初中数学知识点整理表格版

1 初中数学教材知识梳理 系统复习 第一单元 数与式 第 1 讲 实 数 知识点一 实数的概念及分类 关键点拨及对应举例 1 实数 1 按定义分 2 按正 负性 分 正有理数 有理数 0 有限小数或 正实数 负有理数 无限循环小数 实数 0 实数 正无理数 负实数 无理数 无限不循环小数 负无理数 1 0 既不属于正数 也不属于负数 2 无理数的几种常见形式判断 含 的 式子 构造型 如 3 010010001 每两 个 1 之间多个 0 就是一个无限不循环小数 开方开不尽的数 如 三角函数型 如 sin60 tan25 3 失分点警示 开得尽方的含根号的数属 于有理数 如 2 3 它们都属于有理数 知识点二 实数的相关概念 2 数轴 1 三要素 原点 正方向 单位长度 2 特征 实数与数轴上的点一一对应 数轴右边的点表示 的数总比左边的点表示的数大 例 数轴上 2 5 表示的点到原点的距离是 2 5 3 相反数 1 概念 只有符号不同的两个数 2 代数意义 a b 互为相反数 a b 0 3 几何意义 数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距 离相等 a 的相反数为 a 特别的 0 的绝对值是 0 例 3 的相反数是 3 1 的相反数是 1 4 绝对值 1 几何意义 数轴上表示的点到原点的距离 2 运算性质 a a a 0 a b a b a b a a 0 b a a b 3 非负性 a 0 若 a b 2 0 则 a b 0 1 若 x a a 0 则 x a 2 对绝对值等于它本身的数是非负 数 例 5 的绝对值是 5 2 2 绝对值等 于 3 的是 3 1 1 5 倒数 1 概念 乘积为 1 的两个数互为倒数 a 的倒数为 1 a a 0 2 代数意义 ab 1 a b 互为倒数 例 2 的倒数是 1 2 倒数等于它本身的数 有 1 知识点三 科学记数法 近似数 6 科学记 数法 1 形式 a 10 n 其中 1 a 10 n 为整数 2 确定 n 的方法 对于数位较多的大数 n 等于原数的整数 为减去 1 对于小数 写成 a 10 n 1 a 10 n 等于原数中 左起至第一个非零数字前所有零的个数 含小数点前面的一个 例 21000 用科学记数法表示为 2 1 104 19 万用科学记数法表示为 1 9 105 0 0007 用科学记数法表示 为 7 10 4 7 近似数 1 定义 一个与实际数值很接近的数 2 精确度 由四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪 一位 例 3 14159 精确到百分位是 3 14 精确 到 0 001 是 3 142 知识点四 实数的大小比较 2 第 2 讲 整式与因式分解 知识点一 代数式及相关概念 关键点拨及对应举例 1 代数 式 1 代数式 用运算符号 加 减 乘 除 乘方 开方 把数或表示数的 字母连接而成的式子 单独的一个数或一个字母也是代数式 2 求代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母 计算得出的结果 叫 做求代数式的值 求代数式的值常运用整体代入法计算 例 a b 3 则 3b 3a 9 2 整式 单 项式 多项 式 1 单项式 表示数字与字母积的代数式 单独的一个数或一个字母也叫单 项式 其中的数字因数叫做单项式的系数 所有字母的指数和叫做单项式 的次数 2 多项式 几个单项式的和 多项式中的每一项叫做多项式的项 次数最高 的项的次数叫做多项式的次数 3 整式 单项式和多项式统称为整式 4 同类项 所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 所有 的常数项都是同类项 例 1 下列式子 2a 2 3a 5b x 2 2 x 7a 2 7x 2 8x3y 2017 其中属于单项式的是 多项式是 同类项是 和 2 多项式 7m5n 11mn2 1 是六次三项式 常数项是 1 知识点二 整式的运算 3 整式 的加 减运 算 1 合并同类项法则 同类项的系数相加 所得的结果作为系数 字母和字母的 指数不变 2 去括号法则 若括号外是 则括号里的各项都不变号 若括号外是 则括号里的各项都变号 3 整式的加减运算法则 先去括号 再合并同类项 失分警示 去括号时 如果括号外面是符 号 一定要变号 且与括号内每一项相乘 不要有漏项 例 2 3a 2b 1 6a 4b 2 4 幂运 算法 则 1 同底数幂的乘法 a m an a m n 2 幂的乘方 a m n a mn 3 积的乘方 ab n a n bn 4 同底数幂的除法 a m an a m n a 0 其中 m n 都在整数 1 计算时 注意观察 善于运用它们的 逆运算解决问题 例 已知 2m n 2 则 3 2m 2n 6 2 在解决幂的运算时 有时需要先化 成同底数 例 2 m 4m 23m 8 实数的 大小比较 1 数轴比较法 数轴上的两个数 右边的数总比左边的数大 2 性质比较法 正数 0 负数 两个负数比较大小 绝对 值大的反而 小 3 作差比较法 a b 0 a b a b 0 a b a b 0 a b 4 平方法 a b 0 a 2 b2 例 把 1 2 0 2 3 按从大到小的顺序 排列结果为 1 0 2 2 3 知识点五 实数的运算 乘 方 几个相同因数的积 负数的偶 奇 次方为正 负 零次幂 a0 1 a 0 负指数幂 a p 1 ap a 0 p 为整数 平方根 算术平方根 若 x 2 a a 0 则 x 其中 是算术平方根 a 9 常 见 运 算 立方根 若 x3 a 则 x 3 10 混合运算 先乘方 开方 再乘除 最后加减 同级运算 从左 向右进行 如有括号 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号一次进行 计算时 可以结合运算律 使问题简单化 例 1 计算 1 2 6 7 2 2 4 3 1 1 3 0 1 2 64 的平方根是 8 算术平方根 是 8 立方根是 4 失分点警示 类似 的算术平方根 计算错误 例 相互对比填一填 16 的算术平方根是 4 的算术平方根 是 2 3 1 单项式 单项式 系数和同底数幂分别相乘 只有一个字母的照抄 2 单项式 多项式 m a b ma mb 3 多项式 多项式 m n a b ma mb na nb 4 单项式 单项式 将系数 同底数幂分别相除 5 多项式 单项式 多项式的每一项除以单项式 商相加 失分警示 计算多项式乘以多项式时 注 意不能漏乘 不能丢项 不能出现变号错 例 2a 1 b 2 2ab 4a b 2 平方差公式 a b a b a 2 b 2 5 整式 的乘 除运 算 6 乘法 公式 完全平方公式 a b 2 a 2 2ab b2 变形公式 a2 b2 a b 2 2ab ab a b 2 a 2 b2 2 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的 运用 6 混合 运算 注意计算顺序 应先算乘除 后算加减 若为化简求值 一般步骤为 化简 代入替换 计算 例 a 1 2 a 3 a 3 10 2a 知识点五 因式分解 7 因式 分解 1 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 2 常用方法 提公因式法 ma mb mc m a b c 公式法 a 2 b 2 a b a b a 2 2ab b 2 a b 2 3 一般步骤 若有公因式 必先提公因式 提公因式后 看是否能用公式 法分解 检查各因式能否继续分解 1 因式分解要分解到最后结果不能再分 解为止 相同因式写成幂的形式 2 因式分解与整式的乘法互为逆运算 第 3 讲 分 式 知识点一 分式的相关概念 关键点拨及对应举例 1 分式的 概念 1 分式 形如 A B 是整式 且 B 中含有字母 B 0 的式子 2 最简分式 分子和分母没有公因式的分式 在判断某个式子是否为分式时 应注意 1 判断化简之间的式子 2 是常数 不是 字母 例 下列分式 其21x 中是分式是 最简分式 2 分式的 意义 1 无意义的条件 当 B 0 时 分式 无意义 2 有意义的条件 当 B 0 时 分式 有意义 A 3 值为零的条件 当 A 0 B 0 时 分式 0 B 失分点警示 在解决分式的值为 0 求 值的问题时 一定要注意所求得的值满 足分母不为 0 例 当 的值为 0 时 则 x 1 21x 3 基本性 质 1 基本性质 C 0 2 由基本性质可推理出变号法则为 AB AB 由分式的基本性质可将分式进行化简 例 化简 21x 知识点三 分式的运算 4 分式的 约分和 通分 1 约分 可化简分式 把分式的分子和分母中的公因式约去 即 bam 2 通分 可化为同分母 根据分式的基本性质 把异分母的 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母 然后根据分式的性质通分 例 分式 和 的最简公分21x x 4 分式化为同分母的分式 即 bcda 母为 21x 5 分式的 加减法 1 同分母 分母不变 分子相加减 即 ac bc a bc 2 异分母 先通分 变为同分母的分式 再加减 即 abcd ad bcbd 例 1 1x 2 1aa 6 分式的 乘除法 1 乘法 2 除法 abcd acbd acbd 3 乘方 n 为正整数 n 例 2y 2b xy 3 78 7 分式的 混合运算 1 仅含有乘除运算 首先观察分子 分母能否分解因式 若能 就要 先分解后约分 2 含有括号的运算 注意运算顺序和运算律的合理应用 一般先算乘方 再算乘除 最后算加减 若有括号 先算括号里面的 失分点警示 分式化简求值问题 要先将分式 化简到最简分式或整式的形式 再代入求值 代 入数值时注意要使原分式有意义 有时也需运用 到整体代入 第 4 讲 二次根式 知识点一 二次根式 关键点拨及对应举例 1 有关概念 1 二次根式的概念 形如 a 0 的式子 a 2 二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于 0 3 最简二次根式 被开方数的因数是整数 因式是整 式 分母中不含根号 被开方数中不含能开得尽方 的因数或因式 失分点警示 当判断分式 二次根式组成的 复合代数式有意义的条件时 注意确保各部 分都有意义 即分母不为 0 被开方数大于等 于 0 等 例 若代数式 有意义 则 x1x 的取值范围是 x 1 2 二次根式 的性质 1 双重非负性 被开方数是非负数 即 a 0 二次根式的值是非负数 即 0 注意 初中阶段学过的非负数有 绝对值 偶幂 算式平 方根 二次根式 利用二次根式的双重非负性解题 1 值非负 当多个非负数的和为 0 时 可得 各个非负数均为 0 如 0 则 a 1 b 1 a 1b 2 被开方数非负 当互为相反数的两个数同 时出现在二次根式的被开方数下时 可得 这一对相反数的数均为 0 如 已知 b 则 a 1 b 0 1a 5 2 两个重要性质 2 a a 0 a a a2 0 3 积的算术平方根 a 0 b 0 b 4 商的算术平方根 a 0 b 0 例 计算 3 14 2 23 14 2 493 知识点二 二次根式的运算 3 二次根式的 加减法 先将各根式化为最简二次根式 再合并被开方数相同的二 次根式 例 计算 283 2 4 二次根式的 乘除法 1 乘法 a 0 b 0 a 2 除法 a 0 b 0 b 注意 将运算结果化为最简二次根式 例 计算 1 4 32 32 5 二次根式的 混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号的先算括号里面的 或先去括号 运算时 注意观察 有时运用乘法公式 会使运算简便 例 计算 1 1 1 2 第二单元 方程 组 与不等式 组 第 5 讲 一次方程 组 知识点一 方程及其相关概念 关键点拨及对应举例 1 等式的基 本性质 1 性质 1 等式两边加或减同一个数或同一个整式 所得结果 仍是等式 即若 a b 则 a c b c 2 性质 2 等式两边同乘 或除 同一个数 除数不能为 0 所得结果仍是等式 即若 a b 则 ac bc c 0 ab 3 性质 3 对称性 若 a b 则 b a 4 性质 4 传递性 若 a b b c 则 a c 失分点警示 在等式的两边同除以 一个数时 这个数必须不为 0 例 判断正误 1 若 a b 则 a c b c 2 若 a c b c 则 a b 2 关于方程 的基本概念 1 一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的次数是 1 且等式两边都是整式的方程 2 二元一次方程 含有两个未知数 并且含有未知数的项的次 数都是 1 的整式方程 3 二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的 一组方程 4 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共 解 在运用一元一次方程的定义解题时 注意一次项系数不等于 0 例 若 a 2 是关于 x 的 a10 x 一元一次方程 则 a 的值为 0 知识点二 解一元一次方程和二元一次方程组 3 解一元一 次方程的步骤 1 去分母 方程两边同乘分母的最小公倍数 不要漏乘常数项 2 去括号 括号外若为负号 去括号后括号内各项均要变号 3 移项 移项要变号 失分点警示 方程去分母时 应该 将分子用括号括起来 然后再去括 号 防止出现变号错误 6 4 合并同类项 把方程化成 ax b a 0 5 系数化为 1 方程两边同除以系数 a 得到方程的解 x b a 思路 消元 将二元一次方程转化为一元一次方程 4 二元一次 方程组的解法 方法 1 代入消元法 从一个方程中求出某一个未知数的表达式 再 把 它 代入另一个方程 进行求解 2 加减消元法 把两个方程的两边分别相加或相减消去一个 未知数的方法 已知方程组 求相关代数式的值时 需注意观察 有时不需解出方程组 利用整体思想解决解方程组 例 已知 则 x y 的值为 x y 4 293xy 知识点三 一次方程 组 的实际应用 5 列方程 组 解应用题的 一般步骤 1 审题 审清题意 分清题中的已知量 未知量 2 设未知数 3 列方程 组 找出等量关系 列方程 组 4 解方程 组 5 检验 检验所解答案是否正确或是否满足符合题意 6 作答 规范作答 注意单位名称 1 设未知数时 一般求什么设什么 但有时为了方便 也可间接设未知数 如题 目中涉及到比值 可以设每一份为 x 2 列方程 组 时 注意抓住题目中 的关键词语 如共是 等于 大 多 多 少 小 少 多少 几倍 几分之几等 6 常见题型 及关系式 1 利润问题 售价 标价 折扣 销售额 售价 销量 利润 售价 进价 利润率 利润 进价 100 2 利息问题 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 3 工程问题 工作量 工作效率 工作时间 4 行程问题 路程 速度 时间 相遇问题 全路程 甲走的路程 乙走的路程 追及问题 a 同地不同时出发 前者走的路程 追者走的路程 b 同时不同地出发 前者走的路 程 两地间距离 追者走的路程 第 6 讲 一元二次方程 知识点一 一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 1 一元二 次方程的 相关概念 1 定义 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是 2 的整式方程 2 一般形式 ax 2 bx c 0 a 0 其中 ax2 bx c 分别叫做二次项 一次项 常数项 a b c 分别称为二次项系数 一次项系数 常数 项 例 方程 是关于 x 的20ax 一元二次方程 则方程的根为 1 2 一元二 次方程 的解法 1 直接开平方法 形如 x m 2 n n 0 的方程 可直接开平方求 解 2 因式分解法 可化为 ax m bx n 0 的方程 用因式分解法求解 3 公式法 一元二次方程 ax2 bx c 0 的求根公式为 x b 2 4ac 0 24ac 4 配方法 当一元二次方程的二次项系数为 1 一次项系数为偶数时 也可以考虑用配方法 解一元二次方程时 注意观 察 先特殊后一般 即先考 虑能否用直接开平方法和因 式分解法 不能用这两种方 法解时 再用公式法 例 把方程 x2 6x 3 0 变形 为 x h 2 k 的形式后 h 3 k 6 知识点二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 7 3 根的判 别式 1 当 0 时 原方程有两个不相等的实数根 24bac 2 当 0 时 原方程有两个相等的实数根 3 当 b c 性质 2 若 a b c 0 则 ac bc a 性质 3 若 a b c 0 则 ac bc c 牢记不等式性质 3 注意变号 如 在不等式 2x 4 中 若 将不等式两边同时除以 2 可 得 x 2 知识点二 一元一次不等式 3 定义 用不等号连接 含有一个未知数 并且含有未知数项的次数都是 1 的 左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式 例 若 是关于 x 的一230m 元一次不等式 则 m 的值为 1 1 步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 4 解法 2 解集在数轴上表示 x a x a x a x a 失分点警示 系数化为 1 时 注意系数的正 负性 若系数是负数 则不等 式改变方向 知识点三 一元一次不等式组的定义及其解法 5 定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起 就组成一个一 元一次不等式组 6 解法 先分别求出各个不等式的解集 再求出各个解集的公共部分 7 不等式 假设 a b 解集 数轴表示 口诀 1 在表示解集时 表示含有 要用实心圆点表 示 表示不包含要 用空心圆点表示 2 已知不等式 组 的解集 情况 求字母系数时 一般 9 xab x b 大大取大 x a 小小取小xb a x b 大小 小大中间找 组解集 的类型 无解 大大 小小取不了 先视字母系数为常数 再逆 用不等式 组 解集的定义 反推出含字母的方程 最后 求出字母的值 如 已知不等式 a 1 x 1 a 的解集是 x 1 则 a 的取值 范围是 a 1 知识点四 列不等式解决简单的实际问题 8 列不等 式解应 用题 1 一般步骤 审题 设未知数 找出不等式关系 列不等式 解不 等式 验检是否有意义 2 应用不等式解决问题的情况 a 关键词 含有 至少 最多 不低于 不 高于 不大 小 于 超过 不足 等 b 隐含不等关系 如 更省钱 更划算 等方案决策问题 一般 还需根据整数解 得出最佳方案 注意 列不等式解决实际问题中 设 未知数时 不应带 至少 最多 等字眼 与方程中设 未知数一致 第 9 讲 平面直角坐标系与函数 知识点一 平面直角坐标系 关键点拨及对应举例 1 相关概念 1 定义 在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系 2 几何意义 坐标平面内任意一点 M 与有序实数对 x y 的关系是一一对应 点的坐标先读横坐标 x 轴 再读纵坐标 y 轴 2 点的坐标 特征 1 各象限内点的坐标的符号特征 如图所示 点 P x y 在第一象限 x 0 y 0 点 P x y 在第二象限 x 0 y 0 点 P x y 在第三象限 x 0 y 0 点 P x y 在第四象限 x 0 y 0 2 坐标轴上点的坐标特征 在横轴上 y 0 在纵轴上 x 0 原点 x 0 y 0 3 各象限角平分线上点的坐标 第一 三象限角平分线上的点的横 纵坐标相等 第二 四象限角平分线上的点的横 纵坐标互为相反数 4 点 P a b 的对称点的坐标特征 关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为 a b 关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为 a b 关于 原点对称的 点 P3 的坐标为 a b 5 点 M x y 平 移的坐标特征 M x y M1 x a y M2 x a y b 1 坐标轴上的点不属于 任何象限 2 平面直角坐标系中图 形的平移 图形上所有点 的坐标变化情况相同 3 平面直角坐标系中求 图形面积时 先观察所求图 形是否为规则图形 若是 再进一步寻找求这个图形面 积的因素 若找不到 就要 借助割补法 割补法的主要 秘诀是过点向 x 轴 y 轴作 垂线 从而将其割补成可以 直接计算面积的图形来解决 xy一一 一一 一一 一一 1 2 3 123 2 3123O 10 3 坐标点的 距离问题 1 点 M a b 到 x 轴 y 轴的距离 到 x 轴的距离为 b 到 y 轴的距离为 a 2 平行于 x 轴 y 轴直线上的两点间的距离 点 M1 x1 0 M 2 x2 0 之间的距离为 x 1 x 2 点 M1 x1 y M 2 x2 y 间的距离为 x1 x 2 点 M1 0 y 1 M 2 0 y 2 间的距离为 y 1 y 2 点 M1 x y 1 M 2 x y 2 间的距离为 y1 y 2 平行于 x 轴的直线上的点纵 坐标相等 平行于 y 轴的直 线上的点的横坐标相等 知识点二 函 数 4 函数的相关 概念 1 常量 变量 在一个变化过程中 数值始终不变的量叫做常量 数值发生变化的 量叫做变量 2 函数 在一个变化过程中 有两个变量 x 和 y 对于 x 的每一个值 y 都有唯一确 定的值与其对应 那么就称 x 是自变量 y 是 x 的函数 函数的表示方法有 列表法 图像法 解析法 3 函数自变量的取值范围 一般原则为 整式为全体实数 分式的分母不为零 二 次根式的被开方数为非负数 使实际问题有意义 失分点警示 函数解析式 同时有几个代 数式 函数自变量的取值范 围应是各个代数式中自变量 的公共部分 例 函数 y 中自变量的取值范围35x 是 x 3 且 x 5 5 函数的图象 1 分析实际问题判断函数图象的方法 找起点 结合题干中所给自变量及因变量的取值范围 对应到图象中找对应点 找特殊点 即交点或转折点 说明图象在此点处将发生变化 判断图象趋势 判断出函数的增减性 图象的倾斜方向 2 以几何图形 动点 为背景判断函数图象的方法 设时间为 t 或线段长为 x 找因变量与 t 或 x 之间存在的函数关系 用含 t 或 x 的 式子表示 再找相应的函数图象 要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围 读取函数图象增减性的技巧 当函数图象从左到右呈 上升 下降 状态时 函数 y 随 x 的增大而增大 减小 函数值变化越 大 图象越陡峭 当函数 y 值始终是同一个常数 那 么在这个区间上的函数图象 是一条平行于 x 轴的线段 第 10 讲 一次函数 知识点一 一次函数的概念及其图象 性质 关键点拨与对应举例 1 一次函数的 相关概念 1 概念 一般来说 形如 y kx b k 0 的函数叫做一次函数 特别地 当 b 0 时 称为正比例函数 2 图象形状 一次函数 y kx b 是一条经过点 0 b 和 b k 0 的直线 特别 地 正比例函数 y kx 的图象是一条恒经过点 0 0 的直线 例 当 k 1 时 函数 y kx k 1 是正比例函数 k b 符号 K 0 b 0 K 0 b 0 K 0 b 0 k0 k 0 b 0 k0 图象经过第 一 三象限 x y 同号 每个象限内 函数 y 的值 随 x 的增大而减小 2 反比例函 数的图象 和性质 k 时 y 随 x 的增大而增2ba 大 当 x 时 y 随 x 的增大而 减小 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 2ba 当 x 时 y 随 x 的增大而增 大 3 二次函 数的图象 和性质 最值 x y 最小 2ba 24cba x y 最大 2ba 24acb 1 比较二次函数函数值大 小的方法 直接代入求值 法 性质法 当自变量在 对称轴同侧时 根据函数的 性质判断 当自变量在对称 轴异侧时 可先利用函数的 对称性转化到同侧 再利用 性质比较 图象法 画出 草图 描点后比较函数值大 小 失分点警示 2 在自变量限定范围求二 次函数的最值时 首先考虑 对称轴是否在取值范围内 而不能盲目根据公式求解 例 当 0 x 5 时 抛物线 y x2 2x 7 的最小值为 7 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当 a 0 时 抛物线开口向上 当 a 0 时 抛物线开口向下 a b 决定对称轴 x b 2a 的位置 当 a b 同号 b 2a 0 对称轴在 y 轴左边 当 b 0 时 b 2a 0 对称轴为 y 轴 当 a b 异号 b 2a 0 对称轴在 y 轴右边 c 决定抛物线与 y 轴的交点的位置 当 c 0 时 抛物线与 y 轴的交点在正半轴上 当 c 0 时 抛物线经过原点 当 c 0 时 抛物线与 y 轴的交点在负半轴上 3 系数 a b c b2 4 ac 决定抛物线与 x 轴的 交点个数 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 某些特殊形式代数式的符号 a b c 即为 x 1 时 y 的值 4a 2b c 即为 x 2 时 y 的值 2a b 的符号 需判断对 称 轴 b 2a 与 1 的大小 若对称轴 在直线 x 1 的左边 则 b 2a 1 再根据 a 的符号即 可得出结果 2a b 的符号 14 需判断对称轴与 1 的大小 知识点三 二次函数的平移 4 平移与解 析式的关 系 一 k一一 h一 k0 k0 h0 h0 y a x一h 2k y a x一h 2y ax2一 注意 二次函数的平移实质是顶点坐标的平移 因此只要找出原函数顶 点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 失分点警示 抛物线平移规律是 上加下减 左加右减 左右平移易弄反 例 将抛物线 y x2 沿 x 轴向右平 移 2 个单位后所得抛物线的解析 式是 y x 2 2 知识点四 二次函数与一元二次方程以及不等式 5 二次函数 与一元二 次方程 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2 bx c 0 的根 当 b 2 4ac 0 两个不相等的实数根 当 b 2 4ac 0 两个相等的实数根 当 b 2 4ac 0 无实根 6 二次函数 与不等式 抛物线 y ax2 bx c 0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正 所对应 的 x 的所有值就是不等式 ax2 bx c 0 的解集 在 x 轴下方的部分点 的纵坐标均为负 所对应的 x 的值就是不等式 ax2 bx c 0 的解集 例 已经二次函数 y x2 3x m m 为常数 的图象与 x 轴的一个交点为 1 0 则 关于 x 的一元二次方程 x2 3x m 0 的两个实数根为 2 1 第 13 讲 二次函数的应用 知识点一 二次函数的应用 关键点拨 一般步骤 实物抛物线 据题意 结合函数图象求出函数解析式 确定自变量的取值范围 根据图象 结合所求解析式解决问题 若题目中未给出坐标系 则需要建立坐标系求解 建立的原则 所建立的坐标系要使求出的二次 函数表达式比较简单 使已知点所在的位置适 当 如在 x 轴 y 轴 原点 抛物线上等 方 便求二次函数丶表达式和之后的计算求解 实际问题中 求最值 分析问题中的数量关系 列出函数关系式 研究自变量的取值范围 确定所得的函数 检验 x 的值是否在自变量的取值范围内 并求 相关的值 解决提出的实际问题 解决最值应用题要注意两点 设未知数 在 当某某为何值时 什么最大 最小 的设问中 某某 要设为自变量 什么 要设为函数 求解最值时 一定要考虑顶点 横 纵坐标 的取值是否在自变量的取值范围内 结合几何图形 根据几何图形的性质 探求图形中的关系式 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式 利用配方法等确定二次函数的最值 解决问题 由于面积等于两条边的乘积 所以几何问题的面 积的最值问题通常会通过二次函数来解决 同样 需注意自变量的取值范围 第四单元 图形的初步认识与三角形 第 14 讲 平面图形与相交线 平行线 知识点一 直线 线段 射线 关键点拨 1 基本事实 1 直线的基本事实 经过两点有且只有一条直线 2 线段的基本事实 两点之间 线段最短 例 在墙壁上固定一根横放的木条 则至少需要 2 枚钉子 依据的是两 点确定一条直线 知识点二 角 角平分线 2 概念 1 角 有公共端点的两条射线组成的图形 例 15 2 角平分线 在角的内部 以角的顶点为端点把这个角分成两个 相等的角的射线 3 角的度 量 1 60 1 60 1 3600 4 余角和 补角 1 余角 1 2 90 1 与 2 互为余角 2 补角 1 2 180 1 与 2 互为补角 3 性质 同角 或等角 的余角相等 同角 或等角 的补角相等 1 15 25 15 5 37 24 45 32 48 49 70 13 34 2 32 的余角是 58 32 的 补角是 148 知识点三 相交线 平行线 5 三线八 角 1 同位角 形如 F 2 内错角 形如 Z 3 同旁内角 形如 U 一个角的同位角 内错角或同旁内角可 能不止一个 要注意多方位观察 6 对顶角 邻补角 1 概念 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边 的两个角叫做对顶角 2 性质 对顶角相等 邻补角之和为 180 例 在平面中 三条直线相交于 1 点 则图中有 6 组对顶角 7 垂线 1 概念 两条直线互相垂直 其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 2 性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 3 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 例 如图所示 点 A 到 BC 的距离为 AB 点 B 到 AC 的 距离为 BD 点 C 到 AB 的距离为 BC 8 平行线 1 平行线的性质与判定 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 平行公理及其推论 经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 平行于同一条直线的两直线平行 1 如果出现两条平行线被其中一条折 线所截 那么一般要通过折点作已知直 线的平行线 2 在平行线的查考时 通常会结合对 顶角 角平分线 三角形的内角和以及 三角形的外角性质 解题时注意这些性 质的综合运用 知识点四 命题与证明 9 命题与 证明 1 概念 对某一事件作出正确或不正确判断的语句 或式子 叫做 命题 正确的命题称为真命题 错误的命题称为假命题 2 命题的结构 由题设和结论两部分组成 命题常写成 如果 p 那么 q 的形式 其中 p 是题设 q 是结论 3 证明 从一个命题的题设出发 通过推理来判断命题是否成立 的过程 证明一个命题是假命题时 只要举出一个反例署名命题不 成立就可以了 例 下列命题是假命题的有 相等的角不一定是对顶角 同角的补角相等 如果某命题是真命题 那么它的逆命 题也是真命题 若某个命题是定理 则该命题一定是 真命题 第 15 讲 一般三角形及其性质 知识点一 三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例 1 三角形 的分类 1 按角的关系分类 2 按边的关系分类 直 角 三 角 形三 角 形 锐 角 三 角 形斜 三 角 形 钝 角 三 角 形 不 等 边 三 角 形三 角 形 底 和 腰 不 相 等 的 等 腰 三 角 形等 腰 三 角 形 等 边 三 角 形 2 三边关 三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 失分点警示 在运用分类讨论思想计算等腰 三角形周长时 必须考虑三角 形三边关系 例 等腰三角形两边长分别是 3 和 6 则该三角形的周长为 15 DCBA 16 系 3 角的关 系 1 内角和定理 三角形的内角和等 180 推论 直角三角形的两锐角互余 2 外角的性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角 利用三角形的内 外角的性质 求角度时 若所给条件含比例 倍分关系等 列方程求解会更 简便 有时也会结合平行 折叠 等腰 边 三角形的性质求解 四线 性 质 角平分线 1 角平线上的点到角两边的距离相等 2 三角形的三条角平分线的相交于一点 内心 中线 1 将三角形的面积等分 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 高 锐角三角形的三条高相交于三角形内部 直角三角形的三条高 相交于直角顶点 钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 4 三角形 中的重 要线段 中位线 平行于第三边 且等于第三边的一半 1 角平分线 高结合求角度 时 注意运用三角形的内角和 为 180 这一隐含条件 2 当同一个三角形中出现两 条高 求长度时 注意运用面 积这个中间量来列方才能够求 解 5 三角形 中内 外角与 角平分 线的规 律总结 如图 AD 平分 BAC AE BC 则 BAC CAE 180 B 1212 C 90 C C B 12 如图 BO CO 分别是 ABC ACB 的平分线 则有 O A 90 如图 BO CO 分别为 ABC ACD OCD 的平分线 则 O A O O 1212 如图 BO CO 分别为 CBD BCE 的平分线 则 O 90 A 12 对于解答选择 填空题 可以直接通过结论解题 会起到事半功倍的效果 知识点二 三角形全等的性质与判定 6 全等三 角形的性 质 1 全等三角形的对应边 对应角相等 2 全等三角形的对应角平分线 对应中线 对应高相等 3 全等三角形的周长等 面积等 失分点警示 运用全等三 角形的性质时 要注意找 准对应边与对应角 一般 三角 形全 等 SSS 三边对 应相等 SAS 两边和 它们的夹角对 应相等 ASA 两角和它 们的夹角对应相 等 AAS 两角和其 中一个角的对边 对应相等 7 三角形 全等的判 定 直角 三角 1 斜边和一条直角边对应相等 HL 2 证明两个直角三角形全等同样可以用 失分点警示 如图 SSA 和 AAA 不能 判定两个三角形全等 17 形全 等 SAS ASA 和 AAS 8 全等三 角形的运 用 1 利用全等证明角 边相等或求线段长 求角度 将特征的边或角放到 两个全等的三角形中 通过证明全等得到结论 在寻求全等的条件时 注意公共角 公共边 对顶角等银行条件 2 全等三角形中的辅助线的作法 直接连接法 如图 连接公共边 构造全等 倍长中线法 用于证明线段的不等关系 如图 由 SAS 可得 ACD EBD 则 AC BE 在 ABE 中 AB BE AE 即 AB AC 2AD 截长补短法 适合证明线段的和差关系 如图 例 如图 在 ABC 中 已知 1 2 B E CD AB 5 AE 2 则 CE 3 第 16 讲 等腰 等边及直角三角形 知识点一 等腰和等边三角形 关键点拨与对应举例 1 等腰 三角 形 1 性质 等边对等角 两腰相等 底角相等 即 AB AC B C 三线合一 顶角的平分线 底边上的中线和底边上的 高 互相重合 对称性 等腰三角形是轴对称图形 直线 AD 是对称 轴 2 判定 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 即若 B C 则 ABC 是等腰三角形 1 三角形中 垂线 角平分 线 中线 等腰 四个条件中 只要满足其中两个 其余均成立 如 如左图 已知 AD BC D 为 BC 的中点 则三角形的形状 是等腰三角形 失分点警示 当等腰三角形的 腰和底不明确时 需分类讨论 如若等腰三角形 ABC 的一个内 角为 30 则另外两个角的度数 为 30 120 或 75 75 18 2 等边 三角形 1 性质 边角关系 三边相等 三角都相等且都等于 60 即 AB BC AC BAC B C 60 对称性 等边三角形是轴对称图形 三条高线 或 角平分线或中线 所在的直线是对称轴 2 判定 定义 三边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等 均为 60 的三角形是等边三角形 任一内角为 60 的等腰三角形是等边三角形 即若 AB AC 且 B 60 则 ABC 是等边三角形 1 等边三角形是特殊的等腰 三角形 所以等边三角形也满 足 三线合一 的性质 2 等边三角形有一个特殊的 角 60 所以当等边三角形 出现高时 会结合直角三角 形 30 角的性质 即 BD 1 2AB 例 ABC 中 B 60 AB AC BC 3 则 ABC 的周 长为 9 知识点二 角平分线和垂直平分线 3 角平 分线 1 性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 即若 1 2 PA OA PB OB 则 PA PB 2 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角 平 分线上 4 垂直 平分 线图 形 1 性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距 离相等 即若 OP 垂直且平分 AB 则 PA PB 2 判定 到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上 例 如图 ABC 中 C 90 A 30 AB 的垂直平分线交 AC 于 D 交 AB 于 E CD 2 则 AC 6 知识点三 直角三角形的判定与性质 5 直角 三角形 的性质 1 两锐角互余 即 A B 90 2 30 角所对的直角边等于斜边的一半 即若 B 30 则 AC AB 12 3 斜边上的中线长等于斜边长的一半 即若 CD 是中线 则 CD AB 12 4 勾股定理 两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平 方 即 a2 b 2 c 2 6 直角 三角 形的 判定 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形 即若 C 90 则 ABC 是 Rt 2 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半 那么这个三 角形是直角三角形 即若 AD BD CD 则 ABC 是 Rt 3 勾股定理的逆定理 若 a2 b 2 c 2 则 ABC 是 Rt 1 直角三角形的面积 S 1 2ch 1 2ab 其中 a b 为直角边 c 为斜边 h 是斜边上的高 可 以利用这一公式借助面积这个中 间量解决与高相关的求长度问题 2 已知两边 利用勾股定理 求长度 若斜边不明确 应分类 讨论 3 在折叠问题中 求长度 往往需要结合勾股定理来列方程 解决 第 17 讲 相似三角形 知识点一 比例线段 关键点拨与对应举例 1 比例 线段 在四条线段 a b c d 中 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 即 那么这四条线段 a b c d 叫做成比例线段 简称比例 线段 列比例等式时 注意四条线段的大小 顺序 防止出现比例混乱 21PCOBAPC OBA DABCabcDA BCabc 19 2 比例 的基 本性 质 1 基本性质 ad bc b d 0 acb 2 合比性质 b d 0 c 3 等比性质 k b d n 0 acbd m k b d n 0 已知比例式的值 求相关字母代数式的值 常用引入参数法 将所有的量都统一用含同 一个参数的式子表示 再求代数式的值 也 可以用给出的字母中 的一个表示出其他的 字母 再代入求解 如下题可设 a 3k b 5k 再代入所求式子 也可以把原式变形得 a 3 5b 代入求解 例 若 则 35a b 85 1 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线 段成比例 即如图所示 若 l3 l4 l 5 则 ABDECF 2 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延 长 线 所得的对应线段成比例 即如图所示 若 AB CD 则 OABDC 3 平行 线分线 段成比 例定理 3 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构 成的三角形和原三角形相似 如图所示 若 DE BC 则 ADE ABC 利用平行线所截线段成比例求线段长 或线段比时 注意根据图形列出比例 等式 灵活运用比例基本性质求解 例 如图 已知 D E 分别是 ABC 的边 BC 和 AC 上的点 AE 2 CE 3 要使 DE AB 那么 BC CD 应等于 53 4 黄金 分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 0 618 那么线段 AB 被点 C 黄金分割 其中点 C 叫 ACAB 5 12 做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比 例 把长为 10cm 的线段进行黄金分 割 那么较长线段长为 5 1 5 cm 知识点二 相似三角形的性质与判定 1 两角对应相等的两个三角形相似 AAA 如图 若 A D B E 则 ABC DEF 2 两边对应成比例 且夹角相等的两个 三角形相似 如图 若 A D 则 ABC DEF CFE 5 相似 三角 形的 判定 3 三边对应成比例的两个三角形相似 如 图 若 则 ABC ABCDF DEF 判定三角形相似的思路 条件中若有平行 线 可用平行线找出相等的角而判定 条 件中若有一对等角 可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例 条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等 条件 中若有一对直角 可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例 条件中若有 等腰关系 可找顶角相等或找一对底角相等 或找底 腰对应成比例 FEDCBAl5l4l3l2l1 ODCBA EDCBA FEDCBAFEDCBA FEDCBA 20 6 相似 三角形的 性质 1 对应角相等 对应边成比例 2 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 3 相似三角形对应高的比 对应角平分线的比和对应中线的比等 于相似比 例 1 已知 ABC DEF ABC 的周 长为 3 DEF 的周长为 2 则 ABC 与 DEF 的面积之比为 9 4 2 如图 DE BC AF BC 已知 S ADE S ABC 1 4 则 AF AG 1 2 7 相似三 角形的 基本模 型 1 熟悉利用利用相似求解问题的基本图 形 可以迅速找到解题思路 事半功倍 2 证明等积式或者比例式的一般方法 经常把等积式化为比例式 把比例式的 四条线段分别看做两个三角形的对应边 然后 通过证明这两个三角形相似 从 而得出结果 第 18 讲 解直角三角形 知识点一 锐角三角函数的定义 关键点拨与对应举例 1 锐角三 角函数 正弦 sinA A的 对 边斜 边 ac 余弦 cosA A的 邻 边斜 边 bc 正切 tanA A的 对 边 A的 邻 边 ab 根据定义求三角函数值时 一定根 据题目图形来理解 严格按照三角 函数的定义求解 有时需要通过辅 助线来构造直角三角形 度数 三角函数 30 45 60 sinA 12232 cosA 321 2 特殊角 的三角函 数值 tanA 31 3 知识点二 解直角三角形 3 解直角 三角形 的概念 在直角三角形中 除直角外 一共有五个元素 即三条边和两个 锐角 由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形 科学选择解直角三角形的方法口诀 已知斜边求直边 正弦 余弦很方 便 已知直边求直边 理所当然用正切 21 4 解直角 三角形的 常用关系 1 三边之间的关系 a 2 b 2 c 2 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sin A cosB cosA sinB ac bc tanA ab 已知两边求一边 勾股定理最方便 已知两边求一角 函数关系要记牢 已知锐角求锐角 互余关系不能少 已知直边求斜边 用除还需正余弦 例 在 Rt ABC 中 已知 a 5 sinA 30 则 c 10 b 5 知识点三 解直角三角形的应用 5 仰角 俯角 坡度 坡角和 方向角 1 仰 俯角 视线在水平线上方的角叫做仰角 视线在水平线下 方的角叫做俯角 如图 2 坡度 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度 或者叫做坡 比 用字母 i 表示 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 用 表示 则有 i tan 如图 3 方向角 平面上 通过观察点 作一条水平线 向右为东向 和 一条铅垂线 向上为北向 则从点 O 出发的视线与水平线或 铅垂线所夹的角 叫做观测的方向角 如图 6 解直角 三角形实 际应用的 一般步骤 1 弄清题中名词 术语 根据题意画出图形 建立数学模型 2 将条件转化为几何图形中的边 角或它们之间的关系 把实际 问题转化为解直角三角形问题 3 选择合适的边角关系式 使运算简便 准确 4 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义 从而得到 问题的解 解直角三角形中 双直角三角形 的基本模型 1 叠合式 2 背靠式 解题方法 这两种模型种都有一条 公共的直角边 解题时 往往通过 这条边为中介在两个三角形中依次 求边 或通过公共边相等 列方程 求解 第五单元 四边形 第 19 讲 多边形与平行四边形 知识点一 多边形 关键点拨与对应举例 1 多边形的相 关概念 1 定义 在平面内 由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边 形 2 对角线 从 n 边形的一个顶点可以引 n 3 条对角线 并且这些对角线 把多边形分成了 n 2 个三角形 n 边形对角线条数为 32n 2 多边形的内 角和 外角 和 1 内角和 n 边形内角和公式为 n 2 180 2 外角和 任意多边形的外角和为 360 3 正多边形 1 定义 各边相等 各角也相等的多边形 2 正 n 边形的每个内角为 每一个外角为 360 n 2180n 多边形中求度数时 灵活选择公式求度数 解决多边形内角和问题时 多数列方程求解 例 1 若一个多边形的内角和为 1440 则这个多边形的边数为10 2 从多边形的一个顶 点出发引对角线 可 22 3 正 n 边形有 n 条对称轴 4 对于正 n 边形 当 n 为奇数时 是轴对称图形 当 n 为偶数时 既是 轴对称图形 又是中心对称图形 以把这个多边形分割 成 7 个三角形 则该 多边形为九边形 知识点二 平行四边形的性质 4 平行四边 形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用 表示 5 平行四边形 的性质 1 边 两组对边分别平行且相等 即 AB CD 且 AB CD BC AD 且 AD BC 2 角 对角相等 邻角互补 即 BAD BCD ABC ADC ABC BCD 180 BAD ADC 180 3 对角线 互相平分 即 OA OC OB OD 4 对称性 中心对称但不是轴对称 6 平行四边形 中的几个解 题模型 1 如图 AF 平分 BAD 则可利用平行线的性质结合等角对等边得到 ABF 为等腰 三角形 即 AB BF 2 平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形 如图 中 ABD CDB 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形 如图 中 AOD COB AOB COD 根据平行四边形的中心对称性 可得经过对称中心 O 的线段与对角线所 组成的居于中心对称位置的三角形全等 如图 AOE COF 图 中 阴影部分的面积为平行四边形面积的一半 3 如图 已知点 E 为 AD 上一点 根据平行线间的距离处处相等 可 得 S BEC S ABE S CDE 4 根据平行四边形的面积的求法 可得 AE BC AF CD 利用平行四边形的性 质解题时的一些常用 到的结论和方法 1 平行四边形相邻 两边之和等于周长的 一半 2 平行四边形中有 相等的边 角和平行 关系 所以经常需结 合三角形全等来解题 3 过平行四边形对 称中心的任一直线等 分平行四边形的面积 及周长 例 如图 ABCD 中 EF 过对角线的交点 O AB 4 AD 3 O F 1 3 则四边形 BCEF 的周长为 9 6 知识点三 平行四边形的判定 7 平行四边形 的判定 1 方法一 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 即若 AB CD AD BC 则四边形 ABCD 是 2 方法二 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 即若 AB CD AD BC 则四边形 ABCD 是 3 方法三 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 即若 AB CD AB CD 或 AD BC AD BC 则四边形 ABCD 是 4 方法四 对角线互相平分的四边形是平行四边形 即若 OA OC OB OD 则四边形 ABCD 是 5 方法五 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 若 ABC ADC BAD BCD 则四边形 ABCD 是 例 如图四边形 ABCD 的对角线相交 于点 O AO CO 请 你添加一个条件 BO DO 或 AD BC 或 AB CD 只添加 一个即可 使四边形 ABCD 为平行四边形 第 20 讲 特殊的平行四边形 ODCBA ODCBA 23 知识点一 特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例 矩 形 菱 形 正方形 1 性质 具有