【中考真题】2018年淄博市中考数学试卷含答案解析

2018 年山东省淄博市中考数学试卷 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 4 分 共 48 分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 4 分 计算 的结果是 A 0 B 1 C 1 D 2 4 分 下列语句描述的事件中 是随机事件的为 A 水能载舟 亦能覆舟 B 只手遮天 偷天换日 C 瓜熟蒂落 水到渠成 D 心想事成 万事如意 3 4 分 下列图形中 不是轴对称图形的是 A B C D 4 4 分 若单项式 am 1b2 与 的和仍是单项式 则 nm 的值是 A 3 B 6 C 8 D 9 5 4 分 与 最接近的整数是 A 5 B 6 C 7 D 8 6 4 分 一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米 其铅直高度上升 了 15 米 在用科学计算器求坡角 的度数时 具体按键顺序是 A B C D 7 4 分 化简 的结果为 A B a 1 C a D 1 8 4 分 甲 乙 丙 丁 4 人进行乒乓球单循环比赛 每两个人都要比赛一 场 结果甲胜了丁 并且甲 乙 丙胜的场数相同 则丁胜的场数是 A 3 B 2 C 1 D 0 9 4 分 如图 O 的直径 AB 6 若 BAC 50 则劣弧 AC 的长为 A 2 B C D 10 4 分 绿水青山就是金山银山 某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化 任务 为了迎接雨季的到来 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25 结果提前 30 天完成了这一任务 设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平 方米 则下面所列方程中正确的是 A B C D 11 4 分 如图 在 Rt ABC 中 CM 平分 ACB 交 AB 于点 M 过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N 且 MN 平分 AMC 若 AN 1 则 BC 的长为 A 4 B 6 C D 8 12 4 分 如图 P 为等边三角形 ABC 内的一点 且 P 到三个顶点 A B C 的 距离分别为 3 4 5 则 ABC 的面积为 A B C D 二 填空题 每题 4 分 共 5 个小题 满分 20 分 将直接填写最后结果 13 4 分 如图 直线 a b 若 1 140 则 2 度 14 4 分 分解因式 2x 3 6x2 4x 15 4 分 在如图所示的平行四边形 ABCD 中 AB 2 AD 3 将 ACD 沿对角 线 AC 折叠 点 D 落在 ABC 所在平面内的点 E 处 且 AE 过 BC 的中点 O 则 ADE 的周长等于 16 4 分 已知抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 将这条抛物线向右平移 m m 0 个单位 平移后的抛物线于 x 轴交于 C D 两点 点 C 在点 D 的左侧 若 B C 是线段 AD 的三等分点 则 m 的值为 17 4 分 将从 1 开始的自然数按以下规律排列 例如位于第 3 行 第 4 列的 数是 12 则位于第 45 行 第 8 列的数是 三 解答题 本大题共 7 小题 共 52 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 18 5 分 先化简 再求值 a a 2b a 1 2 2a 其 中 19 5 分 已知 如图 ABC 是任意一个三角形 求证 A B C 180 20 8 分 推进全科阅读 培育时代新人 某学校为了更好地开展学生读书活 动 随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间 统计数据如下表 时间 小时 6 7 8 9 10 人数 5 8 12 15 10 1 写出这 50 名学生读书时间的众数 中位数 平均数 2 根据上述表格补全下面的条形统计图 3 学校欲从这 50 名学生中 随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书活 动 其中被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是多少 21 8 分 如图 直线 y1 x 4 y 2 x b 都与双曲线 y 交于点 A 1 m 这两条直线分别与 x 轴交于 B C 两点 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 直接写出当 x 0 时 不等式 x b 的解集 3 若点 P 在 x 轴上 连接 AP 把 ABC 的面积分成 1 3 两部分 求此时点 P 的坐标 22 8 分 如图 以 AB 为直径的 O 外接于 ABC 过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点 P APB 的平分线分别交 AB AC 于点 D E 其中 AE BD AE BD 的长是一元二次方程 x2 5x 6 0 的两个实数根 1 求证 PA BD PB AE 2 在线段 BC 上是否存在一点 M 使得四边形 ADME 是菱形 若存在 请给 予证明 并求其面积 若不存在 说明理由 23 9 分 1 操作发现 如图 小明画了一个等腰三角形 ABC 其中 AB AC 在 ABC 的外侧分别以 AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD ACE 分别取 BD CE BC 的中点 M N G 连接 GM GN 小明发现了 线段 GM 与 GN 的数量关系是 位置关系是 2 类比思考 如图 小明在此基础上进行了深入思考 把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角 三角形 其中 AB AC 其它条件不变 小明发现的上述结论还成立吗 请说明 理由 3 深入研究 如图 小明在 2 的基础上 又作了进一步的探究 向 ABC 的内侧分别作 等腰直角三角形 ABD ACE 其它条件不变 试判断 GMN 的形状 并给与证 明 24 9 分 如图 抛物线 y ax2 bx 经过 OAB 的三个顶点 其中点 A 1 点 B 3 O 为坐标原点 1 求这条抛物线所对应的函数表达式 2 若 P 4 m Q t n 为该抛物线上的两点 且 n m 求 t 的取值范 围 3 若 C 为线段 AB 上的一个动点 当点 A 点 B 到直线 OC 的距离之和最大 时 求 BOC 的大小及点 C 的坐标 2018 年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 4 分 共 48 分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 4 分 计算 的结果是 A 0 B 1 C 1 D 考点 1A 有理数的减法 15 绝对值 分析 先计算绝对值 再计算减法即可得 解答 解 0 故选 A 点评 本题主要考查绝对值和有理数的减法 解题的关键是掌握绝对值的性 质和有理数的减法法则 2 4 分 下列语句描述的事件中 是随机事件的为 A 水能载舟 亦能覆舟 B 只手遮天 偷天换日 C 瓜熟蒂落 水到渠成 D 心想事成 万事如意 考点 X1 随机事件 分析 直接利用随机事件以及必然事件 不可能事件的定义分别分析得出答 案 解答 解 A 水能载舟 亦能覆舟 是必然事件 故此选项错误 B 只手遮天 偷天换日 是不可能事件 故此选项错误 C 瓜熟蒂落 水到渠成 是必然事件 故此选项错误 D 心想事成 万事如意 是随机事件 故此选项正确 故选 D 点评 此题主要考查了随机事件 正确把握相关定义是解题关键 3 4 分 下列图形中 不是轴对称图形的是 A B C D 考点 P3 轴对称图形 分析 观察四个选项图形 根据轴对称图形的概念即可得出结论 解答 解 根据轴对称图形的概念 可知 选项 C 中的图形不是轴对称图 形 故选 C 点评 本题考查了轴对称图形 牢记轴对称图形的概念是解题的关键 4 4 分 若单项式 am 1b2 与 的和仍是单项式 则 nm 的值是 A 3 B 6 C 8 D 9 考点 35 合并同类项 42 单项式 分析 首先可判断单项式 am 1b2 与 是同类项 再由同类项的定义可得 m n 的值 代入求解即可 解答 解 单项式 am 1b2 与 的和仍是单项式 单项式 am 1b2 与 是同类项 m 1 2 n 2 m 3 n 2 n m 8 故选 C 点评 本题考查了合并同类项的知识 解答本题的关键是掌握同类项中的两 个相同 5 4 分 与 最接近的整数是 A 5 B 6 C 7 D 8 考点 2B 估算无理数的大小 27 实数 分析 由题意可知 36 与 37 最接近 即 与 最接近 从而得出答案 解答 解 36 37 49 即 6 7 37 与 36 最接近 与 最接近的是 6 故选 B 点评 此题主要考查了无理数的估算能力 关键是整数与 最接近 所以 6 最接近 6 4 分 一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米 其铅直高度上升 了 15 米 在用科学计算器求坡角 的度数时 具体按键顺序是 A B C D 考点 T9 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 T6 计算器 三角函数 分析 先利用正弦的定义得到 sinA 0 15 然后利用计算器求锐角 解答 解 sinA 0 15 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时 按键顺序为 故选 A 点评 本题考查了计算器 三角函数 正确使用计算器 一般情况下 三角函 数值直接可以求出 已知三角函数值求角需要用第二功能键 7 4 分 化简 的结果为 A B a 1 C a D 1 考点 6B 分式的加减法 分析 根据分式的运算法则即可求出答案 解答 解 原式 a 1 故选 B 点评 本题考查分式的运算法则 解题的关键是熟练运用分式的运算法则 本题属于基础题型 8 4 分 甲 乙 丙 丁 4 人进行乒乓球单循环比赛 每两个人都要比赛一 场 结果甲胜了丁 并且甲 乙 丙胜的场数相同 则丁胜的场数是 A 3 B 2 C 1 D 0 考点 O2 推理与论证 分析 四个人共有 6 场比赛 由于甲 乙 丙三人胜的场数相同 所以只有 两种可能性 甲胜 1 场或甲胜 2 场 由此进行分析即可 解答 解 四个人共有 6 场比赛 由于甲 乙 丙三人胜的场数相同 所以只有两种可能性 甲胜 1 场或甲胜 2 场 若甲只胜一场 这时乙 丙各胜一场 说明丁胜三场 这与甲胜丁矛盾 所以甲只能是胜两场 即 甲 乙 丙各胜 2 场 此时丁三场全败 也就是胜 0 场 答 甲 乙 丙各胜 2 场 此时丁三场全败 丁胜 0 场 故选 D 点评 此题是推理论证题目 解答此题的关键是先根据题意 通过分析 进 而得出两种可能性 继而分析即可 9 4 分 如图 O 的直径 AB 6 若 BAC 50 则劣弧 AC 的长为 A 2 B C D 考点 MN 弧长的计算 M5 圆周角定理 分析 先连接 CO 依据 BAC 50 AO CO 3 即可得到 AOC 80 进而得 出劣弧 AC 的长为 解答 解 如图 连接 CO BAC 50 AO CO 3 ACO 50 AOC 80 劣弧 AC 的长为 故选 D 点评 本题考查了圆周角定理 弧长的计算 熟记弧长的公式是解题的关 键 10 4 分 绿水青山就是金山银山 某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化 任务 为了迎接雨季的到来 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25 结果提前 30 天完成了这一任务 设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平 方米 则下面所列方程中正确的是 A B C D 考点 B6 由实际问题抽象出分式方程 分析 设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米 根据工作时间 工作总量 工作效率结合提前 30 天完成任务 即可得出关于 x 的分式方程 解答 解 设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米 则原来每天绿化的 面积为 万平方米 依题意得 30 即 故选 C 点评 考查了由实际问题抽象出分式方程 找到关键描述语 找到合适的等 量关系是解决问题的关键 11 4 分 如图 在 Rt ABC 中 CM 平分 ACB 交 AB 于点 M 过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N 且 MN 平分 AMC 若 AN 1 则 BC 的长为 A 4 B 6 C D 8 考点 KO 含 30 度角的直角三角形 JA 平行线的性质 KJ 等腰三角形的 判定与性质 分析 根据题意 可以求得 B 的度数 然后根据解直角三角形的知识可以 求得 NC 的长 从而可以求得 BC 的长 解答 解 在 Rt ABC 中 CM 平分 ACB 交 AB 于点 M 过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N 且 MN 平分 AMC AMB NMC B NCM BCM NMC ACB 2 B NM NC B 30 AN 1 MN 2 AC AN NC 3 BC 6 故选 B 点评 本题考查 30 角的直角三角形 平行线的性质 等腰三角形的判定与性 质 解答本题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 利用数形结合的 思想解答 12 4 分 如图 P 为等边三角形 ABC 内的一点 且 P 到三个顶点 A B C 的 距离分别为 3 4 5 则 ABC 的面积为 A B C D 考点 R2 旋转的性质 KK 等边三角形的性质 KS 勾股定理的逆定理 分析 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得 BEA 根据旋转的性质得 BE BP 4 AE PC 5 PBE 60 则 BPE 为等边三角形 得到 PE PB 4 BPE 60 在 AEP 中 AE 5 延长 BP 作 AF BP 于点 FAP 3 PE 4 根据勾股定理的逆定理可得到 APE 为直角三角形 且 APE 90 即可得到 APB 的度数 在直角 APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长 则在直角 ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长 进而求得三角形 ABC 的面积 解答 解 ABC 为等边三角形 BA BC 可将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得 BEA 连 EP 且延长 BP 作 AF BP 于点 F 如图 BE BP 4 AE PC 5 PBE 60 BPE 为等边三角形 PE PB 4 BPE 60 在 AEP 中 AE 5 AP 3 PE 4 AE 2 PE2 PA2 APE 为直角三角形 且 APE 90 APB 90 60 150 APF 30 在直角 APF 中 AF AP PF AP 在直角 ABF 中 AB 2 BF2 AF2 4 2 2 25 12 则 ABC 的面积是 AB2 25 12 故选 A 点评 本题考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理的逆定理以及旋转的 性质 旋转前后的两个图形全等 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转 角 对应点到旋转中心的距离相等 二 填空题 每题 4 分 共 5 个小题 满分 20 分 将直接填写最后结果 13 4 分 如图 直线 a b 若 1 140 则 2 40 度 考点 JA 平行线的性质 分析 由两直线平行同旁内角互补得出 1 2 180 根据 1 的度数可得 答案 解答 解 a b 1 2 180 1 140 2 180 1 40 故答案为 40 点评 本题主要考查平行线的性质 解题的关键是掌握两直线平行同旁内角 互补 14 4 分 分解因式 2x 3 6x2 4x 2x x 1 x 2 考点 57 因式分解 十字相乘法等 53 因式分解 提公因式法 分析 首先提取公因式 2x 再利用十字相乘法分解因式得出答案 解答 解 2x 3 6x2 4x 2x x 2 3x 2 2x x 1 x 2 故答案为 2x x 1 x 2 点评 此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式 正确分解常 数项是解题关键 15 4 分 在如图所示的平行四边形 ABCD 中 AB 2 AD 3 将 ACD 沿对角 线 AC 折叠 点 D 落在 ABC 所在平面内的点 E 处 且 AE 过 BC 的中点 O 则 ADE 的周长等于 10 考点 PB 翻折变换 折叠问题 L5 平行四边形的性质 分析 要计算周长首先需要证明 E C D 共线 DE 可求 问题得解 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC CD AB 2 由折叠 DAC EAC DAC ACB ACB EAC OA OC AE 过 BC 的中点 O AO BC BAC 90 ACE 90 由折叠 ACD 90 E C D 共线 则 DE 4 ADE 的周长为 3 3 2 2 10 故答案为 10 点评 本题考查了平行四边形的性质 轴对称图形性质和三点共线的证 明 解题时注意不能忽略 E C D 三点共线 16 4 分 已知抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 将这条抛物线向右平移 m m 0 个单位 平移后的抛物线于 x 轴交于 C D 两点 点 C 在点 D 的左侧 若 B C 是线段 AD 的三等分点 则 m 的值为 2 考点 HA 抛物线与 x 轴的交点 H6 二次函数图象与几何变换 分析 先根据三等分点的定义得 AC BC BD 由平移 m 个单位可知 AC BD m 计算点 A 和 B 的坐标可得 AB 的长 从而得结论 解答 解 如图 B C 是线段 AD 的三等分点 AC BC BD 由题意得 AC BD m 当 y 0 时 x 2 2x 3 0 x 1 x 3 0 x1 1 x 2 3 A 3 0 B 1 0 AB 3 1 4 AC BC 2 m 2 故答案为 2 点评 本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题 抛物线的平移及解一元二次方 程的问题 利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键 17 4 分 将从 1 开始的自然数按以下规律排列 例如位于第 3 行 第 4 列的 数是 12 则位于第 45 行 第 8 列的数是 2018 考点 37 规律型 数字的变化类 分析 观察图表可知 第 n 行第一个数是 n2 可得第 45 行第一个数是 2025 推出第 45 行 第 8 列的数是 2025 7 2018 解答 解 观察图表可知 第 n 行第一个数是 n2 第 45 行第一个数是 2025 第 45 行 第 8 列的数是 2025 7 2018 故答案为 2018 点评 本题考查规律型 数字问题 解题的关键是学会观察 探究规律 利用 规律解决问题 三 解答题 本大题共 7 小题 共 52 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 18 5 分 先化简 再求值 a a 2b a 1 2 2a 其 中 考点 4J 整式的混合运算 化简求值 76 分母有理化 分析 先算平方与乘法 再合并同类项 最后代入计算即可 解答 解 原式 a 2 2ab a 2 2a 1 2a a2 2ab a2 2a 1 2a 2ab 1 当 时 原式 2 1 1 2 1 1 点评 本题考查了整式的混合运算 化简求值 能正确根据整式的运算法则进 行化简是解此题的关键 19 5 分 已知 如图 ABC 是任意一个三角形 求证 A B C 180 考点 K7 三角形内角和定理 分析 过点 A 作 EF BC 利用 EF BC 可得 1 B 2 C 而 1 2 BAC 180 利用等量代换可证 BAC B C 180 解答 证明 过点 A 作 EF BC EF BC 1 B 2 C 1 2 BAC 180 BAC B C 180 即 A B C 180 点评 本题考查了三角形的内角和定理的证明 作辅助线把三角形的三个内 角转化到一个平角上是解题的关键 20 8 分 推进全科阅读 培育时代新人 某学校为了更好地开展学生读书活 动 随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间 统计数据如下表 时间 小时 6 7 8 9 10 人数 5 8 12 15 10 1 写出这 50 名学生读书时间的众数 中位数 平均数 2 根据上述表格补全下面的条形统计图 3 学校欲从这 50 名学生中 随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书活 动 其中被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是多少 考点 X4 概率公式 VC 条形统计图 W2 加权平均数 W4 中位数 W5 众数 分析 1 先根据表格提示的数据得出 50 名学生读书的时间 然后除以 50 即可求出平均数 在这组样本数据中 9 出现的次数最多 所以求出了众数 将这组样本数据按从小到大的顺序排列 其中处于中间的两个数是 8 和 9 从 而求出中位数是 8 5 2 根据题意直接补全图形即可 3 从表格中得知在 50 名学生中 读书时间不少于 9 小时的有 25 人再除以 50 即可得出结论 解答 解 1 观察表格 可知这组样本数据的平均数为 6 5 7 8 8 12 9 15 10 10 50 8 34 故这组样本数据的平均数为 2 这组样本数据中 9 出现了 15 次 出现的次数最多 这组数据的众数是 9 将这组样本数据按从小到大的顺序排列 其中处于中间的两个数是 8 和 9 这组数据的中位数为 8 9 8 5 2 补全图形如图所示 3 读书时间是 9 小时的有 15 人 读书时间是 10 小时的有 10 读书时间不少于 9 小时的有 15 10 25 人 被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是 点评 本题考查了加权平均数 众数以及中位数 用样本估计总体的知识 解题的关键是牢记概念及公式 21 8 分 如图 直线 y1 x 4 y 2 x b 都与双曲线 y 交于点 A 1 m 这两条直线分别与 x 轴交于 B C 两点 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 直接写出当 x 0 时 不等式 x b 的解集 3 若点 P 在 x 轴上 连接 AP 把 ABC 的面积分成 1 3 两部分 求此时点 P 的坐标 考点 G8 反比例函数与一次函数的交点问题 分析 1 求得 A 1 3 把 A 1 3 代入双曲线 y 可得 y 与 x 之间 的函数关系式 2 依据 A 1 3 可得当 x 0 时 不等式 x b 的解集为 x 1 3 分两种情况进行讨论 AP 把 ABC 的面积分成 1 3 两部分 则 CP BC 或 BP BC 即可得到 OP 3 或 OP 4 进而得出点 P 的坐 标 解答 解 1 把 A 1 m 代入 y1 x 4 可得 m 1 4 3 A 1 3 把 A 1 3 代入双曲线 y 可得 m 1 3 3 y 与 x 之间的函数关系式为 y 2 A 1 3 当 x 0 时 不等式 x b 的解集为 x 1 3 y 1 x 4 令 y 0 则 x 4 点 B 的坐标为 4 0 把 A 1 3 代入 y2 x b 可得 3 b b y 2 x 令 y 0 则 x 3 即 C 3 0 BC 7 AP 把 ABC 的面积分成 1 3 两部分 CP BC 或 BP BC OP 3 或 OP 4 P 0 或 0 点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 求反比例函数与一次 函数的交点坐标 把两个函数关系式联立成方程组求解 若方程组有解则两者 有交点 方程组无解 则两者无交点 22 8 分 如图 以 AB 为直径的 O 外接于 ABC 过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点 P APB 的平分线分别交 AB AC 于点 D E 其中 AE BD AE BD 的长是一元二次方程 x2 5x 6 0 的两个实数根 1 求证 PA BD PB AE 2 在线段 BC 上是否存在一点 M 使得四边形 ADME 是菱形 若存在 请给 予证明 并求其面积 若不存在 说明理由 考点 MR 圆的综合题 分析 1 易证 APE BPD EAP B 从而可知 PAE PBD 利用 相似三角形的性质即可求出答案 2 过点 D 作 DF PB 于点 F 作 DG AC 于点 G 易求得 AE 2 BD 3 由 1 可知 从而可知 cos BDF cos BAC cos APC 从而可求出 AD 和 DG 的长度 进而证明四边形 ADFE 是菱形 此时 F 点即为 M 点 利用平 行四边形的面积即可求出菱形 ADFE 的面积 解答 解 1 DP 平分 APB APE BPD AP 与 O 相切 BAP BAC EAP 90 AB 是 O 的直径 ACB BAC B 90 EAP B PAE PBD PA BD PB AE 2 过点 D 作 DF PB 于点 F 作 DG AC 于点 G DP 平分 APB AD AP DF PB AD DF EAP B APC BAC 易证 DF AC BDF BAC 由于 AE BD AE BD 的长是 x2 5x 6 0 解得 AE 2 BD 3 由 1 可知 cos APC cos BDF cos APC DF 2 DF AE 四边形 ADFE 是平行四边形 AD AE 四边形 ADFE 是菱形 此时点 F 即为 M 点 cos BAC cos APC sin BAC DG 在线段 BC 上是否存在一点 M 使得四边形 ADME 是菱形 其面积为 DG AE 2 点评 本题考查圆的综合问题 涉及圆周角定理 锐角三角函数的定义 平 行四边形的判定及其面积公式 相似三角形的判定与性质 综合程度较高 考 查学生的灵活运用知识的能力 23 9 分 1 操作发现 如图 小明画了一个等腰三角形 ABC 其中 AB AC 在 ABC 的外侧分别以 AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD ACE 分别取 BD CE BC 的中点 M N G 连接 GM GN 小明发现了 线段 GM 与 GN 的数量关系是 MG NG 位置关系是 MG NG 2 类比思考 如图 小明在此基础上进行了深入思考 把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角 三角形 其中 AB AC 其它条件不变 小明发现的上述结论还成立吗 请说明 理由 3 深入研究 如图 小明在 2 的基础上 又作了进一步的探究 向 ABC 的内侧分别作 等腰直角三角形 ABD ACE 其它条件不变 试判断 GMN 的形状 并给与证 明 考点 KY 三角形综合题 分析 1 利用 SAS 判断出 ACD AEB 得出 CD BE ADC ABE 进 而判断出 BDC DBH 90 即 BHD 90 最后用三角形中位线定理即可得 出结论 2 同 1 的方法即可得出结论 3 同 1 的方法得出 MG NG 最后利用三角形中位线定理和等量代换即可 得出结论 解答 解 1 连接 BE CD 相较于 H ABD 和 ACE 都是等腰直角三角形 AB AD AC AE BAD CAE 90 CAD BAE ACD AEB SAS CD BE ADC ABE BDC DBH BDC ABD ABE BDC ABD ADC ADB ABD 90 BHD 90 CD BE 点 M G 分别是 BD BC 的中点 MG CD 同理 NG BE MG NG MG NG 故答案为 MG NG MG NG 2 连接 CD BE 相较于 H 同 1 的方法得 MG NG MG NG 3 连接 EB DC 延长线相交于 H 同 1 的方法得 MG NG 同 1 的方法得 ABE ADC AEB ACD CEH ECH AEH AEC 180 ACD ACE ACD 45 180 ACD 45 90 DHE 90 同 1 的方法得 MG NG 点评 此题是三角形综合题 主要考查等腰直角三角形的性质 全等三角形 的判定和性质 平行线的判定和性质 三角形的中位线定理 正确作出辅助线 用类比的思想解决问题是解本题的关键 24 9 分 如图 抛物线 y ax2 bx 经过 OAB 的三个顶点 其中点 A 1 点 B 3 O 为坐标原点 1 求这条抛物线所对应的函数表达式 2 若 P 4 m Q t n 为该抛物线上的两点 且 n m 求 t 的取值范 围 3 若 C 为线段 AB 上的一个动点 当点 A 点 B 到直线 OC 的距离之和最大 时 求 BOC 的大小及点 C 的坐标 考点 HF 二次函数综合题 分析 1 将已知点坐标代入即可 2 利用抛物线增减性可解问题 3 观察图形 点 A 点 B 到直线 OC 的距离之和小于等于 AB 同时用点 A 1 点 B 3 求出相关角度 解答 解 1 把点 A 1 点 B 3 分别代入 y ax2 bx 得 解得 y 2 由 1 抛物线开口向下 对称轴为直线 x 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 当 t 4 时 n m 3 如图 设抛物线交 x 轴于点 F 分别过点 A B 作 AD OC 于点 D BE OC 于点 E AC AD BC BE AD BE AC BE AB 当 OC AB 时 点 A 点 B 到直线 OC 的距离之和最大 A 1 点 B 3 AOF 60 BOF 30 AOB 90 ABO 30 当 OC AB 时 BOC 60 点 C 坐标为 点评 本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式 抛物线的增减 性 解答问题时注意线段最值问题的转化方法