湖北省武汉市汉铁高中2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷-Word版含解析

2015-2016学年湖北省武汉市汉铁高中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题：1设A，B是两个非空集合，定义A*B=ab|aA，bB，若A=0，1，2，B=1，2，3，则A*B中元素的个数为( )A6B7C8D92设f（x）=，则f（5）的值为( )A10B11C12D133若f：AB能构成映射，把集合A中的元素叫原像，在集合B中与A中的元素相对应的元素叫像下列说法正确的有( )（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一； （2）B中的元素可以在A中无原像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合BA1个B2个C3个D4个4设函数f（x）在（，+）上是减函数，则( )Af（a）f（2a）Bf（a2+1）f（a）Cf（a2+a）f（a）Df（a2）f（a）5下列各组函数是同一函数的是( )f（x）=与g（x）=x；f（x）=|x|与g（x）=；f（x）=x0与g（x）=； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD6函数的值域为( )A0，2B0，4C（，4D0，+）7若f（x）=x2，则对任意实数x1，x2，下列不等式总成立的是( )Af（）Bf（）Cf（）Df（）8f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )Af（x）+f（x）=0Bf（x）f（x）=2f（x）Cf（x）f（x）0D=19定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有( )A函数f（x）是先增加后减少B函数f（x）是先减少后增加Cf（x）在R上是增函数Df（x）在R上是减函数10已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若集合A中至多有一个元素，则实数a的值是( )Aa=0BaCa=0或aD不确定11设集合S=A0，A1，A2，A3，A4，A5，在S上定义运算“”为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5则满足关系式（xx）A2=A0的x（xS）的个数为( )A1B2C3D412定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上单调递增，a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c大小关系是( )AabcBacbCbcaDcba二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13定义在（1，1）上的奇函数f（x）=，则常数m=_，n=_14设函数f（x）=x2+（2a1）x+4，若x1x2，x1+x2=0时，有f（x1）f（x2），则实数a的取值范围是_15已知x24xa0在x0，1上恒成立，则实数a的取值范围是_16若集合A1，A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A=a1，a2，a3的不同分析种数是_三、解答题：17设全集U=不超过5的正整数，A=x|x25x+q=0，B=x|x2+px+12=0，（UA）B=1，3，4，5，求p、q和集合A、B18已知f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1（1）求证：f（8）=3（2）求不等式f（x）f（x2）3的解集19提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）20已知函数（x1，+）且m1）（）用定义证明函数f（x）在1，+）上为增函数；（）设函数，若2，5是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）0恒成立，求实数m的取值范围21对于函数若f（x）=ax2+（b+1）x+b2（a0），存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“希望值”（1）当a=2，b=2时，求f（x）的希望值；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有希望值，求实数a的取值范围22已知函数f（x）=ax2+bx+c（a0，bR，CR），若函数f（x）的最小值是f（1）=0，f（0）=1且对称轴是x=1，g（x）=（1）求g（2）+g（2）的值；（2）求f（x）在区间t，t+2（tR）的最小值2015-2016学年湖北省武汉市汉铁高中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题：1设A，B是两个非空集合，定义A*B=ab|aA，bB，若A=0，1，2，B=1，2，3，则A*B中元素的个数为( )A6B7C8D9【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题；集合【分析】根据A*B=ab|aA，bB，A=0，1，2，B=1，2，3，求出ab=0，1，2，3，4，6，即可求出A*B中元素的个数【解答】解：因为A*B=ab|aA，bB，A=0，1，2，B=1，2，3，所以ab=0，1，2，3，4，6，所以A*B中元素的个数为6故选：A【点评】此题主要考查了元素与集合关系的判断，以及学生的计算能力，属于基础题2设f（x）=，则f（5）的值为( )A10B11C12D13【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值 【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x10内的函数值即可求出其值【解答】解析：f（x）=，f（5）=ff（11）=f（9）=ff（15）=f（13）=11故选B【点评】本题主要考查了分段函数、求函数的值属于基础题3若f：AB能构成映射，把集合A中的元素叫原像，在集合B中与A中的元素相对应的元素叫像下列说法正确的有( )（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一； （2）B中的元素可以在A中无原像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合BA1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用；映射 【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】根据映射的定义，若f：AB能构成映射，则集合A中的任一元素在B中都有唯一的元素与之对应，逐一分析四个命题的真假，可得答案【解答】解：根据映射的定义，若f：AB能构成映射，则集合A中的任一元素在B中都有唯一的元素与之对应可得：A中的任一元素在B中必须有像且唯一，故（1）正确；B中的元素可以在A中无原像，故（2）正确；B中的多个元素不可以在A中有相同的原像，故（3）错误；像的集合就是集合B子集，故（4）错误综上正确的说法有2个，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了映射的概念，正确理解映射的概念是解答的关键4设函数f（x）在（，+）上是减函数，则( )Af（a）f（2a）Bf（a2+1）f（a）Cf（a2+a）f（a）Df（a2）f（a）【考点】函数单调性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】配方法，先确定变量的大小关系，利用函数的单调性可得【解答】解：a2+1a=（a）2+0，a2+1a函数f （x）是（，+）上的减函数，f （a2+1）f （a）故选B【点评】本题考查函数的单调性，涉及配方法的应用，属中档题5下列各组函数是同一函数的是( )f（x）=与g（x）=x；f（x）=|x|与g（x）=；f（x）=x0与g（x）=； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD【考点】判断两个函数是否为同一函数 【专题】函数思想；数学模型法；定义法；函数的性质及应用【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数【解答】解：由2x30得x0，即函数f（x）的定义域为（，0，则f（x）=x，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数g（x）=|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数两个函数的定义域为（，0）（0，+），两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数故选：C【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数6函数的值域为( )A0，2B0，4C（，4D0，+）【考点】函数的值域 【专题】计算题【分析】先设=x26x5（0），将原根式函数的值域问题转化为二次函数的值域问题解决即可【解答】解：设=x26x5（0），则原函数可化为y=又=x26x5=（x+3）2+44，04，故0，2，y=的值域为0，2故选A【点评】本小题主要考查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力属于基础题7若f（x）=x2，则对任意实数x1，x2，下列不等式总成立的是( )Af（）Bf（）Cf（）Df（）【考点】二次函数的性质 【专题】计算题；数形结合【分析】欲比较f（），的大小，分别考查这两个式子的几何意义，一方面，f（）是x1，x2中点的函数值；另一方面，是图中梯形的中位线长，由图即可得出结论【解答】解：如图，在图示的直角梯形中，其中位线的长度为：，中位线与抛物线的交点到x轴的距离为：f（），观察图形可得：f（）故选A【点评】本小题主要考查二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )Af（x）+f（x）=0Bf（x）f（x）=2f（x）Cf（x）f（x）0D=1【考点】函数奇偶性的性质 【专题】常规题型【分析】由函数为奇函数，可得到f（x）=f（x）且f（0）=0，通过加减乘除来变形，可得到结论【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=f（x）且f（0）=0可变形为：f（x）+f（x）=0f（x）f（x）=2f（x）f（x）f（x）0而由f（0）=0由知D不正确故选D【点评】本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手9定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有( )A函数f（x）是先增加后减少B函数f（x）是先减少后增加Cf（x）在R上是增函数Df（x）在R上是减函数【考点】函数单调性的判断与证明 【专题】证明题【分析】比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论【解答】解：任意两个不相等实数a，b，总有成立，即有ab时，f（a）f（b），ab时，f（a）f（b），由增函数的定义知：函数f（x）在R上是增函数故选C【点评】本题主要考查增函数定义的变形10已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若集合A中至多有一个元素，则实数a的值是( )Aa=0BaCa=0或aD不确定【考点】元素与集合关系的判断 【专题】集合思想；分类法；集合【分析】因集合A是方程ax23x+2=0的解集，欲使集合A=x|ax23x+2=0至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对a进行讨论求解即可【解答】解：集合A=x|ax23x+2=0至多有一个元素，分类讨论：当a=0时，A=x|3x+2=0只有一个元素，符合题意；当a0时，要A=x|ax23x+2=0至多有一个元素，则必须方程：ax23x+2=0有两个相等的实数根或没有实数根，0，得：98a0，a，故选：C【点评】本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想属于基础题11设集合S=A0，A1，A2，A3，A4，A5，在S上定义运算“”为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5则满足关系式（xx）A2=A0的x（xS）的个数为( )A1B2C3D4【考点】整除的基本性质 【专题】压轴题；探究型【分析】本题为信息题，学生要读懂题意，运用所给信息式解决问题，对于本题来说，可用逐个验证法【解答】解：当x=A0时，（xx）A2=（A0A0）A2=A0A2=A2A0当x=A1时，（xx）A2=（A1A1）A2=A2A2=A4=A0当x=A2时，（xx）A2=（A2A2）A2=A0A2=A2当x=A3时，（xx）A2=（A3A3）A2=A2A2=A0=A0当x=A4时，（xx）A2=（A4A4）A2=A0A2=A2A1当x=A5时，（xx）A2=（A5A5）A2=A2A2=A0则满足关系式（xx）A2=A0的x（xS）的个数为：3个故选C【点评】本题考查学生的信息接收能力及应用能力，对提高学生的思维能力很有好处12定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上单调递增，a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c大小关系是 ( )AabcBacbCbcaDcba【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的周期性 【专题】计算题；压轴题【分析】先根据条件推断出函数为以2为周期的函数，根据f（x）是偶函数，在1，0上单调递增推断出在0，1上是减函数减函数，进而利用周期性使a=f（1），b=f（2），c=f（2）=f（0）进而利用自变量的大小求得函数的大小，则a，b，c的大小可知【解答】解：由条件f（x+1）=f（x），可以得：f（x+2）=f（x+1）+1）=f（x+1）=f（x），所以f（x）是个周期函数周期为2又因为f（x）是偶函数，所以图象在0，1上是减函数a=f（3）=f（1+2）=f（1），b=f（）=f（2）=f（2）c=f（2）=f（0）021所以abc故选D【点评】本题主要考查了函数单调性，周期性和奇偶性的应用考查了学生分析和推理的能力二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13定义在（1，1）上的奇函数f（x）=，则常数m=0，n=0【考点】函数奇偶性的性质 【专题】计算题【分析】由题意函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，利用奇函数若在0出有定义则f（0）=0，解出m的值，在利用奇函数的定义得到f（1）=f（1），即可解出n【解答】解：因为函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，所以必定有f（0）=m=0，此时f（x）=，函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数得到f（x）=f（x），即=n=0故答案为：m=0，n=0【点评】此题考查了奇函数若在0出有定义则f（0）=0这一结论，还考查了奇函数的定义及求解一元一次方程14设函数f（x）=x2+（2a1）x+4，若x1x2，x1+x2=0时，有f（x1）f（x2），则实数a的取值范围是（，）【考点】二次函数的性质 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】若x1x2，x1+x2=0时，有f（x1）f（x2），函数图象的对称轴在y轴右侧，即0，解得答案【解答】解：函数f（x）=x2+（2a1）x+4的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若x1x2，x1+x2=0时，有f（x1）f（x2），则0，解得：a（，）；故答案为：（，）【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键15已知x24xa0在x0，1上恒成立，则实数a的取值范围是0，+）【考点】函数恒成立问题 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】化简可得x24xa在x0，1上恒成立，从而转化为求x24x的最大值即可【解答】解：x24xa0在x0，1上恒成立，x24xa在x0，1上恒成立，当x0，1时，（x24x）max=00=0，故a0，故答案为：0，+）【点评】本题考查了恒成立问题的处理方法，化为最值问题即可16若集合A1，A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A=a1，a2，a3的不同分析种数是27【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】新定义；分类讨论【分析】考虑集合A1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，利用二次项定理即可求出值【解答】解：当A1=时必须A2=A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C312；当A1有2个元素时，分析总数为C3222；当A1=A时，分析种数为C3323所以总的不同分析种数为1+C3121+C3222+C3323=（1+2）3=27故答案为：27【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题三、解答题：17设全集U=不超过5的正整数，A=x|x25x+q=0，B=x|x2+px+12=0，（UA）B=1，3，4，5，求p、q和集合A、B【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】根据A补集与B的并集，得到元素2属于A，将x=2代入A中的方程求出q的值，确定出A，求出A的补集，得到元素3属于B，将x=3代入B求出p的值，确定出B即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，A=x|x25x+q=0，B=x|x2+px+12=0，（UA）B=1，3，4，5，2A，将x=2代入x25x+q=0得：410+q=0，即q=6，即x25x+6=0，（x2）（x3）=0，即x=2或x=3，A=2，3，UA=1，4，5，3B，将x=3代入x2+px+12=0得：9+3p+12=0，即p=7，即x27x+12=0，（x3）（x4）=0，即x=3或x=4，B=3，4【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键18已知f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1（1）求证：f（8）=3（2）求不等式f（x）f（x2）3的解集【考点】抽象函数及其应用 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）（2）原不等式可化为f（x）f（8x16），结合f（x）是定义在（0，+）上的增函数可求【解答】证明：（1）由题意可得f（8）=f（42）=f（4）+f（2）=f（22）+f（2）=3f（2）=3解：（2）原不等式可化为f（x）f（x2）+3=f（x2）+f（8）=f（8x16）f（x）是定义在（0，+）上的增函数解得：【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质19提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用 【专题】应用题【分析】（）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20x200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（）先在区间（0，20上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200，然后在区间20，200上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200上的最大值【解答】解：（） 由题意：当0x20时，v（x）=60；当20x200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（）依题并由（）可得当0x20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为6020=1200当20x200时，当且仅当x=200x，即x=100时，等号成立所以，当x=100时，f（x）在区间在区间0，200上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时答：（） 函数v（x）的表达式（） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题20已知函数（x1，+）且m1）（）用定义证明函数f（x）在1，+）上为增函数；（）设函数，若2，5是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）0恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明 【专题】综合题【分析】（）设1x1x2+，=（x1x2）（），由1x1x2+，m1，能够证明函数f（x）在1，+）上为增函数（），对称轴，定义域x2，5，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围【解答】（）证明：设1x1x2+，=（x1x2）（）1x1x2+，m1，x1x20，0，f（x1）f（x2）函数f（x）在1，+）上为增函数（）解：对称轴，定义域x2，5g（x）在2，5上单调递增，且g（x）0，g（x）在2，5上单调递减，且g（x）0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性解题时要认真审题，仔细解答21对于函数若f（x）=ax2+（b+1）x+b2（a0），存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“希望值”（1）当a=2，b=2时，求f（x）的希望值；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有希望值，求实数a的取值范围【考点】二次函数的性质；函数的值 【专题】计算题；新定义；方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】（1）设x为希望值，则有2x2x4=x，变形为2x22x4=0，解方程即可（2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b2=0由已知，此方程有实根，则有x0恒成立求解；【解答】解f（x）=ax2+（b+1）x+b2（a0），（1）当a=2，b=2时，f（x）=2x2x4设x为其不动点，即2x2x4=x则2x22x4=0x1=1，x2=2即f（x）的不动点是1，2（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b2=0由已知，此方程有实根，x0恒成立，即b24a（b2）0即b24ab+8a0对任意bR恒成立b0，16a232a0，0a2【点评】本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键22已知函数f（x）=ax2+bx+c（a0，bR，CR），若函数f（x）的最小值是f（1）=0，f（0）=1且对称轴是x=1，g（x）=（1）求g（2）+g（2）的值；（2）求f（x）在区间t，t+2（tR）的最小值【考点】函数的值；二次函数的性质 【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）由已知得，从而求出f（x）=（x+1）2，由此能求出g（2）+g（2）（2）当t3时 f（x）在区间t，t+2上单调递减，当3t1时，f（x）在区间t，1上单调递减，在区间1，t+2上单调递增当 t1时，f（x）在区间t，t+2上单调递增，由此能求出f（x）min【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c（a0，bR，CR），函数f（x）的最小值是f（1）=0，f（0）=1且对称轴是x=1，解得，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2g（x）=，g（2）+g（2）=（2+1）2（21）2=8（2）当t+21时，即t3时 f（x）=（x+1）2在区间t，t+2上单调递减当 t1t+2时，即3t1时 f（x）=（x+1）2在区间t，1上单调递减，f（x）=（x+1）2在区间1，t+2上单调递增当 t1时，f（x）=（x+1）2在区间t，t+2上单调递增，f（x）min=f（t）=（t+1）2【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质和分类讨论思想的合理运用