小学奥数难题集

一、从1、2、3、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？ 抽屉原理 把这组数据先划分成四组公差为4的等差数列，则差是4的数都在同一个数列之中，由此即可进行推理解答 解：把1，2，31998，1999这1999个数分成四组公差是4的等差的数列，1，5，9，131993，1997-共500个数；2，6，10，141994，1998-共500个数；3，7，11，151995，1999-共500个数；4，8，12，161992，1996-共499个数；我们发现：1四行中每一行中任意相邻两数相差为4，不相邻两数相差不可能是4；2而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4，因为如果相差为4的话，两数将被归为一行，这显然与事实矛盾；故我们用这样的方法来选符合规定的数：前三行每隔一个数选一个，每行最多可选250个数；第四行先选4，再隔一个数字选一个，可选出250个，最终得到2504=1000个数答：最多可以取1000个数，才能使其中每两个数的差不等于4 二、一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。问这60块长方体表面积的总和是多少平方米。解答一：得到大大小小长方体共60块,这60块把长方体内部分成：水平方向:4个1平方米的面纵向：8个1平方米的面横向：6个1平方米的面再加上原正方体：6个1平方米的面共计：24平方米解答二、原来表面积=1*1*6=6平方米每切一次多出1*1*2平方米共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9次表面积的和=6+2*9=24平方米解答三、如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是24平方米 简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积 根据题干分析可得：每切一刀，就增加2个正方体的面的面积，由此只要求出一共切了几刀，即可求出一共增加了几个正方体的面的面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60块长方体的表面积之和沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以表面积一共增加了92=18个正方体的面，由此即可解答问题解答：解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以这60个小长方体的表面积之和是：116+9211，=6+18，=24（平方米），答：这60块长方体表面积的和是24平方米故答案为：24点评：抓住正方体的切割特点，得出每切1刀增加的表面积规律，是解决此类问题的关键三、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？解答一、1155/34=33.331120/34=32.321085/34=31.311050/34=30.301015/34=29.291155+1120+1085+1050+1015=5425等于5425。解答二：因为342828=3528=9801000，所以只有以下几个数： 342929=3529 343030=3530 343131=3531 343232=3532 343333=3533 以上数的和为35（2930313233）=5425 解答三、考点：带余除法分析：根据余数的基本性质，余数小于除数，因此，在此题中除数是34，商和余数相等，再根据被除数=商除数+余数，求出符合条件的数，然后再求出这些数的和，即可得解解答：解：因为3428+28=3528=9801000，所以只有以下几个数：3429+29=3529； 3430+30=3530； 3431+31=3531； 3432+32=3532； 3433+33=3533 以上数的和为35（29+30+31+32+33）=5425 答：这些数的和是5425点评：此题考查了带余除法，本题的关键是得到被34除后商与余数相等且大于1000的整数，本题可以运用运算律简便计算四、一时钟一昼夜走慢1分40秒，若于今日正午校准，到明日上午六时，这只钟指在什么时刻？考点：时间与钟面专题：传统应用题专题分析：24小时慢了1分40秒，即100秒，由此求出每个小时慢了多少秒；从今日中午12时到明天上午6时一共是18个小时，求出这个18个小时一共慢了多少秒，再从上午6时向前推算即可解答：解：1分40秒=100秒；24小时慢了100秒，从今日中午12时到明天上午6时一共是18个小时；1002418=75（秒）；75秒=1分15秒；6时整向前推算1分15秒是5时58分45秒答：这只钟指在5时58分45的时刻点评：先求出每小时慢的时间，进而求出一共慢的时间，然后从后来的时刻向前推算即可五、有甲、乙、丙三个时钟，上午5点钟核准无误差，甲钟报上午6点时，乙钟比甲慢1分；乙钟报上午6点是，丙钟比乙慢4分。问甲报12点时，丙报几时几分？答：甲报12点时，丙报11点25分，理由是：丙比乙每小时慢4分，7小时比乙慢28分，但在7小时里，乙比甲慢了7分，二者相加一共慢了35分，所以报11点25分。六、甲、乙两时钟都不准确，甲钟每走24小时，恰好快1分钟；乙钟每走24小时，恰好慢1分钟假定今天下午三点钟的时候，将甲、乙两钟都调好，指在准确的时间上，任其不停地走下去，问下一次这两只钟都同样指在三点时，要隔多少天考点：钟面上的追及问题分析：由题意可知，快钟比慢钟每天快1+1=2分钟要想快钟与慢钟再次同时指向3时，就是要快钟比慢钟一共快12小时解答：解：1260（1+1），=7202，=360（天）答：下一次这两只钟都同样指在三点时，要隔360天故答案为：360点评：考查了钟面上的追及问题，解题的关键是求出甲钟比标准钟多转一圈所需天数、标准时钟比乙钟多走一圈所需天数七、有甲乙两个钟,甲每天比标准时间慢5分钟,而乙每天必标准时间快5分钟,在3月15日零点零分的时候两钟正好对准.若已知在某一时刻,乙钟和甲钟都分别时针与分针重合,且在从3月15日开始到这个时候,乙钟时钟与分钟重合的次数比甲钟多10次,那么这个时候的标准时间是多少？答：标准时钟从0时0分起每经12/11小时时针与分针重合1次， 甲钟的时针与分针重合x次需 12/11*289/288*x小时， 乙钟的时针与分针重合（x+10）次需 12/11*287/288*（x+10）小时，依题意 12/11*289/288*x=12/11*287/288*（x+10）， 289x=287(x+10), 2x=2870, x=1435. 12/11*289/288*1435=1570+705/792(小时） 1570=24*65+10， 3月15日零点零分至5月15日零点零分，刚好61天。乙钟时钟与分钟重合的次数比甲钟多10次的标准时间是5月19日 上午（10+705/792）时（约10时53分24.5秒）。 八、昨日中午，有人把甲乙丙三只电子钟都拨到12点整，今天中午一看，甲钟正好12点，乙钟是11:58，丙钟12:02，在过多长时间，三只钟又同时指向12点也就是说，甲的表是一直准的每过12小时，乙慢了2分钟，丙快了2分钟。12 h 对应 2min的误差。现在，要让三只钟都再次指向12点，只能让乙比甲慢12小时，丙比甲快12小时。根据比例列示：12 h / 2min = ? / 12h? = 12h x 12h / 2min= 12h x 12h / (1/30)h= 4320 h= 180 天所以，再过 180天，三只钟的时间都指向12点。九、一个四位数各个数位上数字都不相同，并且各个数位上的数字之和为14，能写出几个这样的数？阿拉伯数字为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9首先要确定四个不同的阿拉伯数字相加为14的组合。0、1、4、9；0、1、5、8；0、1、6、7；0、2、3、9；0、2、4、8；0、2、5、7；0、3、4、7；0、3、5、6；当选择的阿拉伯数字有0时，千位能选3种数字(不能选0）、百位能选3种数字，十位2种，个位1种，即3X3X2X1=18种。以上8个组合共18X8=144种；1、2、3、8；1、2、4、7；1、2、5、6；1、3、4、6；2、3、4、5；以上5个组合，千位能选4种数字，百位能选3种，十位2种，各位1种，即4X3X2X1=24种。这5种组合共24X5=120种。合计144+120=264种十、一个四位数的数字和是10，而且各位数字都不为零，那么有多少个这样的四位数？1-9的数字中，不重复的数字之和=10的数字只有1234 即1+2+3+4=10有432124种这是一个排列组合题，具体解释为：先排千位，4个数可以任选一个，即千位有四中选择；再排百位，此时只剩下3个数，三个数可以任选一个排在百位，即百位有三中选择；以此类推，十位两种选择，最后个位一种选择。即所得的四位数情况有432124种十一、甲乙两地相距60千米，小王骑车以每小时行10千米的速度上午8点钟从甲地出发去乙地。过了一会儿，小李骑车以每小时15千米的速度也从甲地去乙地。小李在途中M地追上小王，通知小王立即返回甲地，小李继续骑车去乙地。各自分别到达甲、乙两地后都马上返回，两人再次见面时，恰好还在M地。问：小李是在什么时刻出发的？因为王和李第一次在M点相遇，分别到乙地，甲地后，返回时又在M点相遇，说明他们在这期间用时相等，距离为两个甲乙的距离那么他们的用时为：2*60/（10+15）=4.8小时甲地距M点距离为：4.8*10/2=24千米小王从甲地到M点用时为：24/10=2.4小李从甲地到M点用时为：24/15=1.62.4-1.6=0.80.8*60=48分钟小李8点48分出发。十二、马路上有一辆身长15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18公里，马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑，某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了两秒钟，汽车离开了乙，问;再过多少秒以后甲、乙两人相遇？答：汽车速度是18千米每小时=5米每秒；汽车经过甲身边时用了6秒，由方向关系求得甲的速度是5-15/6=2.5米每秒；同样，求得乙的速度为15/2-5=2.5米每秒；汽车经过甲乙的时间相差半分钟，距离是30*5=150米，这半分钟内甲跑了2.5*30=75米，所以再经过75/(2.5+2.5)=15秒，甲乙相遇13、 两人同时从甲地出发到乙地,一人用匀速3小时走完全程,另一人用匀速4小时走完全程,经过多少小时其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程长的2倍? 设经过X小时其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程长的2倍设总路程为12（1-1/3X）=1-1/4X解得：X=12/5十三、哥哥和弟弟同时从甲地前往乙地.当哥哥走了三分之一的路程时,弟弟才走9千米;当弟弟走了三分之一的路程时,哥哥已走了16千米.问哥哥走完全程时,弟弟还有多少路程要走?设三分之一的路程为s km哥速=a 单位省弟速=bsb/a=9as/b=16两式相乘得s=12路程共3s哥走完弟走3sb/a=27剩3s-27=914、 某个货场有1997辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装9箱货物,每相邻的4辆车装货总数为34箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是多少?其实这个数字已经定了,只是能不能实现的问题了,第一辆车9箱 后面的1996辆车分为1996/4=499组,由于要求是每相邻的4辆车装货总数为34箱 那么必然有每组装货的数量都是34箱 一共装货就是499*34+9=16975箱,这个数字是一定的,并没有至少的问题下面考虑这种装货法是否可以实现 实际上 只要按照下面方式装货就可以实现从第一辆车开始 依次装9 10 10 5 9 10 10 5 .这样每相邻4个车装货数都是9+10+10+5=34箱(只是一种方式,还可以有其它的)十五、一天，师徒二人接到一项加工零件的任务，先由师傅单独做6小时，剩下的任务由徒弟单独做，4小时完成，第二天，他们又接到一项加工任务，工作量是第一天接受任务的2倍，这项任务先由师徒二人合作10小时，剩下的全部由徒弟做完，已知徒弟的工作效率是师傅的4/5，师傅第二天比徒弟多做32个零件，问 （1）第二天徒弟一共做了多少小时？（2)师徒二人两天共加工零件多少个？设师傅一小时加工x个零件，徒弟一小时加工4/5x个零件。2（6x+4* 4/5x）-（10（x+ 4/5x）+10*4/5x=10x-32x=20所以徒弟每小时加工16个零件。第一项任务共有：6*20+16*4=184个零件第二项任务共有：184*2=368个零件。师徒合作10小时后剩下：368-10*（16+20）=8个徒弟做了816=0.5小时。徒弟第二天做了0.5+10=10.5小时。答：徒弟第二天做了10.5小时。368+184=552个零件。答：师徒二人两天共做552个零件。16、 甲、乙、丙三人同乘火车去某地，因他们每人的行李都超过了免费的重量，需另加行李费。甲支付了3元，乙支付了5元，丙支付了7元。三人的行李共重90千克，如果这些行李一人携带，需付行李费35元，丙带的行李重多少千克？解：3人的行李总重量超过了一人免费重量35元的重量，而分3人，超出重量的钱数=3+5+7=15（元）所以1个人免费重量如果算成超重重量，所需的钱数=(35-15)/2=10（元）所以3人的行李重量之比=(10+3)：(10+5)：(10+7)=13:15:17，所以甲的行李重量=26千克乙的行李重量=30千克丙的行李重量=34千克十七、某公共汽车线路中间有15个站，车有快车及慢车两种，快车车速是慢车车速的1.2倍，慢车每站都停，快车只停靠中间一个站，每站停留时间都是3分钟。当某次慢车发出50分钟后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到达终点，快车从起点到终点共用多少时间？快车从起点到终点共用x分钟由于快车车速是慢车车速的1.2倍，所以走完相同的距离所用时间慢车是快车1.2倍1.2（x-3)=x+50-3*150.2x=8.6x=43快车从起点到终点共用43分钟十八、马路上有一辆身长15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18公里，马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑，某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了两秒钟，汽车离开了乙，问;再过多少秒以后甲、乙两人相遇？汽车速度是18千米每小时=5米每秒；汽车经过甲身边时用了6秒，由方向关系求得甲的速度是5-15/6=2.5米每秒；同样，求得乙的速度为15/2-5=2.5米每秒；汽车经过甲乙的时间相差半分钟，距离是30*5=150米，这半分钟内甲跑了2.5*30=75米，所以再经过75/(2.5+2.5)=15秒，甲乙相遇十九、10点钟在过多久，时针与分针将第一次在一条直线上？时针和分针成一条直线有两种情况：第一种情况：重合分析：在8点整的时候，分针落后时针8540（格），分针1分钟走1格，时针1分钟走5601/12（格），问题转化成了一个追击问题。所以分针1分钟可以追时针1（1/12）11/12（格），那么追上时针40格需要40（11/12）480/11（分）43又7/11分。解：（85）1-（1/12）480/11（分）43又7/11分答：8点43又7/11分，时针与分针成一条直线。第二种情况：在同一条直线上，但不重合分析：这种情况又分两个小情况：（1）分针超前时针180时钟上，每一个小格是6。180即30格，分针本来落后40格，还要超前30格，若时针不动，都需要70分，更何况时针还在向前运动，所以这种情况不在8点到9点之间。（2）分针落后时针180180即30格，那么分针在8点整本来落后40格，这种情况需要它落后30格，所以分针需要追击时针403010（格），追击10格一共需要10（11/12）120/11分11又10/11分解：分针落后时针分2种情况：（1）分针超前时针180（1806）401-（1/12）=70（11/12）840/1160（不合题意，舍去）（2）分针落后时针18040（1806）1-（1/12）=10（11/12）120/1111又10/11分答：8点10又10/11分，分针和时针成一条直线。二十、盒子里放有编号为1至10的十个球,小明先后三次从盒中共取出九个球。如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是几设第1次拿出编号总和为X，第2次就2X，第3次就4X所以x+2x+4x（1+10）*10/2 x55-11 x6.2所以X只能是7所以55-7-2*7-4*7=6咯小学好象还没学不等式，不过应该还可以理解拉.第1次拿出编号的是3，4，所以第一次总和是7第2次拿出的编号是2，5，7，所以第二次总和是14第3次拿出的是1，8，9，10，所以总和是2828是14的2倍，14是7的倍，符合每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍所以未取出的是6二十一、小鹏的手表比家里的挂钟每小时慢30秒钟，而这个挂钟比标准时间每小时快30秒钟，这块手表一昼夜与标准时间相差多少秒钟每小时,手表:挂钟=59.5:60=119:120每小时,挂钟:标准时间=60.5:60=121:120每小时,手表:挂钟:标准时间=(119121):(120120)手表每小时快:1-(119121)/(120120)=1/120120小时一昼夜=24小时(1/120120 )246060=6秒二十二、【数论问题】1难度：在纸上画5条直线，最多可有_ 个交点。 2.难度：用20厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形，这样的长方形不只一种。其中，面积最小的，长_ 厘米，宽_ 厘米；面积最大的长_ 厘米，宽_ 厘米。 1.【解】两条直线最多1个交点；再画第3条直线时最多与前两条直线两个交点，所以3条直线最多1+2=3 个交点；再画第4条直线时，最多与前面3条直线有3个交点，所以4条直线最多1+2+3=6个交点；同理5条直线最多1+2+3+4=10个交点。2.【解】长（绿色圃中小学教育网 http:/WWW.Lspjy.cOm 原文地址http:/www.lspjy.com/thread-238727-1-1.html）方形的长和宽和是202=10(厘米)，则长方形的面积=长宽,可能是91=9，82=16，73=21，64=24，55=25。所以面积最小的长为9厘米,宽为1厘米；面积最大的长为5厘米，宽为5厘米。两数和一定时，两数越接近，它们的积越大。 二十三、十进制下，44444444的各位数字之和等于A，A的各位数字之和等于B，B的各位数字之和等于C，求C答：令44444444X1。因为X=Sn*10n + S(n-1)*10(n-1) + S(n-2)*10(n-2) +.S110 + S0 所以X-A=Sn*9n + S(n-1)*9(n-1) + S(n-2)*9(n-2) +.S19 + S0 所以X mod 9与A (B C 也一样)同余 2。判断A B C 的长度 由于X的各位数字之和不可能超过首位数相同但其余各位都是9的数（位数也相同）所以可以估计出 A B C的大小 先算 44444444 1020000，所以A20000*9最多是6位数，B6*9=54，然后知道C9，求a有多少种取值，则求2002的所有因数中大于9的有多少个，2002=271113，共有因数2222=16个，其中1，2和7不能取，所以共有13种取法。二十七、任给个连续自然数，用它们的乘积除以它们的最小公倍数，得到的商最大可能是多少? 解：首先我们来看看怎么求最小公倍数 A=2352 B=2354 7 C=27311这三个数的最小公倍数是23547311最小公倍数有两个特点：1、A，B，C有的因数，最小公倍数里面肯定要有2、因数的次数取最大的 ABC除以最小公倍数的商是多少呢？首先看2，乘积里面是27，最小公倍数里面是23，所以商里面是24其实是取完一个最大的次数23后，剩下的23和2的乘积所以商是：24527只在一个数里面出现的因数在商里面肯定不会出现（例如这里的11只在C里面出现了） 9个连续的自然数，每个自然数可以进行分解质因数，11以上的质数不可能在两个自然数中出现（11的倍数每隔11个才能出现一次），所以9个连续自然数的乘积除以最小公倍数的商里面不会出现11以上的因数。 只考虑2，3，5，7四个因数先考虑2这个因数：最小公倍数里面包含2的次数是这个9个自然数中2的次数最高的，剩下的2的次数乘起来就是商中2的次数，要使商最大，就要除去2的最高次外使得其他数含有2的次数越高越好，9个自然数中肯定有一个8的倍数，所以含有最高次数那个含有2的次数肯定不会少于3，剩下的数含有2的次数，不可能含有24，否则9个数含有两个16的倍数，最多只能再有一个23，最多还有一个22，至多还有两个含有2，乘积是27，例如下面这几种情况（只要第一个是8的倍数就行）：8，9，10，11，12，13，14，15，1616，17，18，19，20，21，22，23，24 3，4，7也是同样的讨论，商最大是273257（第一个数是8357就可以）二十八、有一座33层楼,现有32人在一层，他们分别住233层,电梯只能停在某一层,往下走一层就有1份不满意,往上走一层有3份不满意，问电梯停在那一层不满意份数最少? 解：首先根据1份和3份的关系，电梯应该在25层左右 然后再考虑电梯25层的话那些人都怎么上楼2-7层的人会直接上楼而不会坐电梯8-24层的人会坐到25层然后下来26-33层的人会坐到25层然后上去 然后进行“逐步调整”如果电梯到26层的话2-7层的人还会直接上楼，他们的“不满意”的份数不会变8-25层的18人，需要多下一层，增加18份“不满意”26-33层的8人，就会少上一层，减少83=24份“不满意”所以26层比25层要好同理可得27层要比26层好27层调整到28层，“不满意”就会增加了所以27层最好新思维导引四年级第八讲抽屉原理超越篇第7题： 888名学生站成一个圆圈，如果任意连续32人中，至多有9名男生，那么男生的人数最多有多少人？ 解：先估算一下男生最多有多少人？888/32=27.24所以男生不会超过289=252人888/24=37组888人，24人一组，一共37组，这37组男生不会超过252人252/37=6.30所以这37组（每组24人），必有一组男生不超过6人（否则737=259超过252人了）选其中的一组，这个24人组男生不会超过6人，剩下的888-24=864人，32人一组，可以分成27组，每组男生不会超过9人，总男生不会超过279+6=249人 接下来构造一种249个男生的情况就可以了17