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第三章 函数的导数与微分习题 311. 根据定义求下列函数的导数:(1) (2)(3)(a ,b为常数) (4)解 (1) 因为 =所以 .(2) 因为 所以 (3) 因为 =所以 (4) 因为 =所以 .2. 下列各题中假定存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A表示什么?(1) (2) (其中且)存在)(3) (其中存在)(4) 解（1）因为 =故 .(2) 因为 = 故 .(3) 因为 = 故.(4) 因为 = 故 .3.已知, 求解 由已知易得当时, , 当时, 又 =1 =2 即不存在.故 .4. 如果f (x)为偶函数，且存在，证明.证 由于f(x)为偶函数，所以 f(-x) = f(x) 则 故 .5.讨论下列函数在处的连续性和可导性：(1) (2) (3) 解 (1) 因为 所以函数 在处可导，从而也连续.(2) 因为 所以函数在x = 0处可导，从而也连续.(3)因为 所以函数在处连续.又因为 故不存在, 即函数在不可导.6. 设函数，为使函数f (x) 在x = 1处连续且可导，a ,b应取什么值？解 由题意， 有 首先可得 a+b = 1 即 b = 1a又因为 所以a = 2 ,于是b = 1. 故当a = 2, b = 1时，函数f (x) 在x = 1处连续且可导.7.求曲线在点（-1，1）处的切线方程.解 因 故 曲线在点（-1，1）处的切线方程为即 .8*.设曲线f (x) = xn 在点 (1, 1) 处的切线与x轴的交点为(an，0), 求.解 因为 所以曲线在点（1, 1）处的切线方程为 y1 = n ( x1) 切线与x轴的交点为，即从而习题 321 求下列函数的导数：（1）（2）(3 ) (4) (5) (6) (7) (8) 解（1）.(2) .(3) .(4) .(5) =.(6) =.(7) =.(8) =.2. 求下列函数在给定点的导数：（1）, 求（2）, 求（3）, 求和.解 (1) 因为, 所以 (2) 因为 所以 .(3) 因为 =所以 , .3. 求的和. 解 注意到 ，有 4. 求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程.解 当时，, 且有 则 =1习题 331. 求下列函数的导数：（1） （2） （3） (4)（5） (6）解 (1) =.(2) .(3) =.(4) .(5) .(6) =.2. 求下列函数的导数：（1） （2）（3） （4）解 （1）.(2) .(3) .(4) =.3. 设可导，求下列函数的导数：（1） （2）（3） （4）（5） 解 （1）.（2）.=.(3) .(4) .(5) .4设解 当x 0时，当x 0时，当x = 0时，由 得.故 .5. 设，证明.证 由复合函数的求导法则，得 将 代入上式, 可得即 .6. 设函数f可导，且y = f (a + t) f (a t ), 求.解 因为 故 .*7 设，求. 解 因为 所以 故 .习题 341. 求下列函数的二阶导数：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 (1).(2) 因为 =所以 .(3) , .(4) .(5) .(6) =2. 已知存在，且，求.（1） （2）解 (1) .(2) .3. 设f (x) 的n阶导数存在，求 .解 因 故 .4. 验证函数满足关系式.解 因 =故 =.5.求下列函数的n阶导数的一般表达式：(1) (2) 解 (1) 因故 .（2）故 .*6 设，求y (100).解 而 习题 351. 求由下列方程确定的隐函数的导数：（1） （2）（3） （4）（为常数）解 （1）方程两边同时对求导, 得 解方程得 .(2) 方程两边同时对求导，得 解方程得 .(3) 方程两边同时对求导, 得 解方程得 .(4) 方程两边同时对求导, 得 解方程得 .2. 求曲线在点（e, 1）处的切线方程。解 将方程 两边对x求导，得 当x = e，y = 1时，可得故所求切线方程为 .*3 设，其中x , y满足方程均可导，求.解 由复合函数的求导法则，可得 （1）因x , y满足方程 , 所以将方程 两边对x求导，得 （2） 将(2)代入(1)，并整理得 .4. 用对数求导法求下列函数的导数：（1） （2）（3）解 (1)取已知函数的绝对值的对数 即 两端同时对求导，得.（2）取已知函数的绝对值的对数两端同时对求导,得故 .（3）取已知函数的对数两端同时对求导, 得=故 . 5. 设.解 在等式两边取对数，得 两边对x求导，得 注意到当x = 1时，y = 1, 将其代入上式，可求得 .6. 设，求.解 方程两端同时对求导，得 (1)解方程得 注意到当时，可得 由（1）式变形有 ，对其两边同时求导，得即 故 .题 361. 求下列函数的微分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 (1) =(2) = (3) =.(4) =.(5) 方程两边同时微分,得.(6) 方程两边同时微分,得=.2. 设，求.解 因为=所以 .3. 设，求.解 方程两边同时微分, 得 即 =又因当时，, 故.综合习题三 1.选择填空： (1) 设f(x)可导且下列极限均存在，则 ( ) 成立. (2) 下列函数在x = -1处可导的是 ( ). y=1+x (3) 已知函数，则f(x)在x = 0处 ( ). 导数 间断 导数=1 连续但不可导（4）已知则y= ( ). u(x) （5）设函数f(x)在点x=a处可导，则（ ）. ； (6) 设，则y= ( ). (7) 设y = ln f (sinx)，其中f为可微函数，则( ). （8）设则（ ）. (9) 曲线上切线平行于x轴的点是 ( ). (0, 0) (1, -1) (1, -1) (1, 1)(10) 设函数，则其导函数的定义域是（ ）. （-，+） （-，0） （0，+）解 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;(6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) .2. 已知 解 由导数定义，有 则 =.3.设曲线与都经过点，且在有公共切线，求常数、.解 由 与均过点，得 即 （1） 即 （2）又由, , 且与在点有公共切线，得 = 即 =亦即 （3）故联立求解（1），（2），（3）得 .4. 设（为常数），求解 设 , , , 则 ， ， 故 5 设，求.解 由 , 得 .6. 设，且，求.解 因 故 .8. 设方程确定为的函数，求.解 方程两边同时对求导, 得 即 故 .9. 设，其中为可微函数，求.解 .10.设=（为整数），问n取何值时：（1）在处连续；（2）在处可导，并求；（3）在处连续.解 (1) 当取1，2，3， 时， 因 （注意无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）故在处连续.(2) 当取2，3，4， 时，因 =0即当=2，3，4， 时，在处可导，且=0则 = (3)当取2，3，4， 时， 因 =0故在处连续.17
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