初中平方根知识讲解

平方根（基础）【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为5，所以本说法正确；B.因为1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为4，所以本说法错误；D.因为0，0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根（ ）（2）（ ）（3）的平方根是（ ）（4）是的算术平方根（ ）【答案】 ； ； ， 提示：（2）；（4）是的算术平方根2、 填空：（1）是 的负平方根 （2）表示 的算术平方根， （3）的算术平方根为 （4）若，则 ，若，则 【思路点拨】（3）就是的算术平方根，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：3是9的平方根 9的平方根是34是8的正的平方根 是64的负的平方根A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）3 （2） （3） （4）【答案】（1）15；（2）15；（3）0.3；（4）3、使代数式有意义的的取值范围是_ 【答案】；【解析】10，解得.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.举一反三：【变式】代数式有意义，则的取值范围是 【答案】.类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的.（1） （2）； （3）【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将看作一个整体，（3）小题将看作一个整体，求出它们的解后，再求.【答案与解析】解：（1） （2） 117 16或18.（3） 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3， 由题意得，31323 31323 21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高）【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若24与31是同一个正数的两个平方根，求的值【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到24（31），解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 24（31），解得1；的值为1【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知21与2是的平方根，求的值.【答案】21与2是的平方根，所以21与2相等或互为相反数.解：当212时，1，所以当21（2）0时，1，所以2、为何值时，下列各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)【答案与解析】解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义(2)由题意可知：，所以时，有意义(3)由题意可知：解得：所以时有意义(4)由题意可知：，解得且所以当且时，有意义【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义举一反三：【变式】已知，求的算术平方根【答案】解：根据题意，得则，所以2， ，的算术平方根为类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1)；(2)【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)；(2)【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的.（1） （2）； （3）【答案与解析】解：（1） （2） 117 16或18.（3） 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的：（1）若，则_； （2），则_；（3）若则_； （4）若，则_【答案】（1）1.1；（2）13；（3）；（4）2.类型四、平方根的综合应用5、已知、是实数，且，解关于的方程【答案与解析】解：、是实数，3，把3，代入，得24，6【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若，求的值【答案】解：由，得，即，当1，1时，当1，1时，6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (0) ，则宽为2，依题意得 . . . 0， . 长方形纸片的长为. 5049, . , 即长方形纸片的长大于20. 由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.7