高中立体几何证明方法及例题

（一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 3. 平行与垂直关系的转化： 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角：090 （2）直线与平面所成的角：090 （3）二面角：二面角的平面角，0180 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角； （4）计算大小。【典型例题】（一）与角有关的问题 例1. （1）如图，E、F分别为三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）A. 60B. 45C. 30D. 120解：取AC中点G，连结EG、FG，则EGF为AB与PC所成的角在EGF中，由余弦定理，AB与PC所成的角为18012060选A（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）解：选A点P到平面QEF的距离为定值；直线PQ与平面PEF所成的角为定值；二面角PEFQ的大小为定值；三棱锥PQEF的体积为定值其中正确命题的序号是_。解：对，错值，对综上，正确。 例2. 图是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角MNQP的大小。解：（1）如图，作出MN、PQPQNC，又MNC为正三角形MNC60PQ与MN成角为60 即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结MA交PQ于O点，则MOPQ又NP面PAQM，NPMO，则MO面PNQ过O作OENQ，连结ME，则MENQMEO为二面角MNQP的平面角在RtNMQ中，MENQMNMQ设正方体的棱长为aMEO60即二面角MNQP的大小为60。 例3. 如图，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。解：（1）作PO平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PEADPB，ADOB（根据_）PAPD，OAOD于是OB平分AD，点E为AD中点PEADPEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角PEB120，PEO60即为P点到面ABCD的距离。（2）由已知ABCD为菱形，及PAD为边长为2的正三角形PAAB2，又易证PBBC故取PB中点G，PC中点F则AGPB，GFBC又BCPB，GFPBAGF为面APB与面CPB所成的平面角GFBCAD，AGFGAE连结GE，易证AE平面POB（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA（二）与距离有关的问题 例4. （1）已知在ABC中，AB9，AC15，BAC120，它所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（ ）A. 13B. 11C. 9D. 7 解：设点P在ABC所在平面上的射影为OPAPBPC，O为ABC的外心ABC中，AB9，AC15，BAC120长度为_。解：（采用展开图的方法）点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140与西经130，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（ ）解：（O1为小圆圆心）AOB为正三角形（O为球心）选D 例5. 如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。（1）求证：AF平面PEC；距离。解：G为PC中点，连结FG、EG又F为PD中点四边形AEGF为平行四边形AF平面PEC（2）CDAD，又PA面ABCDAD为PD在面ABCD上射影CDPDPDA为二面角PCDB的平面角，且PDA45则PAD为等腰直角三角形AFPD，又CD平面PADCDAFAF面PCD作FHPC于H，则AFFH又EGAF，EGFHFH面PEC，FH为F到面PEC的距离在RtPEG中，FHPGPFFG方法2：（体积法）AF面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d易证AF面PCD，EG面PCDEGPC （三）对命题条件的探索 例6. （1）如图已知矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面ABCD，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（ ）解：PA面ABCD，PEDE由三垂线定理的逆定理知PE的射影AEBE所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则AD2AB6选A（2）如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心，从K、H、G、B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）A. KB. HC. GD. B分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。而平面PEF中，EF为定直线，连BC则F为BC中点考虑到若P为K点，则还有AA、BB、CC都平行于FK即它们也都平行于平面PEF，不合题意。同理P也不能为H点，若P为B点时，EF与BA共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面PEF），可见只能取G点。故选C 例7. 置；若不存在，说明理由。置；解：（1）（用反证法）不存在点P满足题目条件（2）过B作BHAP于H，连CH即BHC是二面角CAPB的平面角BAH30下面求Q点的位置。（四）对命题结论的探索 例8. 并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是（ ）分析：从条件APBD1出发，可知AP必在过A点且与BD1垂直的平面B1AC上点P必在B1C上选A（2）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线CA上D. ABC内部解：连结AC1ACAB，又ACBC1AC面ABC1则C在面ABC上的射影必在交线AB上选A 例9. 在四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC1。（1）求证：平面CBD平面ABD；（2）是否存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为30？如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角，使得存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为。解：（1）ABBC，ABBD面ABD面CBD（2）设CDx，在面CBD内作CEBD于E由（1）知平面ABD面BCD，且BD为交线CE平面ABD作EFAD于F，连结CF，则CFADCFE为“二面角”CADB的平面角，且CFE30又在RtBCD中，CEBDCBCD又CDBC，又BC为AC在面BCD上射影CDAC则在RtACD中，CFADACCD故不存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为30故可以取4590之间的任意角。点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。【模拟试题】一. 选择题。 1. PA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成60，则PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 2. 在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为（ ）A. B. C. D. 3. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（ ）A. B. C. 7D. 4. 已知A、B、C是球面上的三点，且AB6，BC8，AC10，球 心O到平面ABC的距离为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 5. ABC边上的高线为AD，且，将ABC沿AD折成大小为的二面角BADC，若，则三棱锥ABCD的侧面ABC是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 形状与a，b的值有关的三角形 6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7二. 填空题。 7. 如图，在三棱锥PABC中，且，则PA与底面ABC所成角的大小为_。 8. 如图，矩形ABCD中，沿AC把DAC折起，当四面体的体积最大时，直线AD与平面ABG所成角的正弦值是_。 9. 如图，正方体棱长为1，M、N分别为中点，则点C到截面MNDB的距离是_。三. 解答题。 10. 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M，求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的大小。（用反三角函数表示） 11. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF1，M是线段EF的中点。（1）求证：AM平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。11. 解：（1）记AC与BD交于点O，连结OEO、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形四边形AOEM是平行四边形AMOE，平面BDE，平面BEDAM平面BDE（2）ABAF，ABAD，AB平面ADF，作ASDF于S，连BS由三垂线定理，得BSDFBSA是二面角ADFB的平面角在RtASB中，二面角ADFB的大小为60（3）设，作PQAB于Q，则PQADPQAB，PQAF，PQ面ABFPQQF在RtPQF中，FPQ60，PF2PQPAQ为等腰直角三角形又PAF为直角三角形或（舍）即点P是AC的中点【试题答案】一. 选择题。 1. C2. A3. C4. C5. C 6. C提示：假设有n个正方体构成，其表面积由二部分组成：（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为2。（2）侧面则由4n个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4，公比为的等比数列。表面积n的最小值为6二. 填空题。 7. 提示：由题意，P点在面ABC上的射影H是ABC外心，H为BC中点） 8. 9. 提示：，即三. 解答题。 10. （1）连结AM，ABC为正三角形，M为BC边中点A、G、M三点共线，AMBC即是二面角的平面角点在平面上的射影为M在中，由得即二面角的大小是60（2）过作交BC于P，则为异面直线与所成的角由是平行四边形得：于M在中，在中，在中，由余弦定理异面直线与所成的角为 11. 解：（1）记AC与BD交于点O，连结OEO、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形四边形AOEM是平行四边形AMOE，平面BDE，平面BEDAM平面BDE（2）ABAF，ABAD，AB平面ADF，作ASDF于S，连BS由三垂线定理，得BSDFBSA是二面角ADFB的平面角在RtASB中，二面角ADFB的大小为60（3）设，作PQAB于Q，则PQADPQAB，PQAF，PQ面ABFPQQF在RtPQF中，FPQ60，PF2PQPAQ为等腰直角三角形又PAF为直角三角形或（舍）即点P是AC的中点【励志故事】机会的意义一个人在海上遇难，漂流到了一个小岛上，他建了个小木房，还储存了一些食物在里面。每天他想尽办法寻找生机，一大早就要登上高处张望。可一个星期过去了，一只木船的影子也没看见。 这天，他正在岸边张望，突然狂风大作，雷电轰鸣。一回头，他看见自己的木棚方向升起浓烟，他急忙跑回去，原来雷电点燃了他的木房，大火熊熊燃烧起来，他真希望能赶快下一场雨浇灭这场火，因为他所有的食物都在里面！可是，火渐渐地把棚子烧成了灰烬，天却渐渐地转晴了，一滴雨也没下。 他绝望了，认为这是上帝的惩罚。他心灰意冷地到一棵树上结束了自己的生命。 就在他停止呼吸后不久，一艘船开了过来，人们来到岛上，船长一看见灰烬和吊在树上的尸体就明白了一切，他说；“他没有想到失火后冒出的浓烟把我们的船引到这里，他只要再坚持一会儿就会获救的。” 机会常常在最意想不到的时刻到来，对于我们来说，不仅要有创造机会的能力，还要有等待机会的勇气，就像在漫漫长夜等待黎明，太阳总是在最黑暗的时刻后升起。