s 或 3s 2 解 当 y 0 时 0 5x 2 20 x 解得 x 3 0 x 2 4 4 0 4 在飞行过程中 小球从飞出到落地所用时间是 4s 3 解 y 5x 2 20 x 5 x 2 2 20 当 x 2 时 y 取得最大值 此时 y 20 答 在飞行过程中 小球飞行高度第 2s 时最大 最大高度是 20m 18 在平面直角坐标系中 点 点 已知抛物线 是常数 定点为 1 当抛物线经过点 时 求定点 的坐标 2 若点 在 轴下方 当 时 求抛物线的解析式 3 无论 取何值 该抛物线都经过定点 当 时 求抛物线的解析式 答案 1 解 抛物线 经过点 解得 抛物线的解析式为 顶点 的坐标为 2 解 如图 1 抛物线 的顶点 的坐标为 由点 在 轴正半轴上 点 在 轴下方 知点 在第四象限 过点 作 轴于点 则 可知 即 解得 当 时 点 不在第四象限 舍去 抛物线解析式为 3 解 如图 2 由 可知 当 时 无论 取何值 都等于 4 得点 的坐标为 过点 作 交射线 于点 分别过点 作 轴的垂线 垂足分别为 则 可得点 的坐标为 或 当点 的坐标为 时 可得直线 的解析式为 点 在直线 上 解得 当 时 点 与点 重合 不符合题意 当点 的坐标为 时 可得直线 的解析式为 点 在直线 上 解得 舍 综上 或 故抛物线解析式为 或 19 如图 已知二次函数 的图象经过点 与 轴分别交于点 点 点 是直线 上方的抛物线上一动点 1 求二次函数 的表达式 2 连接 并把 沿 轴翻折 得到四边形 若四边形 为菱形 请 求出此时点 的坐标 3 当点 运动到什么位置时 四边形 的面积最大 求出此时 点的坐标和四边形 的 最大面积 答案 1 解 将点 B 和点 C 的坐标代入 得 解得 该二次函数的表达式为 2 解 若四边形 POP C 是菱形 则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上 如图 连接 PP 则 PE CO 垂足为 E C 0 3 E 0 点 P 的纵坐标等于 解得 不合题意 舍去 点 P 的坐标为 3 解 过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q 与 OB 交于点 F 设 P m 设直线 BC 的表达式为 则 解得 直线 BC 的表达式为 Q 点的坐标为 m 当 解得 AO 1 AB 4 S 四边形 ABPC S ABC S CPQ S BPQ 当 时 四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为 四边形 ABPC 的面积的最大值为 20 如图 1 四边形 是矩形 点 的坐标为 点 的坐标为 点 从点 出发 沿 以每秒 1 个单位长度的速度向点 运动 同时点 从点 出发 沿 以每秒 2 个单位长度的速度 向点 运动 当点 与点 重合时运动停止 设运动时间为 秒 1 当 时 线段 的中点坐标为 2 当 与 相似时 求 的值 3 当 时 抛物线 经过 两点 与 轴交于点 抛物线的顶点为 如图 2 所示 问该抛物线上是否存在点 使 若存在 求出所有满足条件的 点坐标 若不存在 说明理由 答案 1 2 2 解 如图 1 四边形 OABC 是矩形 B PAQ 90 当 CBQ 与 PAQ 相似时 存在两种情况 当 PAQ QBC 时 4t2 15t 9 0 t 3 t 0 t1 3 舍 t2 当 PAQ CBQ 时 t2 9t 9 0 t 0 t 6 7 x 不符合题意 舍去 综上所述 当 CBQ 与 PAQ 相似时 t 的值是 或 3 解 当 t 1 时 P 1 0 Q 3 2 把 P 1 0 Q 3 2 代入抛物线 y x2 bx c 中得 解得 抛物线 y x 2 3x 2 x 2 顶点 k Q 3 2 M 0 2 MQ x 轴 作抛物线对称轴 交 MQ 于 E KM KQ KE MQ MKE QKE MKQ 如图 2 MQD MKQ QKE 设 DQ 交 y 轴于 H HMQ QEK 90 KEQ QMH MH 2 H 0 4 易得 HQ 的解析式为 y x 4 则 x2 3x 2 x 4 解得 x 1 3 舍 x 2 D 同理 在 M 的下方 y 轴上存在点 H 如图 3 使 HQM MKQ QKE 由对称性得 H 0 0 易得 OQ 的解析式 y x 则 x2 3x 2 x 解得 x 1 3 舍 x 2 D 综上所述 点 D 的坐标为 D 或 21 平面直角坐标系 中 二次函数 的图象与 轴有两个交点 1 当 时 求二次函数的图象与 轴交点的坐标 2 过点 作直线 轴 二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间 不包含点 在 直线 上 求 的范围 3 在 2 的条件下 设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 求 的面积最大时 的值 答案 1 解 当 m 2 时 y x 2 4x 2 当 y 0 时 则 x2 4x 2 0 解之 x 1 x 2 2 解 x m 2 2m 2 顶点坐标为 m 2m 2 此抛物线的开口向上 且与 x 轴有两个交点 二次函数图像的顶点在直线 l 与 x 轴之间 不包括点 A 在 直线 l 上 解之 m 1 m 3 即 3 m 1 3 解 根据 2 的条件可知 3 m 1 根据题意可知点 B m m 1 A m 2m 2 AB 2m 2 m 1 m 3 S ABO m 时 ABO 的面积最大 22 如图 已知抛物线 与 轴交于点 和点 交 轴于点 过点 作 轴 交抛物线于点 1 求抛物线的解析式 2 若直线 与线段 分别交于 两点 过 点作 轴于点 过点 作 轴于点 求矩形 的最大面积 3 若直线 将四边形 分成左 右两个部分 面积分别为 且 求 的值 答案 1 解 根据题意得 9a 3b 3 0 a b 3 0 解之 a 1 b 2 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 解 解 x 0 时 y 3 点 C 的坐标为 0 3 CD X 轴 点 D 2 3 A 3 0 B 1 0 y AD 3x 9 y BD x 1 直线 与线段 分别交于 两点 矩形的最大面积为 3 3 解 AB 1 3 4 CD 0 2 2 OC 3 CD x 轴 S 四边形 ABCD S 1 4 S 2 5 若直线 y kx 1 经过点 D 时 点 D 2 3 2k 1 3 解之 k 2 y 2x 1 当 y 0 时 x 点 M 的坐标为 设直线 y kx 1 与 CD AO 分别交于点 N S 解之 k 23 如图 在平面直角坐标系中 圆心为 P x y 的动圆经过点 A 1 2 且与 x 轴相切于点 B 1 当 x 2 时 求 P 的半径 2 求 y 关于 x 的函数解析式 请判断此函数图象的形状 并在图 中画出此函数的图象 3 请类比圆的定义 图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合 给 2 中所得函数图 象进行定义 此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合 4 当 P 的半径为 1 时 若 P 与以上 2 中所得函数图象相交于点 C D 其中交点 D m n 在 点 C 的右侧 请利用图 求 cos APD 的大小 答案 1 解 由 x 2 得到 P 2 y 连接 AP PB 圆 P 与 x 轴相切 PB x 轴 即 PB y 由 AP PB 得到 y 解得 y 则圆 P 的半径为 2 解 同 1 由 AP PB 得到 x 1 2 y 2 2 y2 整理得 y x 1 2 1 即图象为开口向上的抛物线 画出函数图象 如图 所示 3 点 A x 轴 4 解 连接 CD 连接 AP 并延长 交 x 轴于点 F 设 PE a 则有 EF a 1 ED D 坐标为 1 a 1 代入抛物线解析式得 a 1 1 a 2 1 解得 a 2 或 a 2 舍去 即 PE 2 在 Rt PED 中 PE 2 PD 1 则 cos APD 2