解三次方程的一般方法

1 方程的形式为Y3+aY2+bY+c=0的形式 我们先对它做处理 把它的二次项消去 这个我们利用二次项的原理就知道如何换元了 令Y=X-a/3这样带入就消去了二次项 同时得到了一个新的方程X3+mX+n=0 通过两个方程相同我们可以知道有这样的关系式 m=-a2/3+b n=2/27a3-ab/3+c到了上面一步 我们就把任何一个三次方程转换成为 x3+ax+b=0（*） 的形式了 p.s:这里的参数与第一个Y3+aY2+bY+c=0不同了 在这个方程中我们把x=u+v的形式表示为方（*）程的解 带入得到 u3+v3+b+(3uv+a)(u+v)=0 这个时候就有u3+v3=0 （用公式）以及3uv+a=0 这个时候我们可以把上面的两个式子转化为一个二次方程 关于u3,v3的 学过二次方程的解法的都会知道最后的u3,v3的值 而u+v才是原方程的解 这个时候我们由3uv+a=0 可以知道 方程的最后的解是 u+v uw2+vw uw+vw2 （另外强调下w我们前面以经介绍过了 就是X3=1的单位根 ）这样我们就得出了一般的思路方法接下来我们开始讨论这个解的类型 u3+v3=0 3uv+a=0 这个方程组表示的二次方程的最后的判别式为 b2/4+a3/27=B 当B0时，u3不等于v3 此时方程有一个实根和两个虚根 当B=0的时候 u3=v3 这时方程有两个等根和另外一个根 当BO，u3，v3是共扼虚数 方程有三个不同的实数根上面都是理论步骤 具体的下面我们给几个例题 并且介绍一般的四次方程的解法 另外强调下w我们前面以经介绍过了 就是X3=1的单位根 大家有兴趣可以去解下例题1： X3+3X2+9X+9=0 解： 首先根据有理根的理论 我们带入9的因子（所有的）和1的比值 正负1，正负3，以及正负9都不是原方程的根 所以它没有有理根 这时对它令X=Y-1得到 Y3+6Y+2=0 这个我们得到了 u3=2 v3=-4 那么带入 u+v uw2+vw uw+vw2 就可以得出这个方程的解为： X1=(2)(1/3)-(4)(1/3)-1 X2=(2)(1/3)w2-(4)(1/3)w-1 X3=(2)(1/3)w-(4)(1/3)w2-1