解析几何体表面积和体积

几何体的表面积和体积解答基础1如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和 圆锥的体积解：圆锥的高，圆柱的底面半径r=1，表面积： 圆锥体积：=2如图，在正三棱台ABCA1B1C1中，已知其上、下底面边长分别为3cm和6cm，AA1=3cm，求此三棱台的侧面积和体积解：由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为3cm和6cm的等边三角形，如图O、O1为上、下底面的中心，OA=AD=2，OD=；O1A1=A1D1=，O1D1=棱台的高h=，DD1=，三棱台的侧面积S=3=；三棱台的体积V=（32+62+36）=3四边形ABCD为直角梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，ABBC，现将该梯形绕AB旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积解：依题旋转后形成的几何体为上部为圆锥，下部为圆柱的图形，如下图所示：其表面积S=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积；S=4+8+4=12+4；其体积V=圆锥体积+圆柱体积；V=4.如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h（1）圆锥的高h=2，又h=，h=h=，r=1S表面积=2S底+S侧=2r2+2rh=2+2=2（1+）（2）所求体积=5已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，四棱锥的高为a，设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（aR）2，R=a，外接球的体积为=；（2）设内切球的半径为r，则 r=a表面积为4r2=6已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2r=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=r2h=7已知某个四面体的棱长均为a，（1）求该四面体外接球的体积；（2）求该四面体内切球的体积解：（1）：正四面体的棱长为a，此四面体一定可以放在正方体中，我们可以在正方体中寻找此四面体如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，正方体的棱长为a，此四面体的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径=正方体的对角线长，外接球的半径为R=a，所以，球的体积为 a3=a3（2）设正四面体的内切球的半径为r，由于正四面体的每个面的面积为S=aasin60=a2，正四面体的高为h=a，故正四面体的体积为V=Sh=a3再根据V=4sr=4a2r，可得 a3=4a2r，求得r=a，故四面体内切球的体积V=r3=a38半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积解：设正方形ABCDABCD的底面ABCD在半球的底面圆上，如图则球心O为ABCD的中心，连结OA正方体的棱长为，A0=AC=，可得AO=，即半球的半径R=3，因此，半球的表面积为；体积V=第7页（共7页）