小学六年级数学培优专题训练

前言21世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作为基础教育的核心课程，数学学习与孩子的思维发展密切相关。为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。具体来说本教材有以下几个方面的亮点：1内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识的划分，安排了数的认识、数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习，各个击破，提高效率，针对性和指导性更强。2循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解答过程剖析详尽。拓展演练与例题讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，循序渐进地进行学习。3专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有针对性地辅导，也可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的学习目的。4选题新颖：所选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子创新思维能力。今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩子的创新思维能力，帮助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。目录一、数的认识第1讲 数的认识1第2讲 数的整除5二、数的运算第3讲 简便运算（1）8第4讲 简便运算（2）10第5讲 简便运算（3）14第6讲 简易方程16第7讲 定义新运算19三、空间与图形第8讲 巧求面积（1）22第9讲 巧求面积（2）25第10讲 长方体的表面积和体积28第11讲 圆柱体的表面积31第12讲 圆柱和圆锥的体积34四、解决问题第13讲 画图法解应用题37第14讲 假设法解应用题40第15讲 列方程解应用题（1）43第16讲 列方程解应用题（2）46第17讲 行程问题之多次相遇49第18讲 行程问题之环形赛道52第19讲 行程问题之巧用比例54第20讲 图示法解分数应用题57第21讲 还原法解分数应用题61第22讲 转化法解分数应用题64第23讲 抓住不变量解分数应用题67第24讲 巧用比解分数应用题70第25讲 对应法解分数应用题73第26讲 假设法解分数应用题76第27讲 百分数应用题溶剂问题79第28讲 工程问题（1）82第29讲 工程问题（2）85第30讲 按比例分配87第31讲 比例的应用（1）90第32讲 比例的应用（2）93第33讲 牛吃草问题96第34讲 时钟问题99第35讲 容斥原理102第36讲 抽屉原理105五、实战模拟小升初选校模拟试卷（一）107小升初选校模拟试卷（二）110小升初选校模拟试卷（三）114小升初选校模拟试卷（四）118121第1讲 数的认识一、夯实基础1数的意义（1）自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3叫做自然数。（2）小数把整数“1”平均分成10份、100份、1000份这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几可以用小数表示。（3）分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。（4）百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。2数的大小比较（1）整数的大小比较比较两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。（2）小数的大小比较比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的小数比较大；如果整数部分相同，就看十分位，十分位大的小数比较大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小数比较大（3）分数的大小比较 整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。例如：，22。整数部分相同的同分子分数，分母小的分数比较大。例如：，33。分子、分母不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数化成小数再进行比较。3小数、分数、百分数的互化（1）小数化成分数。原来是几位小数，就在1后面写几个零做分母，把原来的小数去掉小数点做分子，能约分的约分。（2）分数化成小数。分母是10、100、1000的分数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子从最后一位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有除了2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。（3）小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。（4）百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。（5）分数化成百分数。通常把分数化成小数后（遇到除不尽时常要保留三位小数），再化成百分数。（6）百分数化成分数。先把百分数改成分母是100的分数，再约分成最简分数。二、典型例题例1比较下列各组分数的大小 （1）和 （2）和分析：进行分数的大小比较时，首先要仔细观察每组分数的特点，然后再灵活选择比较方法，比较的方法越简单越好。（1）和这两个分数的分母比较大，分子比较小，可变为同分子比较。 （2）和这两个分数一个大于，一个小于，可用为标准进行比较。 解（1）：=，=， ，得出。 解（2）：，得出。例2某数增加它的20%后，再减少20%，结果比原数减少了（ ）。 A. 4% B. 5% C. 10% D. 20%分析：宜用设数验证法。可以通过设数计算来加以判断。解：设某数为100则100（1+20%）=120， 120（120%）=96，（10096）100=4%。故应选A。数的认识课堂过关卷一、细心填空1用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是（ ）；读两个零的六位数是（ ）；一个零也不读的最小六位数是（ ）。2一个三位小数，四舍五入后得4.80，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。3若被减数、减数与差这三个数的和为36，那么被减数为（ ）。4把0.35，34%，从大到小排序（ ）。5某班男生人数是女生的，女生人数占全班人数的（ ）6甲数比乙数多25%，则乙数比甲数少（ ）%。7一个分数的分子比分母少20，约分后是，这个分数是（ ）。8写出三个比小，而比大的最简分数是（ ）、（ ）、（ ）。9中有（ ）个。10有一个最简真分数，分子和分母的积是36，这个分数最大是（ ）。11A+B=60，AB=，A=（ ），B=（ ）。12( )( )=(填两个分母小于12的分数) = (填两个不同的整数)。13一个最简分数，若分子加上1，可以约简为，若分子减去一，可化简成，这个分数是（ ）。14修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修（ ）天完成它的。15一种商品，先提价20%，又降价20%后售价为96元，原价为（ ）元。16甲、乙两个数的差是35.4，甲、乙两个数的比是5：2，这两个数的和是（ ）。17有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。如果这项工作由你来做，你打算用（ ）种盐水，取（ ）千克，加水（ ）千克。18x表示取数x的整数部分，比如13.58=13。若x=8.34，则x2x3x=（ ）。二、选择1 最大的小数单位与最小的质数相差（ ）。 A 1.1 B 1.9 C 0.9 D 0.123.999保留两位小数是（ ）。 A 3.99 B 4.0 C4.00 D3.903下列四个数中，最大的是（ ）。A101% B0. CD1 4.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有 人乘坐游览车。 A少于100 B100与150之间 C150与200之间 D200与250之间5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，小明考试得分比小强的得分（ ）。 A高 B低 C一样高 D无法确定6一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他们的平均分可能是（ ）。A75 B84 C86 D93 7的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（）A加上20 B加上6 C扩大2倍 D增加3倍 8书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是( ) A亏本 B赚钱 C不亏也不赚9把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）。 A1：99 B1：100 C1：101 D100：10110甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓，这时甲仓中的煤的数量比乙仓少（ ）。 A.50% B.40% C.25%三、星级挑战1财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少元？ 2暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。（1）7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（ ）。（2）从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有（ ）次。第2讲 数的整除一、夯实基础整数a除以整数b（b0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的两个数或几个数，叫做互质数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。二、典型例题例1从0、7、5、3四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被2、3和5整除这样的三位数有几个？ 分析：根据能被2、3、5整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被2、3、5整除，这个三位数的个位数字必须是0。现在一共有四个数字，这个三位数的十位和百位上的数字只能从7、5、3三个数字中选取，且每位上数字的和要能被3整除。解：一共有两个：570或750。例2有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁，又知它们年龄的乘积是360。问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？分析：360是年龄的乘积，故可将360分解质因数，再将这些质因数依据题意，组合成4个连续自然数的乘积。再经过比较、分析，便可找到年龄最大的小朋友的年龄数。解：360=222335=3（22）5（23）=3456 答：年龄最大的小朋友是6岁。例3同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？ 分析：题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、18、和24的最小公倍数。解：10、15、18和24的最小公倍数是:2351134=360答：操场上的同学最少是360人。数的整除课堂过关卷一、填空1在l至20的自然数中，（ ）既是偶数又是质数；（ ）既是奇数又是合数。2一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是（ ），用一个数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是（ ）。38（ ）5（ ）同时是2， 3 ，5的倍数，则这个四位数为（ ）。4一个五位数735，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么代表的数字是（ ），代表的数字是( )。5从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的最大三位数，这个三位数是（ ），把它分解质因数是：（ ）。6把84分解质因数：84=（ ）。72和54的最大公约数是（ ）。712的约数有（ ），从中选出4个数组成一个比例是（ ）。8公因数只有（ ）的两个数，叫做互质数，自然数a和（ ）一定是互质数。9a、b都是非零自然数，且ab=c，c是自然数，（ ）是（ ）的因数，a、b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。10A、B分解质因数后分别是：A=237，B=257。A、B最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 11A=223，B=2C5， 已知A、B两数的最大公约数是6，那么C是（ ），A、B的最小公倍数是（ ）。12在括号里填上合适的质数：（ ）（ ）=21=（ ）（ ）。13两个质数的和是2001，这两个质数和积是（ ）。1445与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是（ ）。15已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（ ）和（）。二、解决问题1有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的跳绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？2一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？3汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？三、星级挑战1有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？ 2有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？ 第3讲 简便运算（1）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc）=abac a（bc）=abac二、典型例题例1. （1）9999777833336666 （2）765640.52.50.125分析（一）：通过观察发现这道题中9999是3333的3倍，因此我们可以把3333和6666分解后重组，即333332222=99992222 这样再利用乘法分配律进行简算。 解（一）: 原式=99997778333332222 =9999777899992222 =（77782222）9999 =99990000 分析（二）：我们知道0.52，2.54，0.1258均可得到整数或整十数，从而使问题得以简化，故可将64分解成248，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。 解（二）： 原式=765（248）0.52.50.125 =765（20.5）（42.5）（80.125） =7651101 =7650例2399.6919980.8 分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现减数的因数1998是被减数因数399.6的5倍，因此我们根据积不变的规律将399.69改写成（399.65）（95），即19981.8，这样再根据乘法分配律进行简算。 解: 原式=（399.65）（95）19980.8 =19981.819980.8 =1998（1.80.8） =19981=1998例3654321123456654322123455 分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1和多1，即654321比654322少1，123456比123455多1，我们可以将被减数改写成（654321）（1234551），把减数改写成（6543211）123455，再利用乘法分配律进行简算。 解： 原式=654321（1234551）（6543211）123455 =654321123455654321654321123455123455 =654321123455 =530866三、熟能生巧1（1） 888667444666 （2）9999122233336662（1） 400.6720030.4 （2）2397.29568.2 3（1） 1989199919882000 （2）8642246886442466四、拓展演练11234432624682837 2 2751216502333007.53 7654321123456776543221234566 五、星级挑战1315325335345 2333345555577777 39999999999994. 48.67673.2486.7973.40.05第4讲 简便运算（2）一、夯实基础在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc）=abac a（bc）=abac拆分：= =（）二、典型例题例1（1）20062006 （2）9.14.841.61.3分析（一）：把2006化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，则便于约分和计算。解（一）: 原式=2006 =2006 =2006=分析（二）：根据除法的性质可知9.14.841.61.3可以写成9.14.84（1.61.3），又根据分数与除法的关系，可以将其写成分数形式，其中9.1与1.3，4.8与1.6，4与存在倍数关系，可以进行约分后再计算。解（二）： 原式= =7330 =630例2（1） （2）（97）（）分析（一）：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中20052006可变形为（20041）2006=2004200620061，同时发现20061=2005，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。解（一）： 原式= =1 分析（二）：在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把和的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多。解（二）： 原式=（）（） =65（）5（） =655=13例3 分析：因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如=1，=，=其余的部分分数可以互相抵消，这样计算就简便许多。 解: 原式=（1）（）（）（） =1 =1=三、熟能生巧1 （1）238238 （2）3.419.90.380.1931.12（1） （2）（1）（）3 四、拓展演练1（1）12341 （2）2.843（11.42）12 （1） （2）（96）（32）3 五、星级挑战1 2. 3 4 1第5讲 简便运算（3）一、 夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：等差数列的一些公式：项数=（末项首项）公差1某项=首项公差（项数1）等差数列的求和公式：（首项末项）项数2二、典型例题例1 2468198200 分析：这是一个公差为2的等差数列，数列的首项是2，末项是200。这个数列的项数=（末项首项）公差1=（2002）21=100项，如何求和呢？我们先用求平均数的方法：首、末两项的平均数=（2200）2=101；第二项和倒数第二项的平均数也是（498）2=101依次求平均数，共算了100次，把这100个平均数加起来就是数列的和。即和=（首项末项）2项数。 解: 原式=（2200）2100=10100例2 0.99.999.9999.99999.999999.9分析：通过观察我们可以发现题目中的6个加数都分别接近1、10、100、1000、10000、100000这6个整数，都分别少0.1，因此我们可以把这6个加数分别看成1、10、100、1000、10000、100000的整数，再从总和中减去6个0.1，使计算简便。解: 原式=1101001000100001000000.16 =1111110.6=1111110.4例3200820092009200920082008分析：这道题数值较大，计算起来比较繁琐，但观察这些数，可以发现具有规律性，即被减数和减数中因数具有相同的排列规律，因此我们可以把20092009写成200910001，把20082008写成200810001，这样题目中被减数和减数的因数就完全相同，我们也就可以直接算出结果为0。解: 原式=20082009100012009200810001=0三、熟能生巧1 13576567 2 999999999999999311201221122112211221112011201120四、拓展演练1（1）0.110.130.150.970.99（2）8.90.28.80.28.70.28.10.22（1）98998999899998999998 （2）3.90.390.0390.00390.000393（1）12344321432143214321123412341234 （2）200260066006300340044004五、星级挑战1 （1）438.95 （2）47.265 （3）574.6225 （4）14.7580.25 2. （44332443.32）（88664886.64） 3 1.82.83.850.84 20021999199619931990198716131074第6讲 简易方程一、夯实基础 含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例1解方程4（x2）15=7x20分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。 4（x2）15=7x20解： 4x815=7x20 3x=27 x=9 经检验x=9是原方程的解。例2解方程x2=（3x10）5 分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转化为x5=（3x10）2再求解。 x2=（3x10）5解： x210=（3x10）510 x5=（3x10）2 5x=6x20 x20=0 x=20 经检验x=20是原方程的解。例3解方程360x3601.5x=6 分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘3x使方程转化后再求解。 360x3601.5x=6解： 1080720=18x 18x=360 x=20 经检验x=20是原方程的解。三、熟能生巧1122（x1）=4 5x19=3（x4）15 2（2x4）18=28 （5.3x5）7=x8 37（x3）=3（x5）4 xx32x30=180四、拓展演练1（x+10）6 84.5x32xx x7.4=x9.23 ：18% 五、星级挑战1解方程： 13x4（2x5）=17（x2）4（2x1）2解方程： 17（23x）5（12x）=8（17x）3解方程：=2 4. 解方程：（x5）=3（x5）第7讲 定义新运算一、夯实基础同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也无外乎“”、“”、“”、“”。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：、并赋予它们一种新的运算方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。二、典型例题例1 （1）ab=ab，求95的值。（2）定义新运算“ ”，mn=mn2.5。求： 60.40.4的值是多少？ 3510.3的值是多少？分析（1）：本题中的新运算符号“”表示的是求“”前后两个数的和，也就是求9与5的和是多少。解（1） ： 95=95=14分析（2）：本题中新运算“”的含义是求“”前后两个数的商的2.5倍是多少。解（2）： 60.40.4=60.40.42.5=1512.5=377.5 3510.3=3510.32.5=11702.5=2925例2 对于任意两个自然数，定义一种新运算“*”，a*b=（ab）2，求34*（52*48）值。分析：新运算“*”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时，要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48”，再用34与“52*48”的结果在进行一次这样的运算。 解：52*48=（5248）2=42=2 因此34*（52*48）=34*2=（342）2=322=16。例3定义两种新运算“”和“*”，对于任意两个 数x、y，规定xy=x5y，x*y=（xy）2 ，求563.5*2.5的值。 分析：本题包含两种新运算，第一种新运算“”表示求“”前面的数与后面数的5倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面数的差的2倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。 解：56=556=35 3.5*2.5=（3.52.5）2=2 563.5*2.5=352=37三、熟能生巧1（1） ab=ab，求45.238.9的值。（2）x、y是两个自然数，规定xy=（x+y）10，求38的值。2定义一种新运算“”，规定AB=2（AB），求0.6（5.45）的值。3定义两种新运算“”和 “”，已知ab=a24.1b，ab=83（ab），求6142的值。四、拓展演练1 （1）定义一种新运算“”，规定AB=4A3B5，求（1）69 （2）96。（2）定义一种新运算“”，规定ab=（3xy）2x，求：1015 15102（1）定义新运算“”，规定mn=（mn）2，那么8 （122）与12（82）是否相等？如果不相等，哪个大？（2）定义一种新运算“”，已知ab=5a10b，求3758的值。3定义两种运算“”和“”，对于任意两个整数a，b，ab=ab1，ab=ab1。计算4（68）（35）。五、星级挑战1定义新运算“”，若23=234，54=5678。求2（32）的值。2. 设a、b表示两个数如果ab，规定：ab=3a2b；如果ab，规定：ab=（ab）3。求： 96 88 273设a、b表示两个数，ab=aba+b，已知a7=37，求a的值。 4设a、b表示两个整数，规定：a b=a（a1）（a2）（a3）（ab1），求1100的值。第8讲 巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形边长边长S=a2长方形长宽S=ab平行四边形底高S=ah三角形底高2S=ah2梯形（上底+下底）高2S=(a+b)h2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例1两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。解：直角梯形OEFC的上底为：103=7（厘米），直角梯形OEFC的面积为（7+10）22=17（平方厘米）。答：阴影部分的面积是17平方厘米。例2如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。解：三角形EFG的面积为：1082=40（平方厘米）。平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）。答：平行四边形的面积为50平方厘米。例3如图,在三角形ABC中， BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？分析:由“ E、F分别为AB和AC的中点”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形BEF面积也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF ，S三角形ABF=S三角形ABC 解：S三角形ABC=862=24（平方厘米）S三角形ABF=S三角形ABC=24=12（平方厘米） S三角形EBF=S三角形ABF=12=6（平方厘米） 答：三角形EBF的面积是6平方厘米。 三、熟能生巧1如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）2如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米。阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？ 3如图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。四、拓展演练1如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49，那么图中阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米）2 如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积。 五、星级挑战1如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？2有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？ 第9讲 组合图形面积（2）一、夯实基础不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。计算圆的周长与面积的主要公式有：（1）圆的周长=直径=2半径，即：C=d=2r(2)中心角为n的弧的长度=n(半径)180，即：l=（3）圆的面积=(半径) 2，即：S=r2(4)中心角为n的扇形的面积=n(半径) 2360，即：S= l=lr二、典型例题例1如下图（1），在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。 分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。分析（二）：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。 解：442=16（平方厘米）例2如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。解：S阴影=S扇形ACBS扇形ACDS正方形ABCDABDC =AB22AB2 =4224216=9.12（平方厘米）。例3如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。分析： 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（）的面积之差。而图中（）的面积等于边长为6的正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。解：S阴影=S三角形ACD（S正方形BCDES扇形EBD）= =40.26（平方厘米）。三、熟能生巧1如下图，圆的直径为8cm，求阴影部分的面积。2如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积。3如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。 四、拓展演练1如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？2如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。 3如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？五、星级挑战1如下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取=3.14）。2求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）第10讲 长方体的表面积和体积一、夯实基础长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。长方体的表面积=（长宽+宽高+长高）2正方体的表面积=棱长棱长6物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。长方体体积=长宽高正方体体积=棱长棱长棱长二、典型例题例1一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。 分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可知做成的长方体铁盒的长是2432=18（厘米），高就是剪下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长方形铁皮的宽，再加上32=6（厘米）才是原铁皮的宽。解：长方体铁盒的长：2432=18（厘米） 长方体铁盒的宽：486318=9（厘米） 长方形铁皮的宽：932=15（厘米） 长方形铁皮的面积：2415=360（平方厘米）答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。例2如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。 分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍。 解：长宽（5155）2255（cm） 长高（4455）2220（cm） 宽高（2355）2115（cm） 长宽高（255220115）2295（cm） 长：295115180（cm） 宽：29522075（cm） 高：29525540（cm） 礼盒体积：1807540=540000（cm3）=540（dm3） 答：这个礼盒的体积是540立方分米。例3如图（1），一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相应的变化了。解：设容器侧放后水深是x厘米1583154xx6答：如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是6厘米。三、熟能生巧1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。2一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？ 3右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 四、拓展演练1如图所示是一个棱长12厘米的正方体，从前住后，有一个“十”字型的洞。“十”字最短边长都是2厘米，求它的表面积和体积？2如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地)。这个水泥池的体积是多少？ .3图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？ 五、星级挑战1一个长方形水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米。原来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面高多少厘米？ 2有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的表面涂上红油漆。将这个大正方体木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆