高中数学专题练习题集

高考等差、等比数列及其应用 【考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】 数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。【复习指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等基础练习1.已知是等比数列，则=_.解析数列仍是等比数列,其首项是公比为所以, 2.设，则数列的通项公式= 解析数列是等比数列，则3数列an满足a12，a21，并且(n2)，则数列an的第100项为 .解析 由已知可得：，n2，是等差数列，a100.一. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a_解析 由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2bac，即2cq2cqc，又等比数列中c0，所以2q2q10，解一元二次方程得q1(舍去，否则三个实数相等)或q，又a3bca3aqa10，所以a4.5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析 本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系，解题的突破口是用an表示Sn.由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn，所以Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，所以Sn.考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式.解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以【巩固练习】 1已知等比数列an的公比q.(1)若a3，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列解：(1)由a3a1q2及q，得a11，所以数列an的前n项和Sn(2)证明：对任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以，对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列2设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。（二） ，令，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；，时，数列中的最小项是，不符合.所以满足条件的正整数. 考向二数列与函数的综合应用【例2】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.解：（I）设构成等比数列，其中则 并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.【巩固练习】 设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7_解析 记公差为d，则f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a1a2a7)7(a43d3)3(a42d3)3(a42d3)3(a43d3)37a477(a43)373(a43)7a47.由已知，7(a43)373(a43)7a4714，即7(a43)373(a43)7(a43)0，(a43)34(a43)0.因为f(x)x34x在R上为增函数，且f(0)0，故a430，即a43，a1a2a77a47321.考向三数列与不等式的综合应用热身：设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_.【答案】【例3】 已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1，nN*. (1)设bn11，nN*，求证：数列 是等差数列；一、 设bn1，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值(2)因为an0，bn0，所以ab(anbn)2，从而10知q0.下证q1.若q1，则a1logq时，an1a1qn，与(*)矛盾； 若0qa21，故当nlogq时，an1a1qn1，与(*)矛盾综上，q1，故ana1(nN*)，所以11，于是b1b2a1，则a4a2 解析 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2) 2.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是_. 解析：等比数列中 当公比时，； 当公比时， 3.等差数列中，已知，则的取值范围是 .答案：拓展错误!未指定书签。（2012年高考（广东理）设数列的前项和为,满足,且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有.错误!未找到引用源。解析:()由,解得. ()由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,所以,即(),当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ()因为,所以,所以,于是. 【考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】 数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。【复习指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等基础练习1.已知是等比数列，则=_.解析数列仍是等比数列,其首项是公比为所以, 2.设，则数列的通项公式= 解析数列是等比数列，则3数列an满足a12，a21，并且(n2)，则数列an的第100项为 .解析 由已知可得：，n2，是等差数列，a100.二. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a_解析 由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2bac，即2cq2cqc，又等比数列中c0，所以2q2q10，解一元二次方程得q1(舍去，否则三个实数相等)或q，又a3bca3aqa10，所以a4.5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析 本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系，解题的突破口是用an表示Sn.由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn，所以Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，所以Sn.考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式.解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以【巩固练习】 1已知等比数列an的公比q.(1)若a3，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列解：(1)由a3a1q2及q，得a11，所以数列an的前n项和Sn(2)证明：对任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以，对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列2设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。（三） ，令，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；，时，数列中的最小项是，不符合.所以满足条件的正整数. 考向二数列与函数的综合应用【例2】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.解：（I）设构成等比数列，其中则 并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.【巩固练习】 设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7_解析 记公差为d，则f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a1a2a7)7(a43d3)3(a42d3)3(a42d3)3(a43d3)37a477(a43)373(a43)7a47.由已知，7(a43)373(a43)7a4714，即7(a43)373(a43)7(a43)0，(a43)34(a43)0.因为f(x)x34x在R上为增函数，且f(0)0，故a430，即a43，a1a2a77a47321.考向三数列与不等式的综合应用热身：设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_.【答案】【例3】 已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1，nN*. (1)设bn11，nN*，求证：数列 是等差数列；二、 设bn1，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值(2)因为an0，bn0，所以ab(anbn)2，从而10知q0.下证q1.若q1，则a1logq时，an1a1qn，与(*)矛盾； 若0qa21，故当nlogq时，an1a1qn1，与(*)矛盾综上，q1，故ana1(nN*)，所以11，于是b1b2a1，则a4a2 解析 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2) 2.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是_. 解析：等比数列中 当公比时，； 当公比时， 3.等差数列中，已知，则的取值范围是 .答案：拓展错误!未指定书签。（2012年高考（广东理）设数列的前项和为,满足,且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有.错误!未找到引用源。解析:()由,解得. ()由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,所以,即(),当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ()因为,所以,所以,于是. 高考基本不等式的应用 【课程类型】一对一【课时设置】6小时【教学建议】本专题题目选自高考真题，高考模拟题，都是中等题和难题，适合提优。【知识梳理】1基本不等式如果a0，b0，那么(当且仅当ab时取“”)2基本不等式的推广与变形a，bR，；a，bR，ab.3极值定理已知x、yR，xyP，xyS.有下列命题：(1)如果S是定值，那么当且仅当xy时，xy有最小值2；(2)如果P是定值，那么当且仅当xy时，xy有最大值；(3)应用此结论求最值时要注意三个条件：各项均为正；积或和为定值；各项都能取得相等的值，简单地说“一正，二定，三相等”【题型归纳】 题型1.用极值定理求最值例1 已知f(x)log2(x2)，若实数m，n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值是_【解析】 方法一：由log2(m2)log2(2n2)3，得(m2)(n1)4，则m2，所以mn2n(n1)3237(当且仅当“n3”时，取等号)，故mn的最小值为7.方法二：由log2(m2)log2(2n2)3，得(m2)(n1)4，又(当且仅当“m4,n3”时，取等号)，即mn7.【点评】 二元最值问题可根据条件反映的二者之间的关系，然后代入消元后，转化为一元最值如yax类型的问题进行研究，也可以直接用基本不等式求最小值，应该注意“积”定的两个变量,这类问题主要是利用极值定理来求解 【迁移训练】不等式a23b2b(ab)对任意a、bR恒成立，则实数的最大值为_【解析】因为要求的最大值，所以只需要考查b(ab)0的情况假设b(ab)0，所以由a23b2b(ab)，设+1t0，设h(t)(当t2时取等号)h(t)的最小值为2，故的最大值为2.题型2.用基本不等式将等式转化为不等式求最值例2已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 .【解析】解法一：，整理得 即，又，.解法二：同例1，转化为一元最值问题.【点评】 用基本不等式将等式转化为不等式求最值主要指用放缩的思想将条件里的等式转化为题目要研究的量的不等式，然后通过求不等式的解集来解决问题.【迁移训练】设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_【解析】 4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)22xy1，(2xy)221，解之得(2xy) 2，即2xy.题型3.用基本不等式推广形式求最值例3【解析】由基本不等式推广形式知【点评】需要将转化时应考虑到基本不等式推广形式.【迁移训练】【解析】由条件知题型4.多元最值问题例4若实数x，y，z，t满足1xyzt10000，则的最小值为_【解析】 欲使值越小，必须使分子x最小，分母t最大，从而取x1，t10000，得2，所以最小值为.【点评】 本题含有四个变量，只有通过极端原理，将其中两个变量确定后，再由基本不等式求最小值对未知数的认识，可以是一个字母，也可以是一个整式多元问题在处理时方法有三种：一是消元；二是整体思想；三是运用极端假设法去掉某些元素，最终实现减少变元的目的【迁移训练】已知正实数x，y，z满足2x(x)yz，则的最小值为_【解析】 由题知2xyz，即x2，于是可将给定代数式化简得x22，当且仅当yz时取等号题型5.基本不等式在其他数学问题中的应用例5如图，圆心角为的扇形AOB的半径为1，C为的中点，点D、E分别在半径OA、OB上,若,则的最大值是 .【解析】（解法一）由余弦定理得，由得：，解得，所以时，的最大值为.（解法二）， , 以下同解法一.【点评】基本不等式作为求最值的一种重要的工具，可以结合很多数学知识来考察，解决问题的关键是根据掌握的数学知识将问题转化为前面4种题型里的一种来处理.【迁移训练】设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .【解析】由题设知，椭圆的中心到准线的距离，由，令得，（当且仅当时取等号）即椭圆的中心到准线的距离的最小值题型6.与基本不等式有关的实际问题例6按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；若他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为，如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A，B两种产品的单价成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单价成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mAmB时，求证：h甲h乙；(2)设mAmB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)设(2)中的最大综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由【解析】设mAx，mBy.(1)证明：甲买进产品A的满意度：h1甲；甲卖出产品B的满意度：h2甲.甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲；同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：h乙.当xy时，h甲，h乙，故h甲h乙(2)当xy时，由(1)知h甲h乙，因为，且等号成立当且仅当y10.当y10时，x6，因此，当mA6，mB10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.(3)由(2)知h0，因为h甲h乙，所以，当h甲，h乙时，有h甲h乙.因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立【点评】 本题中的关键是对题干中的“满意度”和“综合满意度”的理解，建立好对应的函数模型后，对于形如y(a，d0)这样的函数，可以用基本不等式求解值域【迁移训练】心理学家研究某位学生的学习情况后发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1；若在t(t0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为(a4)，所以yy2y1(xt)(t4)(1)当a1，t5时，y(x5)121，当且仅当x14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天3） y(xt) 2，当且仅当即x(t4)4时取等号，由题意(t4)4t，所以4a0，b0)的值域，主要依据基本不等式及函数的单调性应用基本不等式求最值，有两个注意点，一是等号不成立时，要研究函数的单调性；二是基本不等式只能求最大值或最小值，不能求出完整值域【强化训练】1. 设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是_【解析】 由x2y3z0得y，代入得3，当且仅当x3z时取“”2. 设ab0，则a2的最小值是_【解析】224当且仅当ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b满足条件.3. 若a，b，c0，且a2abacbc4，则2abc的最小值为_【解析】 由题意，(ab)(ac)4，(ab)(ac)24._5.若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_【解析】 x2y2xy1，(xy)2xy1，即(xy)221，(xy)2，xy.4. 若正实数x，y 满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是 .【解析】185. 已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是 _【解析】由题意得，所以，令，则（当且仅当时等号成立）8.定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是_【解析】易得，所以（当且仅当时取等号）1. 设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a0，b0） 的最大值为12，则的最小值为 . 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=10.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为(为正常数);在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.(1)将表示为的函数;(2)设00） 300942，又N*，故最小正整数943。点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。图例6（1）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。解析：根据图象得A=2，T=（）=4，=，y=2sin（+），又由图象可得相位移为，=，=.即y=2sin（x+）。根据条件=2sin（），=2k+(kZ)或=2k+（kZ），x=4k+（kZ）或x=4k+（kZ）。所有交点坐标为（4k+）或（4k+）（kZ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。（2）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A（，）（，） B（，）C（，） D（，）（，）解析：C；解法一：作出在（0，2）区