《高等数学》教案

高等数学授课教案第一讲 高等数学学习介绍、函数教学目的：了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。重 难 点：数学新认识，基本初等函数，复合函数教学程序：数学的新认识函数概念、性质（分段函数）基本初等函数复合函数初等函数例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前 言：本讲首先是高等数学的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。2、对数学的新认识（1）新数学观数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。（3）新数学素质教育观数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。见教材“序言”二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。（用变化的观点定义函数），记：（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D）。 (2)值 域：函数值的集合，即。 例1、求函数的定义域？2、函数的图像：设函数的定义域为D，则点集 就构成函数的图像。例如：熟悉基本初等函数的图像。3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。例2、作函数的图像？例3、求函数三、基本初等函数 熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。四、复合函数：设y=f(u),u=g(x)，且与x对应的u使y=f(u)有意义，则y=fg(x)是x的复合函数，u称为中间变量。说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1) (2) (3) 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一个表达式所表示。说 明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。思考题：1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ 定义域、对应法则2、 思考函数的几种特性的几何意义？ 奇偶性、单调性、周期性、有界性3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？不能探究题： 图15 时间 一位旅客住在旅馆里，图15描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图15标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？ 小 结：函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。作 业：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）课堂练习（初等函数）【A组】1、求下列函数的定义域？(1) (2) (3) (x-1) (4) 2、判定下列函数的奇偶性？(1) (2) (3) 3、作下列函数的图像？(1) (2) (3) 4、分解下列复合函数？(1) (2) (3) (4) 【B组】1、证明函数为奇函数。2、将函数改写为分段函数，并作出函数的图像？3、设？4、设=，求，？数学认识实验： 初等函数图像认识1、幂函数：（如）2、指数与对数函数：（如） 3、三角函数与反三角函数：（） 4、多项式函数：（） 5、分段函数：（） 第二讲 导数的概念（一）、极限与导数教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。重 难 点：求极限，导数定义及由定义求导法教学程序：极限的定义及求法（例）导数的引入（速度问题）导数的概念导数与极限基本初等函数的导数（定义法）例子（简单）授课提要：前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。一、理论基础极 限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）（1）若为多项式，则例1：求下列极限(1) (2) (3) （2）若为有理分式且,则（代入法）例2：求下列极限(1) (2) (3) （3）若分式,当时，则用约去零因子法求极限例3：求下列极限(1) (2) (3) （4）若分式,当时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。例4：求下列极限(1) (2) (3) 3、两个重要极限（1） （2）说明：其中可以是的形式，且当时，。例5：求下列极限(1) (2) (3) (4) 二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动）引例2、切线问题（曲线） 以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y关于自变量x在某一点处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。解决问题的思路：1、 自变量x作微小变化Dx，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率，作为点处变化率的近似值；2、 对求Dx0的极限，若它存在，这个极限即为点处变化率的精确值。定 义：设函数在点及附近有定义，当在点取得增量时，相应函数取得增量，若当时，比值的极限存在，则称此极限值为在处的导数或微商。记，即说明：(1)比值是函数在上的平均变化率；而是在处的变化率，它反映函数在点随自变量变化的快慢程度；(2)若不存在（包括），则称在点不可导；(3)若在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记，称为导函数，简称导数。(4)f(x)是x的函数，而f(x0)是一个数值，f(x)在点处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值。三、导数与极限的关系导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-有极限，反之不成立。四、基本初等函数的导数（定义） 由定义知求函数导数的步骤：（三步骤）（1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。例6、由定义求函数的导数？例7、由定义求函数的导数？（推导）思考题：1、 是否存在，为什么？02、若曲线= 在处切线斜率等于 3 ，求点的坐标。3、 已知，利用导数定义求极限。0探究题：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法”有什么体会？ 近似转化为精确的数学方法小 结：导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。作 业：P22（A：1-3；B：3-4）课堂练习（导数的概念一）【A组】1、求下列极限 (1) (2) (3) （4） （5） （6）2、求极限？ 3、求极限：？4、已知，求a的值？ 25、用导数定义，求函数在x=1处的导数？6、设物体的运动方程为，求(1)物体在t=2秒和t=3秒间的平均速度？(2)求物体在t=2秒时的瞬时速度？【B组】1、设？ 2、设函数？ 23、证明导数公式：4、一药品进入人体t小时的效力，求t=2,3,4时的效力E的变化率？5、设 A 。A、左右导数都存在 B、左导数存在，右导数不存在C、右导数存在，左导数不存在 D、都不存在6. 若（为常数），试判断下列命题是否正确。全部（1）在点 处可导； （2）在点 处连续；（3）= ；数学认识实验： 两个重要极限的图像认识1、极限：2、极限：3、等价无穷小的直观认识：（）第三讲 导数的概念（二）教学目的：熟悉导数基本公式；理解导数的几何意义，会求切线方程。重 难 点：基本导数公式，导数的几何意义（求切线方程）教学程序：复习导数定义基本导数公式例子（求导数）导数的几何意义例子（切线方程）导数的物理意义（例子）授课提要：一、基本初等函数的导数例1、求的导数？（由导数的定义推导）于是我们有公式：同样，由定义可得基本初等函数的导数公式： 二、导数的运算法则（u,v为可导函数）1、代数和：2、数 乘： 例2、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) 例3、求函数在给定点的导数值？(1) (2) 三、导数的几何意义（作图说明） 结论：表示曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）的切线斜率。例4、求曲线在点(1,0)处的切线方程？例5、设f(x)为可导函数，且，求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线斜率？ 导数定义及几何意义四、导数的物理意义 结论：设物体运动方程为，则表示物体在时刻t的瞬间速度。例6、设物体的运动方程为，求物体在时刻t=1时的速度？例7、求曲线上一点，使过该点的切线平行于直线。例8、设某产品的成本满足函数关系：(x为产量)，求x=2时的边际成本，并说明其经济意义。思考题： 与有无区别？，探究题：导数的值可不可以为负值？举例说明。可以小 结：导数的美学意义：局部线性之美（）。它将可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。作 业：P25（A：1）；P28（A：1，3）课堂练习（导数概念二）【A组】1、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) (5) 2、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) 3、求函数在x=1处的导数值？4、设5、设物体的运动方程为，求时刻t=3时的速度？6、 抛物线 = 在何处切线与轴正向夹角为，并且求该处切线的方程.【B组】1、一球体受力在斜面上向上滚动，在t秒末离开初始位置的距离为，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？2、已知曲线与相交于点（1，1），证明两曲线在该点处相切，并求出切线方程？数学认识实验： 导数的几何意义和美学价值PQ1、导数的定义（切线问题）2、导数的几何意义：（）3、导数的美学意义：曲线的局部线性化。（1）在x=0处比较：曲线与切线；（2）在x=1处比较：曲线与切线。 第四讲 求导公式与求导法则（一）教学目的：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。重 难 点：基本导数公式与法则教学程序：基本公式运算法则例子二阶导数的定义及求法授课提要：一、基本导数公式 由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：二、导数的四则运算法则设u、v为可导函数，则1、 2、3、 4、例1、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) 例2、求函数在给定点的导数值？(1) (2) 例3、设例4、已知曲线的切线与直线垂直，求此切线方程？三、二阶导数1、定义：若导函数再求导数，称为的二阶导数。记：2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。例5、求下列二阶导数(1) (2) (3) (4)3、二阶导数的物理意义 设物体的运动规律为：，则表示物体在时刻t的加速度。例6、设物体的运动方程为：，求t=2时的速度和加速度？思考题： 1. 思考下列命题是否成立？(1)若，在点处都不可导，则点处也一定不可导.答：命题不成立.如：= =，在 = 0 处均不可导，但其和函数+= 在= 0 处可导.(2)若在点处可导,在点处不可导，则+在点处一定不可导.答：命题成立.原因：若+在处可导，由在处点可导知=+在点处也可导，矛盾.探究题：某产品的需求方程和总成本函数分别为，其中为销售量，为价格。求边际利润，并计算和时的边际利润，解释所得结果的经济意义。导数的经济意义 小 结：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的变化率。指路程对时间的变化率，指速度对时间的变化率。二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向。作 业：P30（A：1-2）小知识：数学的三次危机第一次数学危机：无理数的产生。（单位正方形的对角线长）第二次数学危机：微积分的产生和完善。（极限和无穷小的定义）第三次数学危机：集合论的产生。（罗素悖论）课堂练习（导数公式与法则一）【A组】1、求下列导数(1) (2) (3) (4) 2、曲线在何处有水平切线？ x=-2/33、已知曲线的切线与直线垂直，求此切线方程？e4、求下列二阶导数(1) (2) (3) 【B组】1、设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，求极限？2、若？ 13、设，求？ -24、已知，二阶连续可导，求？ 5、设某种汽车刹车后运动规律为，假设汽车作直线运动，求汽车在秒时的速度和加速度。数学认识实验： 函数与导函数的图像比较（）第五讲 求导法则（二）、连续与导数教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。重 难 点：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系教学程序：复习基本导数公式、法则连续概念（极限定义）连续的条件初等函数的连续性可导与连续（例）连续函数的极限（例子）授课提要：一、复习基本导数公式和法则 举 例：（略）二、连续的概念（作图直观理解） 1、定 义：设函数在x0点及附近有定义，当时,有，则称f(x)在x0点连续。说明：连续是一种特殊的极限。连续有极限，反之不成立。例1、试证在x=0处连续？三、函数连续的条件（）f(x)在x0点及附近有定义（）f(x)在x0点的极限存在（）极限值等于函数值。例2、讨论函数在x=0处的连续性？四、初等函数的连续性 初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。五、可导与连续1、可导与连续的图象特征（1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例） （2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点）2、可导与连续的关系定理：若函数f(x)在x0点可导，则f(x)在点x0连续；反之，结论不成立。例3、试证函数在x=0点连续但不可导。例4、试证函数在x=0点连续但不可导,但切线存在。3、极限、连续、可导之间的关系xyOy=|x| 可导连续有极限；反之不一定成立。如在x=0处。1xyOy=-1-11六、连续函数的极限若f(x)在x0点连续，则例5、求下列极限（1） (2) （3） (4) 例6、讨论在x=0处的连续性？思考题： 1如果在处连续，问|在处是否连续？ 连续2 如果在处可导，问|在处是否可导？ 不一定3求函数的间断点，并判断其类型。探究题：作图说明函数不可导点的类型。不连续点、尖点、折点小 结：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩和社会发展中的跳跃性。作 业：P34（A：1-2）；复习题（2-5）课堂练习（求导公式与法则二）【A组】1、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) 2、求函数在x=1处的导数值？3、求曲线在点（-1，0）处的切线方程？ 4、试定义f(0)的值，使函数在x=0处连续？5、设，问a为何值时，函数在x=0处连续？2【B组】1、作函数的图像？2、设函数f(x)在x=2处连续，且，求？ 23、设f(x)有连续导数，？ 124、设，问a,b为何值时，函数f(x)处处连续、可导？5、x=1是函数的（ B ）（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）无穷间断点*6、若f(x)在0，a上连续，且f(0)=f(a)，试证：方程在（0，a）内至少有一个实根。 提示：作新函数，在上使用零点存在定理数学认识实验： 不可导点的类型1、连续而不可导的点（尖、折点）（如：） 2、不连续点为不可导点： 第六讲 定积分的概念教学目的：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义。重 难 点：作为面积的定积分概念教学程序：提出问题解决问题（思想）定积分定义定积分的几何意义（例子）定积分的性质（简单）授课提要：前 言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常会遇到各种平面图形的面积计算。对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学的方法计算，但由任一连续围成的图形的面积就不会计算。下面讨论由连续曲线所围成的平面图形的面积的计算方法。一、问题引入1、曲边梯形的定义所谓曲边梯形是指有三条直线段，其中两条相互平行，第三条与这两条相互垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。（如图所示） 2、引 例：如何求曲线所围成的面积？(特殊曲边梯形)（1）分析问题若将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有一条边是曲的。设想：用矩形近似代替曲边梯形。为了减少误差，把曲边梯形分成许多小曲边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。当分割越细，所得的近似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。y（2）解决问题（思路）y=x2第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和01x第四步：取极限二、定积分的定义现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分割取近似，求和取极限”的方法，将所求的量归结为一个和式极限。我们称这种“和式极限”为函数的定积分。定 义： （说明定积分中各符号的称谓）由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积说 明：定积分是一个特殊的和式极限，因此，它是一个常量，它只与被积函数f(x)、积分区间a,b有关，而与积分变量用何字母表示无关。三、定积分的几何意义（作 图）当函数f(x)在a,b上连续时，定积分可分成三种形式：1、若在a,b上，则定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A，即2、若在a,b上，则定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A的相反数，即3、若在a,b上，f(x)可正可负，则定积分表示x轴上方图形的面积A1与下方图形的面积A2之差，即结论：定积分的几何意义：“有号面积”， 即。例1、用定积分几何意义判定下列积分的正负：（1） （2）例2、用定积分表示由曲线y=x2+1,直线x=1,x=3和y=0所围成的图形面积？四、定积分的性质（简略）（1） （2） （3）（4）积分中值定理： 设函数f(x)在以a，b为上下限的积分区间上连续，则在a，b之间至少存在一个x（中值），使 =f(x)(ba)y=f(x)xyOabxf(x)积分中值定理有以下的几何解释：若f(x)在a，b上连续且非负，定理表明在a，b上至少存在一点x，使得以a，b为底边、曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积，与同底、高为f(x)的矩形的面积相等，如图所示因此从几何角度看，f(x)可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值角度上看，f(x)理所当然地应该是f(x)在a，b上的平均值因此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题思考题：1、 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数。矩形的面积2、 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义求下列积分的值：（1）, （2）, （3）, （4）.探究题：用定积分的符号、定义、结果、方法等说明“什么是定积分”？小 结：定积分的本质：从宏观（整体）研究非均匀量的“改变量”问题。是处理非均匀量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范围内以“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。其中，“分”是为了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求。作 业：P40（A：1-3）课堂练习（定积分的概念）【A组】一、判定正误：1、定积分表示曲边梯形的面积。（ F ）2、定积分的值与被积函数f(x)、积分区间a,b及积分变量x有关。F3、 （ T ） 4、 （ F ）二、用定积分表示面积：(1)曲线 (2)由方程所确定的圆的面积？三、 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数。【B组】一、由定积分的几何意义计算：？ 二、由定积分的几何意义求直线所围成的平面图形的面积？三、用定积分的定义求曲线所围成的平面图形的 面积？数学认识实验： 定积分思想的几何直观1、函数在0,1上所围成的面积分析：（1）步长为0.1的分割。（n=10）（2）步长为0.05的分割。（n=20）（3）步长为0.01的分割。（n=100）第七讲 定积分与导数教学目的：掌握原函数的概念及N-L公式。重 难 点：作为路程的定积分、微积分基本定理教学程序：复习定积分概念（和式极限）原函数N-L公式（求路程）推导NL公式（计算方法）定积分的计算（简单）授课提要：前 言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所以必须寻找新的计算方法。下面将研究定积分与导数的关系。一、原函数的概念定 义：若在某一区间上有，则称F(x)是f(x)的一个原函数。如：已知，所以是2x的一个原函数，同理，也是它的原函数。（说明：原函数不唯一）*二、变上限函数设函数f(x)在a,b上连续，且，则称函数为变上限函数。记。它有如下性质：(1)；(2)若在a,b上连续，则在a,b上可导，且有。由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是f(x)的一个原函数。定 理（原函数存在定理）若f(x)在a,b上连续，则其原函数一定存在，且原函数可表示为例1、求 ？ 例2、求 ？三、NL公式（直观推导）设一辆汽车作变速直线运动（如图），从时刻a到b，求其经过的路程？（1）若已知路程函数，则；（2）若已知速度函数，则由定积分有；（3）s(t)与v(t)有如下关系：，即s(t)是v(t)的一个原函数。一般地，有如下定理：设函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则说 明：(1)NL公式揭示了定积分与原函数（不定积分）间的联系，给定积分的计算提供了有效而简便的方法。 (2)由定义知求定积分的步骤：求原函数 求原函数的增量例3、求下列定积分：（1） （2） （3）例4、求由曲线，直线x=0，x=，y=0所围成的图形面积？例5、求曲线所围成的平面图形的面积？例6、设物体的速度，求时段的距离？思考题：1、 ?答：因为是以为自变量的函数，故=0.2、 答：因为是常数，故.3、 ？ 答：因为的结果中不含，故0.4、 ？ 答：由变上限定积分求导公式，知.小 结：NL公式的意义：将矛盾的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中的“对立统一”规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观上的统一之美。作 业：P46（A：1）；（B：1）课堂练习（定积分与导数）【A组】1、计算下列定积分：（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、求曲线所围成的图形的面积？3、设，求k的值？ 24、设 两边求导数【B组】1、设，求a的值？ 32、求导数：？ 3、用定积分求极限：（）*4、利用定积分的性质求极限：？（估值定理、夹值定理）*5、证明方程在(0,1)内有唯一实根。*6、设f(x)在0，4上连续，且，则f(2)= 1/4 。数学认识实验： 定积分：的几何直观第八讲 习题课（导数与定积分）教学目的：系统化本单元内容，掌握基本概念与方法。一、基本概念及方法：1、极限的概念，求极限的方法；2、导数的概念，导数公式及运算法则3、导数的几何、物理及经济意义4、定积分的概念，定积分的几何、物理意义（经济意义）5、用N-L公式求定积分二、基本题型：1、求下列极限（1） （2） （3） （4）2、求下列导数（1） （2） （3）3、求下列导数（1） （2） （3）4、求下列积分（1） （2） （3）5、求曲线在点（1，2）处的切线方程？6、求在t=2时的速度？7、设某产品的成本函数，求其边际成本？8、求曲线所围成的图形的面积？9、已知物体的速度为，求时段经过的路程？10、设 可加性11、设f(x)在a,b上连续，则曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及y=0所围成的曲边梯形的面积为 。三、提示与提高：1、无穷小的定义与性质定 义：若,则称时为无穷小。性 质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。例1、求极限，？2、无穷小的比较：（略）当时，有等价；当时，；例2、当时，比较的阶？3、闭区间上连续函数的性质（1）有界定理；（2）最值定理；（3）零点定理；（4）介值定理例3、设f(x)在0，2上连续，且f(0)=f(2),证明方程在0，1上至少有一实根。4、函数间断点的分类（略）5、定积分的性质（1）；（2）若在a,b上有，则 特别地，若在a,b上有，则（3）对任意实数C有（4）设函数f(x)在a,b上的最大、最小值分别为M、m，则有 （5）设f(x)在a,b上连续，则其在a,b上的平均值 例3、比较大小：与例4、求定积分：，其中例5、求在区间1,3上的平均值？第九讲 求导法则（三）、复合函数求导（一）教学目的：掌握基本导数公式和四则运算法则，会求一般函数的导数。重 难 点：四则运算法则、复合函数的连锁法则教学程序：基本初等函数的导数公式（复习）导数四则运算法则例子授课提要：前面我们学习了导数的概念及简单函数求导，本节将系统学习函数求导方法。一、复习基本初等函数的导数公式（重点）（板书略）二、复习导数四则运算法则（重点）设u(x),v(x)为可导函数，则(1) (2) (3) 例1、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) 例2、求的导数？（由商的导数公式推导）于是有 同理： 例3、求函数处的导数值？例4、求过点（1，2）且与曲线相切的直线方程？三、复习复合函数的概念及分解说明：复合函数分解一般从外向内分解，分解至基本初等函数或简单函数即可例5、分解下列函数（1） （2） （3）四、复合函数的求导法则 设是关于x的复合函数，则 说明：（1）求复合函数的导数，首先分清楚函数的复合结构，求出每一层次简单函数的导数，再使用连锁法则，就得到复合函数的导数； （2）复合函数的分解一般按由外向内的顺序进行。例6、求下列导数（先分解后求导）(1) (2) (3) (4) 例7、设在可导，且，记，其中a为常数，求？例8、设？ 5e思考题：1、设，求？利用指数恒等式：2、 设求？ 小 结：掌握复合函数求导的连锁法则；对复合函数求导明确：（1）熟练基本导数公式；（2）恰当分解复合函数；（3）正确使用“连锁法则”。作 业：P55（A：1-2；B：2）；P58（A：1）思考题：1. 给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？答：一定能求出其导函数。因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数，而初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合运算形成，据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数。课堂练习（求导法则三、复合函数一）【A组】1、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) 2、设3、在曲线上取两点x1=1,x2=3，过这两点引割线，问曲线上哪点的切线平行于所引割线？4、求下列函数的导数(1) (2) (3) (4) 5、求函数在x=1处的导数值？6、已知曲线的切线与直线垂直，求此切线方程？【B组】1、证明可导的偶函数的导数是奇函数。2、设？ 1/33、设，问a,b为何值时，函数f(x)处处连续、可导？4、设？ 5、设f(x)有连续导数，？12数学认识实验： 函数与导函数的图像第十讲 复合函数（二）、高阶导数教学目的：熟练掌握复合函数求导，会求函数的二阶导数。重 难 点：复合函数求导、二阶导数教学程序：复合函数的求导法则（复习）例子高阶导数定义例子二阶导数的物理意义求高阶导数授课提要：一、复习复合函数求导（）例1、求下列函数的导数（1） （2） （3）例2、设，求？ 例3、设 略例4、设？二、高阶导数的概念 函数y=f(x)的n-1阶导数的导数称为函数的n阶导数。说明：求高阶导数就是反复利用求一阶导数的方法即可。例5、求下列函数的二阶导数？ (1) (2) (3) 例6、设？例7、求和的n阶导数？例8、求的n阶导数？ 例9、求的n阶导数？三、二阶导数的物理意义（复习） 设物体的运动方程为s(t)，则表示物体在时刻t的加速度。例10、设物体的运动规律为：时的速度和加速度？探究题：（股票走势）设代表某日某公司在时刻的股票价格，试根据以下情形判定的一阶、二阶导数的正、负号：（1）股票价格上升得越来越快；（2）股票价格接近最低点。 思考题：某公司的一次广告促销活动中，销量提高了，但销量关于时间的曲线是凹的，这表明该公司的经营情况如何？为什么？若曲线是凸的呢？表明销量增长速度很快小 结：理解高阶导数的“递归定义法”（即，高一阶导数是通过低一阶导数求导而来）；一阶导数的符号可以反映事物是增长还是减少；二阶导数的符号则说明增长或减少的快慢。作 业：P59（A：2-3；B：1）课堂练习（复合函数求导二）【A组】1、求下列导数（1） （2） （3）2、求下列函数的二阶导数(1) (2) (3) 3、验证函数4、设物体的运动规律为，求物体在t=0时的速度和加速度？5、设函数f(x)为偶函数，且，求？6、设周期函数f(x)在R内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点（5,f(5)）的切线斜率为 2 。【B组】1、设？ 12、若，求？ 63、求的n阶导数？变形第十一讲 隐函数求导、对数求导法教学目的：掌握隐函数的求导方法，了解对数求导法。重 难 点：隐函数的求导法教学程序：隐函数的概念隐函数的求导方法（举例说明）对数求导法（例子）参数方程的导数例子授课提要：一、隐函数概念自变量与因变量的函数关系由方程所确定的函数称为隐函数。 如：等所确定的y是x的隐函数。说明：有些隐函数可化成显函数，但更多的不能化成显函数；同时应明确并非任意一个方程都能确定一个隐函数。二、隐函数的求导隐函数求导方法：在方程的两边各项分别对x求导，视y为x的函数，按复合函数的求导法则求导，最后解出y即可。例1、求隐函数的导数？例2、求隐函数的导数？例3、求隐函数在点（0，1）的导数值？ 1/e说明：隐函数的导数一般是含x和y的表达式。例4、求曲线在点（1，1）处的切线方程？三、对数求导法 对于幂指函数(其中u,v是x的函数），或由多项式乘除运算和乘方、开方所得函数的求导，其方法：应先对方程两边取对数，然后用隐函数求导法求导数。（即先取对数，后求导数）例5、求函数的导数？例6、求函数的导数?例7、求导数：*四、参数方程的导数设函数，且函数的反函数存在，由复合函数求导公式得：说明：参数方程的导数一般是含参变量t的表达式。例8、求函数的导数？思考题：1、如何求的导数？ 两次取对数后再求导数 2、求的导数？ 先区对数再求导数3、一球形细胞以/天增长体积，当3的半径为时，其半径增长速度是多少？ 小 结：隐函数求导的关键：（1）明确方程中是的函数，即；（2）方程中各项最终是关于求导；（3）解出（一般是含的表达式）。 参数方程的导数：其公式是由复合函数求导法则推导得来。作 业：P62（A：2-3；B：1-2）课堂练习（隐函数求导）【A组】1、求下列隐函数的导数(1) (2) (3) 2、求由方程所确定的函数y在点（0，1）处的导数？3、求由方程所确定的隐函数的导数？4、设物体的运动方程为：，求(1)物体任意时刻的速度和加速度？(2)何时速度为0？(3)何时加速度为0？*5、求下列导数（1） （2）【B组】1、设函数y=y(x)由方程所确定，求？2、求隐函数的二阶导数？3、确定a,b,c的值，使抛物线与曲线在x=0处 相交，并具有相同的一、二阶导数。4、设5、设 。*6、证明：曲线上任一点的切线所截二坐标轴的截距之和等于1。*7、已知，求。归纳总结： 初等函数的导数1、根据导数的定义求导数设函数在点及附近有定义，求函数在的导数步骤：（1）求函数增量：；（2）求比值：；（3）求极限：或。2、基本导数公式（常用）3、四则运算法则（可导）； ； 4、复合函数的导数设函数复合成函数，则或5、隐函数的导数设函数是由方程所确定的隐函数，则6、参数方程的导数设函数是由参数方程确定，则第十二讲 习题课（函数求导的方法）教学目的：系统化本单元内容，系统掌握函数的求导方法。一、函数求导的基本方法：1、由定义求导（三步骤）；2、基本初等函数的导数公式与法则；3、复合函数的求导方法（连锁法则）；4、隐函数的求导方法、对数求导法、*参数方程的导数5、求函数的高阶导数。二、基本题型：1、求下列导数（1） （2） （3）2、求下列导数（1） （2） （3）3、求下列函数的二阶导数(1) (2) (3) 4、设物体的运动规律为，求物体在t=0时的速度和加速度？5、设，求？6、设？7、设为可导的偶函数，且，求曲线在点处的切线方程？8、求下列隐函数的导数(1) (2) (3) 9、求由方程所确定的函数y在点（0，1）处的导数？10、求函数的导数？11、已知，求？三、微积分的发展史（16151883年）我绝对相信历史事实是一种出色的教育指南 M.Kline1615年，德国的开卜勒发表酒桶的立体几何学，研究了圆锥曲线旋转体的体积。1635年，意大利的卡瓦列利发表不可分连续量的几何学，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。1637年，法国的笛卡尔出版几何学，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。1638年，法国的费马开始用微分法求极大、极小问题。1638年，意大利的伽利略发表关于两种新科学的数学证明的论说，研究距离、速度、加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽利略重要的科学成就。1665-1676年，牛顿（1665-1666年）先于莱布尼茨（1673-1676年）制定了微积分，莱布尼茨（1684-1686年）早于牛顿（1704-1736年）发表了有关微积分的著作。1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作关于极大极小以及切线的新方法。1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。1691年，瑞士的约.贝努利出版微分学初步，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。1697年，瑞士的约.贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。1704年，英国的牛顿发表三次曲线枚举、利用无穷级数求曲线的面积和长度、流数法。1711年，英国的牛顿发表使用级数、流数等的分析。1715年，英国的布.泰勒发表增量方法及其他。1731年，法国的克雷洛出版关于双重曲率的曲线的研究，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。第十三讲 函数的单调性教学目的：掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间。重 难 点：单调性判别法教学程序：简介微分中值定理复习单调性的定义单调性的判定（导数）求单调区间（例子）归纳总结解题步骤授课提要：一、拉格郎日中值定理xxyabPOAB若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使。（作图说明）说明：(1)此定理是微积分学的重要定理，它准确地表达了函数在一个闭区间上的平均变化率和函数在该区间内某点的导数间的关系，它是用函数的局部性来研究函数的整体性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。例1、验证：函数是否满足拉格郎日的条件，若满足，求出？ 任取闭区间例2、证明： 用Lagrange定理二、罗比达法则（叙述）1、使用条件：（1）属于的不定式；（2）导数的极限存在；2、使用方法：先求导数，后求极限；满足条件时可连续使用。例2、求下列极限（1） （2） （3） （4） （5） （6）三、函数的单调性及判定（一阶导数）1、复习单调性的概念：（略）2、作图说明函数的单调性与导数的正负有关：（作图演示）3、单调性判定定理： 设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导 (1)若,则f(x)在（a,b）内单调增加； (2)若,则f(x) 在（a,b）内单调减少； (3)若,则在（a,b）内，f(x)=C。例3、判定的单调性？例4、判定函数的单调性？四、求函数单调区间1、驻点的概念（一阶导数为0的点）2、求函数y=f(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求出的点和不存在的点，并以这些点为分界点将定义域区间分成若干部分区间；(3)列表讨论函数在各部分区间上的单调性。例5、求函数的单调区间？例6、求函数的单调区间？例7、证明：当（作辅助函数）思考题：1、用洛必达法则求极限时应注意什么？注意使用条件2、试用Lagrange中值定理证明函数单调性的判定定理。小 结：微分中值定理是连接函数“局部性质与整体性质”的桥梁。体现了局部与整体本质上的内部联系。作 业：P72（A：1）课堂练习（函数的单调性）【A组】1、证明函数在区间（0，+）内单调递增？2、求函数的驻点？3、求函数的单调区间？4、证明不等式：5、判定正误：(1)若f(x)在(a,b)内单调递增，则-f(x)在（a,b）内单调递减。（ T ）(2)若，则x0必为驻点。 （ T ）(3)若x0为函数f(x)的驻点，则曲线f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线方程为 （ T ）【B组】1、证明函数在（-，0）内单调递增。2、设函数间的关系？3、证明：函数在内有唯一实根。4、设f(x)具有二阶导数，且单调增加。5、设函数有连续的二阶导数，且，求极限：？ -1*6、求证：方程提示：作新函数，用根存在定理和单调性证明。数学认识实验： 微分中值定理的几何直观1、比较罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的几何意义 当函数以参数方程给定，曲线上点的切线斜率为，端点连线的斜率为，于是由Lagrange定理得Cauchy定理。yTBPAxg(a)g(b)Ox2、单调性与导数正负的几何直观 第十四讲 函数的极值教学目的：理解极值的定义，掌握函数极值的求法。重 难 点：极值概念及求法教学程序：极值的概念极值存在的必要条件极值存在的充分条件（第一、第二充分条件）求函数的极值（例子）归纳总结解题步骤授课提要：一、函数的极值1、定 义：（略）（作图直观理解） 说明：(1)极值是一个局部概念； (2)极值点是函数增减或减增的分界点。2、极值存在的必要条件 若函数f(x)在点取极值，则不存在。说明：(1)若, 不一定是极值点。如：在x=0处。 (2)若不存在，也可能是极值点。如：在x=0处。二、极值存在的第一充分条件（一阶导数法：略）例1、求函数的极值点和极值？例2、求的单调区间和极值？三、极值存在的第二充分条件（二阶导数法） 设f(x)在点有一、二阶导数，且，则 (1)若,则f(x0)为极小值； (2)若,则f(x0)为极大值。例3、求函数的极值？例4、求函数的极值？四、求函数极值的一般步骤(1)确定函数定义域；(2)求函数导数，确定驻点和导数不存在的点；(3)用极值的第一或第二充分条件确定极值点；(4)把极值点代入原函数f(x)，求出极值并指明是极大还是极小。说