资源描述
函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称偶函数；一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇（函数） 偶偶偶（函数） 奇奇偶（函数） 偶偶偶（函数）奇偶奇（函数）8、多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.9、复合函数的奇偶性若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是:函数奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数.三、函数的奇偶性的判断函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能2、数量关系哪个成立；判断分段函数的奇偶性判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意X与X的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。命题3：是任意函数，那么与都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。命题4：如果函数满足：，那么函数是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数从图像上看，的图像既不关于原点对称，也不关于轴对称，故此函数非奇非偶。命题5：设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1(x)f(x)f(x)为偶函数，F2(x)f(x)f(x)为奇函数此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6：已知函数是奇函数，且有定义，则。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7：已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。图象法：如二次函数成为偶函数，必须要使对称轴，即；若二次函数成为奇函数，必须要使；当时，二次函数是非奇非偶函数。奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。七、关于函数奇偶性的简单应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：1、利用奇偶性求函数值【例1】已知且，那么 。【例2】设f（x）是定义在R上的偶函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_ _。【例3】 是定义在R上的奇函数,则=_；若有，则_；若；则_；【例4】已知函数,若为奇函数，则_；2、利用奇偶性比较大小【例5】已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。【例6】若是R上的偶函数，且在0，+）上是增函数，则下列各式成立的是：（ ） 【例7】 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）A增函数且最小值是 B增函数且最大值是C减函数且最大值是 D减函数且最小值是【例8】 ，为偶函数，试比较的大小关系。【例9】 为偶函数，若，求取值范围。3、利用奇偶性求解析式【例10】已知为偶函数，当时，当时，求的解析式。【例11】若是定义在（-，0）（0，+）上的奇函数，当x0时，求当时，函数的解析式。【例12】设是定义在R上的奇函数,且当，试求函数的解析式。4、利用奇偶性讨论函数的单调性【例15】若是偶函数，讨论函数的单调区间。5、利用奇偶性求参数的值【例16】定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？【例17】设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围6、利用奇偶性证明不等式【例18】求证7、函数奇偶性的判定问题【例19】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）f（x）=；（4）f（x）=（5）【例20】判断下列函数的奇偶性【例21】判断函数f(x)的奇偶性 【名师点拨】分段函数的奇偶性应分段证明f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性也可根据图象判定8、奇偶函数的图象问题【例22】下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR） ( )A.1 B.2 C.3 D.4【提高练习】1.已知定义域为的偶函数在上为减函数，且有，则满足的的集合为_；2.已知函数为R上的奇函数，若，则_；3.已知偶函数在区间上为减函数且有最大值为5，则在区间上为_函数且有最_值为_；若是奇函数在区间上为增函数且有最小值为5，则在区间上为_函数且有最_值为_。4.若函数是奇函数，则 5.已知函数为偶函数，则的值是（ ）A. B. C. D. 6.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A BC D7.函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.或8.已知（1）判断函数的奇偶性；（2）判断的单调性并证明。9.若f（x）=为奇函数，求实数a的值.6
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