高中数学人教版必修1知识讲解讲义

高中数学必修1知识讲解讲义目录第一讲 集合的概念1第二讲 集合的关系与运算6第三讲 映射与函数11第四讲 函数的表示方法解析式法16第五讲 函数单调性20第六讲 函数奇偶性27第七讲 指数与指数幂的运算36第八讲 指数函数42第九讲 对数函数50第十讲 对数与对数运算56第十一讲 幂函数61第十二讲 方程的根与函数的零点66第十三讲 用二分法求方程的近似解71第十四讲 几类不同增长的函数模型76第十五讲 函数的图像85第十六讲 函数的综合应用93第十七讲 二次函数性质与函数的图像111第一讲 集合的概念一. 知识思维导图 二. 知识要点解读（一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大括号 或大写的拉丁字母表示，如A、B、C、元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、 2. 元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 要注意“”的方向，不能把aA颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性： (1) 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2) 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3) 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集【例1】考察下列每组对象能否构成集合？中国的直辖市；young中的字母；不超过20的质数；高一班16岁以下的学生；高一班所有个子高的学生. 【分析】“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；（质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。”如：41=4，42=2，44=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。）“高一班16岁以下的学生”构成一个集合；“高一班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。 【例2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于6的数的集合A(2)所有绝对值小于6的整数的集合B【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.【解】(1)A绝对值等于6的数 ；其元素为：6，6(2)B绝对值小于6的整数；其元素为：5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5（二）集合的表示方法1. 常用数集的表示方法 常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R【例3】判断正误：所有在N中的元素都在N*中() 所有在N中的元素都在Z中() 所有不在N*中的数都不在Z中() 所有不在Q中的实数都在R中() 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0() 不在N中的数不能使方程4x8成立() 注：（1）自然数集包括数0. （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z* 2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数较少 如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x 2)是无限集且元素离散 所有正奇数组成的集合：1，3，5，7， 3)是有限集但元素个数较多 如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为1,2,3,4，98,99,100 3. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。x|p(x)中x为代表元素，p(x)指x具有的性质. 描述法的两种表述形式：1)、数式形式:如由不等式x-54的所有解组成的集合，可以表示为x|x-54；由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为(x,y)|y=x2+1。2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为直角三角形；所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为绝对值小于6的整数。【例4】求不等式2x-35的解集【答案】不等式的解集为x|x4,xR【例5】下列各组对象不能形成集合的是（ ）A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数yx图象上所有的点【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.【例6】集合A的元素由kx3x20(kR)的解构成，若A中的元素至多有一个， 求k值的范围.【解】由题A中元素即方程kx23x20(kR)的根。 若k0，则x2/3，知A中有一个元素，符合题设 若k0，则方程为一元二次方程. 当98k0即k9/8时，kx23x20有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当98k0即k9/8时,kx23x20无解. 此时A中无任何元素，即A也符合条件 综上所述 k0或k9/8【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.三. 知识要点总结1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2. 元素与集合的关系:属于和不属于 3. 集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集5. 集合的表示方法 常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R6. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数较少2)是无限集且元素离散3)是有限集但元素个数较多7. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 8. 描述法的两种表述形式：1)、数式形式 2)、语言形式 第二讲 集合的关系与运算一. 知识思维导图 二. 知识要点解读（一）集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系 A=1，2，3，B=1，2，3，4 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：A B或B A 读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 2. 集合与集合之间的“相等”关系 AB且AB，则A=B中的元素是一样的，因此A=B，根据以上我们可以得到这样一个结论：任何一个集合是它本身的子集。即AA。 3. 真子集的概念 若集合A B ，存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：A B 读作：A真包含于B 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。4. 真子集的性质 结论： AB且B C，则AC 【例1】集合A=1,2,3,4，集合B=4,2,3,1，问集合A和集合B相等吗？ 【例2】化简集合A=x|x-72,B=x|x 5，并表示A、B的关系； 【例3】（1）写出集合0，1，2的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（2）集合a1,a2,a3an，子集个数共有多少个；真子集有多少个；非空子集有多少个；非空的真子集有多少个. （二）集合的运算1. 集合的运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：AB 读作：“A并B” 即： AB=x|xA，或xB 2. 集合的运算并集说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 3. 集合的运算交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：AB读作：“A交B” 即： AB=x|xA，且xB说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。4. 集合的运算补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集记作：CUA 即：CUA=x|xU且xA 补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制5. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是且与或，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。6. 集合的运算的一些结论交集ABA，ABB，AA=A，A= ,AB=BA 并集AAB，BAB，AA=A，A=A,AB=BA 补集（CUA）A=U，（CUA）A= 若AB=A，则AB，反之也成立若AB=B，则AB，反之也成立若x（AB），则xA且xB 若x（AB），则xA或xB 【例1】A=1,2,3,6，B=1,2,5,10，则 AB=_【例2】已知集合A=1,2,4 , B=2,4,6，则AB=_. 【例3】已知集合A=1,2,k，B=2,5 ，若AB=1,2,3,5 则 k=_. 【例4】已知集合A=1,3, m ,B=1,m，AB=A,则m=（ ）A0 B0或3 C1或 3 D1或3 【例5】A=a,b,c,d,e,B=c,d,e,f.则AB=_ 【例6】设集合M=-1,0,1,N=x|x2x，则MN=（ ）A0 B0,1 C-1,1 D-1,0,0 【例7】已知集合A=xR|3x+20, B=xR|(x+1)(x-3)0,则AB=（）A (-，-1) B(-1,-2/3) C (-2/3,3) D(3, +) 【例8】已知集合A=xR|x+2|3,集合B=xR|(x-2)(x-m)0,且AB=(-1,n) ,则m=_,n=_. 【例9】如果全集U=x|0X6,XZ,A=1,3,5,B=1,4，那么，CUA= _ CUB= _ 【例10】如果全集U=x|0x10,A=x|2x5，则CUA=_ 【例11】已知全集U=0,1,2,3,4 ,集合A=1,2,3 ,集合B=2,4则CUAB=（）A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,2,3,4 【例12】设集合A=x|1x4,B=x|x 2-2x-30,则A( CRB)=（）A 1,4 B3,4 C1,3 D1,2 【例13】已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=0,1,3,5,8,集合B=2,4,5,6,8, 则(CUA) (CUB)=( ）A5,8 B7,9 C0,1,3 D2,4,6 三. 知识要点总结1集合之间的关系相等：集合A与集合B中的所有元素都相同子集：A中任意一个元素均为B中的元素 真子集：A中任意一个元素均为B中的元素， B中至少有一个元素不是A中的元素空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2集合的运算并集：AB=x|xA，或xB 交集：AB=x|xA，且xB 若全集为U，则集合A的补集为CUA=x|xU且x_A 四. 本章小结第三讲 映射与函数一. 知识思维导图 二. 知识要点解读（一）函数的定义1. 映射 定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB. 映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每一个元素都有象;(2) B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；A中每一个元素的象唯一。2. 函数(1) 函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域.定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，是一个整体；值域由定义域、对应法则唯一确定；函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积。3. 函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射 (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数 (3)由映射和函数的定义可知：函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集. 4. 两个函数的相等 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)xy1 (2)xy1(3)y=1-xx-1【解】（1）由xy1得y1x，它能确定y是x的函数 （2）由xy1得y1-x，它不能确定y是x的函数。因为对于任意的xx|x1，其函数值不是唯一的 （3）y=1-xx-1的定义域是，所以它不能确定y是x的函数。【例2】在下列图象中，表示y是x的函数图象的是( ) A. B. C. D. 【答案】B【例3】试判断以下各组函数是否表示同一函数？1，x0-1，x0(1) fx=x2，gx=3x3(2) fx=xx，gx=(3) fx=2n+1x2n+1,gx=2n-1x2n-1(nN*)(4) fx=xx+1，gx=x2+x(5) fx=x2-2x-1，gx=t2-2t-1（二）函数三要素 1. 函数的定义域 研究一个函数，一定要在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提； 函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式y=f(x)时, 而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数X的集合。 2. 求定义域的几种情况： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）x(x0)-x(x0)x(x0)x(x0)【例1】与函数y=x表示相同函数的是 ( )A.y=x2 B.y=x2x C.y= D.y=【答案】D【例2】求下列函数的定义域 (1) y=x-8+3-x(2) y=x2-1+1-x2x-1(3) y=x-2x2-4(4) y=11-11-1x-x【例2】求下列函数的定义域 (5) 设f(x)的定义域为0,2，求函数f(x+a)+f(x-a)(a0)的定义域（三）函数表示方法1. 常用的函数表示法(1) 解析式；(2) 列表法；(3) 图像法。2. 区间的概念: 设a,b是两个实数，而且ab, 我们规定：(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为 a,b (2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b) (3)满足不等式axb或aa,xa,x0时，g(x)-x0，所以f(g(x)f(-x)-x，g(f(x)g(x2)-x2. 求函数解析式要注意“里”层函数的值域是“外”层函数的定义域，从关系上看，f(gx)与f(x)是同一对应关系的函数，仅是自变量的取值不同，这时g(x)的值域就是f(x)中x的范围(这是求复合函数的定义域时不可忽视的问题)。（三）配凑法（整体代换）1. 什么是配凑法？ 一些能用换元法的题目也能用配凑法 2. 已知f(g(x)的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x)的解析式中配凑出g(x)，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x来代替即可。【练习】(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x). (2)已知fx+1=x+2x，求f(x).解：f(x-2)=3(x-2)+1，f(x)=3x+1解：fx+1=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1，f(x)=x2-1(x1)【例1】若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) 的表达式为( ) A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 【例2】已知fx+1x=x2+1x2，则f(x)的解析式【例3】已知a,b为常数，若f(x)=x+4x+3，f(ax+b)=x+10x+24,则5a-b= . （四）消元法构造方程组（如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等）此方法的实质是解函数方程。【练习】设f(x)满足f(x)-2f(1x)=x，求f(x)的解析式。【例1】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1x-1，则f(x)= 【例2】若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x)=3x，则f(x)的表达式为 （补充）赋值法由题设条件的结构特点，由特殊到一般地寻找普遍规律。【例】设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式。【分析】本题主要考察利用特殊值法求函数的解析式，所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等带入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，需要根据题目特征来定。【解法一】解：由f(0)=1, f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1) 设x=y,得f(0)=f(x) -x(2x-x+1) f(0)=1， f(x)-x(2x-x+1) =1, 即f(x)=x2+x+1 【解法二】解： 令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)=1-y(-y+1) 再令-y=x,代入上式， 得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1) f(x)=x2+x+1 【点评】通过取某些特殊值带入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式三. 知识要点总结求解析式常用方法：（一）待定系数法 （二）换元法（三）配凑法 （四）消元法第五讲 函数单调性一. 知识思维导图二. 知识要点解读（一）函数的单调性定义 （1）增函数(Increasing function)：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1x2时，都有f(x1) f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。区间D就叫做函数f(x)的单调增区间。 （2）减函数(Decreasing function)：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。区间D就叫做函数f(x)的单调减区间。（3）单调性（单调区间）：如果函数y=f(x)在某个区间D是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D具有单调性，或者说函数在区间D上是单调的，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间(包括增区间和减区间)。名称定义几何意义增函数对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1x2时，都有f(x1) f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。区间D就叫做函数f(x)的单调增区间。 f(x)的图像在区间D是“上升”的减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。区间D就叫做函数f(x)的单调减区间。f(x)的图像在区间D上是“下降”的（二）函数的单调性定义深度剖析 1. 函数单调性的定义中, x1,x2有三个特征：一是任意性，即区间内任意取x1,x2具有普遍性；二是有大小，一般设x1-12 B. k0 D.b0答案A3. 函数f(x)在(a,b)和(c,d) 都是增函数，若 x1(a,b)， x2(c,d)且x1x2那么（ ） A.f(x1)f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.无法确定答案D4.已知f(x)在实数集上是减函数，若a+b0 ，则下列正确的是（ ） A.f(a)+f(b)-f(a)+f(b) B.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)-f(a)+f(b) D.f(a)+f(b) f(-a)+f(-b) （二）函数单调性的判断1. 判断函数单调性方法 (1) 定义法 a) 用定义法判断（证明）函数单调性的步骤 ：i. 取值：在给定区间D上任取两个值x1，x2且x10，f(x)在a,b上是增函数。其几何意义是：增函数图象上任意两点，(x1, f(x1)，(x2, f(x2)连线的斜率都大于0。 (x1-x2)f(x1)-f(x2)0)的单调性。 研究函数的单调性定义法是基础，掌握定义法的关键是作差(f(x2)f(x1)，运算的结果可以判断正、负。本题判断正、负的依据是代数式“x1x2a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础。把x1、x2看成自变量，则转化为判断“x2a”的符号，于是转化为判断“ x-a”的符号，自然过渡到x=a是函数单调区间的分界点。 【例1】证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数【答案】证明：设x1，x2 是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)由x1x2，得x1-x20，于是 f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数想一想：函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的结论是否正确【例2】求证：函数f(x)x3x在R上是增函数 (2) 图像法 先作出函数图像，利用图像直观判断函数的单调性 【例1】如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【答案】解:函数y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5.其中y=f(x)在区间-5,-2) ,1,3)上是减函数,在区间-2,1), 3,5上是增函数. 【例2】函数y=-x+|x| ，单调递减区间为_ 【答案】(-,0)，(,+)(3) 直接法 就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接写出它们的单调区间。图像 单调区间 单调性 正比例函数y=kx(k0) k0 R 单调递增 k0(-，0)单调递减(0，+) 单调递减K0R单调递增 k0R单调递减 二次函数y=ax2+bx+c (a0) a0(-, 单调递减（ ,+）单调递增a0时，具有相同的单调性；当a0时，具有相反的单调性。iv. 当f(x)不恒为零时， f(x)与1f(x)具有相反的单调性。 v. 当函数f(x)，g(x)都是增（减）函数时，则函数f(x)+g(x)是增（减）函数。 vi. 当函数f(x)，g(x)都是增（减）函数时，则函数f(x)g(x)当两者都大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。vii. 若f(x)0,则函数f(x)与f(x)具有相同的单调性 2. 复合函数单调性的判定方法 以复合函数y=fg(x)为例。可按照下列步骤操作：i. 将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)分别确定各个函数的定义域。ii. 分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y=fg(x)为增函数；若为一增一减，则y=fg(x)为减函数，即“同增异减”。函数 单调性 u=g(x) 增增减 减 y=f(u) 增减 增减 y=fg(x) 增减 减 增3. 求函数的单调区间常用方法 (1) 若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图像的直观性写出单调区间。(2) 利用定义证明函数在某一区间上是单调函数，从而写出它的单调区间。由于函数单调性是针对某一区间而言的，因此 若函数在区间的端点处有定义，可写成闭区间，也可写成开区间；若没有定义则只能写成开区间。（三）函数单调性的应用 1. 利用函数单调性求值域或最值 一般的，设函数的定义域为I。(1) 若存在定值x0I,使得对于任意xI，有f(x)f(x0)恒成立，则称f(x0)为y= f(x)的最大值。记作：ymax= f(x0). (2) 若存在定值x0I,使得对于任意xI，有f(x)f(x0)恒成立，则称f(x0)为y= f(x)的最小值。记作：ymin= f(x0). 注意：(1) 定义中的f(x) f(x0)（或f(x) f(x0)）必须是对于定义域内的任一值，而不是存在。(2) 一个函数要有最大（小）值，则只有一个，并不是所有的函数都有最值，如一次函数y=3x+7,x(4,9),既无最大值又无最小值。(3) 对于分段函数求最值，一定要注意分段函数是一个函数，一般是求出各段函数的最值，再比较其大小，进而求出分段函数的最值。应用函数的单调性，可以求函数的值域，解决与值域有关的问题，求函数的最大值和最小值。2. 利用函数单调性比较大小 例如：已知f(x)在区间D上为增函数。(1) 对任意的x1D，x2D，若x1x2，则f(x1) f(x2)。(2) 对任意的x1D，x2D，若f(x1) f(x2)，则x10时，f(x)1，且对任意的x，yR都有f(xy)f(x)f(y) (1)证明：对任意的xR，f(x)0； (2)证明：f(x)是R上的单调增函数； (3)若f(x)f(x2x)1，求x的取值范围三. 知识要点总结 1. 我们之前学过一些关于元素和函数的分类： 元素的三特性：确定性、互异性、无序性。函数的三要素：定义域、对应法则、值域。2. 函数的三特性：单调性、奇偶性、周期性。其中，单调性排在首位，是函数的基本性质，是每个初等函数要研究的性质. 其他性质则不然，如奇偶性，周期性等，不是每个初等函数都具有的性质. 由此看到，单调性在函数中的重要地位. 函数的单调性与“区间”紧密相关，函数在不同的区间上可有不同的单调性。 单调性是函数局部的性质（定义域的某个区间上），奇偶性是整体的性质（整个定义域上）。3. 单调性定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1x2时，有f(x1) f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。 4. 判断函数单调性的常用方法 (1) 定义法：即“取值作差(作商)变形定号判断”注意讨论单调区间 (2) 图像法 (3) 直接法 5. 函数单调性的证明步骤等同于判断必须注意： 在用定义法证明不等式时，为了确定符号，一般是将f(x1)-f(x2)尽量分出(x1-x2)因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式符号的确定。 6. 复合函数单调性的判断要牢记“同增异减” 7. 函数单调性的应用（1）利用函数单调性求值域或最值 （2）利用函数单调性比较大小 （3）利用函数单调性求参数的范围 第六讲 函数奇偶性一. 知识思维导图二. 知识要点解读（一）函数奇偶性的概念1. 定义：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y= f(x)具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的整体性质。 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. 2. 定义剖析：(1)奇偶函数的定义域关于原点对称。函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）若不对称，则这个函数必不具有单调性，这个函数是非奇非偶函数；例如函数y=x2在实数集R上是偶函数，但在区间-1,3上不具有奇偶性。 (2)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)=0一定成立。证明：由奇函数的定义f(-0)=-f(0) 可以推出2f(0)=0，即f(0)=0。这里要特别注意一点，若函数在0处没有定义，如函数fx=1x，虽然是奇