级数敛散性总结

摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。关键词 ： 级数 敛散性 方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the methods definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, DAlembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem. Key words: Series Convergence Mathod第一章 引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。III广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结第二章 级数基本概念2.1 级数的定义其定义如下：设，记所有无限项加起来的和为而则称为级数。注：数项级数或无穷级数也常简称级数。2.2 级数的分类级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。数项级数：通项没有含有函数的的级数。等比级数：（又称几何级数）形如其中 ，称为等比级数。调和级数：形如称为等比级数。正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数称为正项级数。交错级数:若级数的各项符号正负相间，即：称为交错级数。2第二章 级数基本概念一般项级数：没有以上特点的数项级数。函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量，,在一个区上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为。幂级数：有幂级数列所产生的函数项级数，即形如的级数成为幂级数。傅立叶级数：一般地说，若是以为周期且在上可积的函数，以的傅立叶系数的三角级数称为的傅立叶级数，其中称为傅立叶系数。泰勒级数：设函数在点的某一邻域内具有直到阶导数，则形如称为泰勒级数。Laurent级数：如果函数在环形域解析，则可以展开为其中3广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结称为Laurent系数，是环形域内包围在其内部的任意简单封闭曲线。称是在环形域的Laurent级数。2.3 级数收敛发散的充要条件一般收敛：级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则（宋国柱，2004）：收敛等价于任意给定正数，必有自然数，当，对一切自然数，有即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。绝对收敛：设是实数列，如果级数收敛，则级数收敛；条件收敛：如果级数收敛，但级数发散，则说级数条件收敛；一致收敛：设函数项级数在区域D中收敛于函数，若，使得当时，对一切同时成立，则说在D一致收敛于。4第二章 级数基本概念2.4 常见级数对应的收敛定理2.4.1 常数项级数1. 当存在，则收敛；2. Cauchy准则：级数收敛的充分和必要条件是，,使得当时，对一切自然数p成立。3. 无穷级数：收敛的必要条件：若级数收敛，则24.2 正项级数1. 正项级数收敛的充分条件是它的部分序列和有上界；2. 比较判别法：设，则 (1)若收敛，则也收敛； (2)若发散，则也发散；3. 比值判别法：设和是两个正项级数，且 (1)若，则级数和 同时收敛或同时发散； (2)若，级数收敛，则也收敛； (3)若，级数发散，则也发散。5广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结4. Cauchy判别法（根值判别法）：设是正项级数， (1)则当时，级数 收敛； (2) 则当时，级数 发散； (3) 则当时，级数 可能收敛也可能发散。5. 对数判别法：若对任意的，当时有，则收敛；若有，则发散。6. 积分判别法：设是上非负下降函数，则收敛。2.4.3 交错级数1. Leibniz判别法：设，且，则交错级数收敛且余和的绝对值2. Cauchy定理：若级数和 都绝对收敛，其和分别为和，则它们的乘积6第二章 级数基本概念也是绝对收敛，且和为。2.4.4 函数项级数1. Cauchy准则：函数项级数在D一致收敛于的充分且必要条件是： ，使得当时，对一切及一切自然数P同时成立。2. weierstass判别法： 设在集合G上，且收敛，则在G上一致收敛。2.4.5 幂级数1. Abel定理：若在收敛，则当时，级数绝对收敛，若在处发散，则当时，级数发散。(1)幂级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。(2)比值法：若，则幂级数的收敛半径，这里，当时，当时，。(3)根值法：，则级数的收敛半径7广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结2.4.6 傅立叶级数1. 狄尼判别法：设连续或者至多有第一类间断点，记若存在，使存在，则2. Lipschitz判别法 设在点满足Lipa条件，即对充分小的 有（为常数，），则3. 狄里希莱-约当判别法 若在上囿变，则在点4. 弗耶定理 设是周期为的连续函数，为傅立叶级数的部分和，则在上一致收敛于。5. 威尔斯托拉斯逼近定理 设，周期为，则存在三角多项式列一致收敛于。8第三章 级数敛散性判别法第三章 级数敛散性判别法3.1 判别级数发散的简单方法（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）定义：如果级数 的部分和数列有极限，则收敛，反之发散。例题l 判别级数的散敛性。解：因为故级数的部分和，又因为所以，原级数收敛。例题2 判别级数的散敛性解：因为 所以级数收敛。9广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结例题3 判别级数是否收敛。解：因为所以级数发散。3.2 比较判别法3.2.1 定理及其极限形式为了考查一个正项级数的散敛性，常用另一个已知是收敛的或者已知是发散的正项级数来与之作比较（可见比较判别法只用于正项级数）。在此先引入几个常用来做比较的级数：几何级数、调和级数、P级数。等比级数：（几何级数）判别法：级数叫做等比级数，下面讨论该级数的散敛性。 解：（1）如果，则部分和当时，由于，所以，因此级数 收敛，其和为； 当时，由于，所以，因此级数级数发散。（2）如果，则有10第三章 级数敛散性判别法当时，从而，所以级数发散；当时，所以有，从而不存在，所以级数发散；由上可知:当时，等比级数收敛；而当，等比级数发散。调和级数：级数称为调和级数，试讨论该级数的散敛性。解：令，由拉格朗日中值定理可知，存在。使得即所以有,将上面所有式子的两端分别相加得其中 为调和级数的部分和因为 11广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结所以,调和级数发散。.P级数：级数称为P级数,试讨论该级数的散敛性.解:(1)当时,这时级数的各项都不小于把调和级数的对应项,即由前面可知调和级数发散,由比较判别法可知该级数发散.(2)当时,把P级数写成而是一个等比级数,且,其公比,于是级数收敛,由比较判别法可知,P级数收敛.综上所述,当时,P级数收敛;当时,P级数发散.在介绍几个常用来比较的级数后,接着介绍比较判别法比较判别法定义 ：设和是正项级数，则(1) 如果收敛，并且存在和，使得，那么级数也收敛；(2) 如果发散，并且存在和，使得，那么12第三章 级数敛散性判别法级数也发散。 证明：(1)对于，因为有上界，所以也有上界。 (2)反证法：对于，如果级数收敛，那么根据上面的结论，级数也应该收敛，但这与题设所矛盾。所以是发散级数。例题1 设，试判断级数的散敛性。解：由题意得因为级数收敛，所以级数 也收敛。例题2 试判断级数的散敛性。解：容易知道 ，因为级数发散，所以级数发散推论：设和是正项级数，并且设极限存在，则有： (1)如果级数收敛，那么级数也收敛，13广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结 (2)如果级数发散，那么级数也发散。证明：（1）对于取定的，存在，使得只要，就有，也就是 （2）对于取定的，存在，使得只要，就有，也就是 例题3 设，试判断级数的散敛性。解：容易知道因为级数收敛，所以级数 收敛。例题4 试判断级数的散敛性。解：容易知道因为级数发散，所以级数发散。14第三章 级数敛散性判别法3.2.2 比值判别法运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法，但前提是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易，所以很多时候就要用到以下的比值判别法：设有正项级数，如果，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散。例题5 试判别级数的散敛性。解：因为故根据比值判别法可知，原级数收敛。例题6 试判别级数的散敛性。解：因为15广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结因此，比值判别法失效，但，而级数是收敛的，可以根据比较判别法可知，原级数也收敛。3.2.3 活用比较判别法当所求级数的通项中出现关于的有理式时，比较对象常常选择P级数或者调和级数。例题7 试判别级数的散敛性。解：因为又由于收敛，则由比较判别法可知，级数也收敛。例题8 试判别级数的散敛性。解：因为，又由于收敛，则根据比较判别法可知，原级数也收敛。例题9 试判别级数的散敛性。解：因为又有级数发散，根据比较判别法可知，原级数也是发散的。16第三章 级数敛散性判别法例题10 试判别级数的散敛性。解：考虑到当时，则而是公比的收敛级数，故根据比较判别法可知，原级数收敛。例题11 试判别级数的散敛性。解：由于而是收敛的级数，所以原级数收敛。3.3 柯西判别法柯西根式判别法（普通形式）设级数是正项级数，(1)如果存在和，使得，那么级数收敛。(2)如果对无穷个有，那么级数发散。柯西根式判别法（极限形式）设是正项级数。并设存在极限，则有(1)如果，那么级数收敛，17广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结(2)如果，那么级数发散。证明：（1）对于取定的，存在，使得。（2）对于取定的，存在，使得。例题1 判别级数的散敛性。解：由于根据柯西判别法可知，级数收敛。例题2 试判断级数的散敛性。解：由于根据柯西判别法可知，级数发散。3.4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法（普通形式） 设是严格的正项级数。(1)如果存在和使得，那么级数收敛。(2)如果存在使得，那么级数收敛。达朗贝尔判别法（极限形式） 设是严格的正项级数。并存在极限18第三章 级数敛散性判别法则有(1)如果，那么级数收敛。(2)如果，那么级数发散。证明：(1)对于取定的，存在，使得只要，就有.(2)对于取定的，存在，使得只要，就有.推论 设和都是严格的正项级数。(1)如果级数收敛，并且存在，使得，那么级数 也收敛。(2)如果级数发散，并且存在，使得，那么级数 也发散。例题1 试判别级数的散敛性。解：由于由达朗贝尔定理可知，级数收敛。19广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结例题2 试判别级数的散敛性。解：由于由达朗贝尔定理可知，级数发散。3.5 对数判别法对数判别法（普通形式） 设是严格的正项级数。若从某一项起有，则有级数收敛；若从某一项起，则有级数发散。对数判别法（极限形式） 设是严格的正项级数。设，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数有可能收敛也有可能发散。例题1 试判别级数的散敛性。解：因为当时，有，所以20第三章 级数敛散性判别法但由于发散，因此级数发散。例题2 试判别级数的散敛性。解：由题可知，因为所以但是，则有级数收敛，从而级数收敛。例题3 试讨论级数的散敛性。解： 由题可知，级数的通项为则有21广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结由对数判别法可知，原级数发散。3.6 积分判别法柯西积分判别法：设函数在单调下降并且非负，则级数与广义积分同为收敛或同为发散。证明：依题意得，为上的非负减函数，对于任意的正数，在上可积，从而有，依次相加可得，若此积分收敛，则上式的左边，对于任何的整数，有，于是级数收敛。反之，若级数为收敛级数，则上式的右边，对于任意正整数有，因为是非负减函数，故对任意的正数，都有，根据上式得收敛。同理可证级数和积分是同时发散的。例题1 试判别级数的散敛性。解：将级数换成积分形式，由于即收敛，根据积分判别法可知，也收敛。22第三章 级数敛散性判别法例题2 试判别级数的散敛性解：将级数转化成积分的形式，由于，即发散，根据积分判别法可知，级数发散。3.7拉贝判别法拉贝判别法（普通形式）设是严格的正项级数。（1）如果存在和，使得，那么级数收敛。（2）如果存在，使得，那么级数发散。证明：（1）由题可得，取一实数，满足，则级数收敛，另，则对于充分大的有，所以，级数也收敛。（2）由题意得，因为级数发散，所以级数也发散。拉贝判别法（极限形式）设是严格的正项级数，并且以下的极限存在，23广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结（1）如果，那么级数收敛。（2）如果，那么级数发散。例题1：试讨论级数，当是的收敛性。解：当时，容易根据拉贝判别法可知，级数发散。当时，容易根据拉贝判别法可知，级数发散。当时，容易根据拉贝判别法可知，级数收敛。从上面我们可以看出,有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别,但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子的精确度的限制。24第三章 级数敛散性判别法3.8高斯判别法设是严格的正项级数，并设有，则有(1)如果，那么级数收敛；如果，那么级数发散。(2)如果，那么级数收敛；如果，那么级数发散。(3)如果，那么级数收敛；如果，那么级数发散。推论：设是严格的正项级数，并设有，则有(1)如果，那么级数收敛；如果，那么级数发散。(2)如果，那么级数收敛；如果，那么级数发散。例题1 设，试判别级数的散敛性。25广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结解：令，则由此可得但由于所以当时，级数发散；当是，显然有，故级数发散；当时，有故，所以例题2 设，试讨论级数的散敛性。解：因为故当是，级数收敛；当时，级数发散。26第四章 级数敛散性比较及应用第四章 级数敛散性比较及应用4.1 基于级数类型的方法总结对于级数的敛散性判断，当一个级数是具体属于某一种级数，则可以考虑利用该种级数对应的收敛判别法来进行判别其散敛性。而常见的几种级数和对应的判别法如下表：表1 判别总结表级数类型散敛性判别法正项级数比较判别法、根值判别法、比值判别法、对数判别法、拉贝判别法、高斯判别法任意项级数柯西判别法、绝对收敛判别法、 Abel判别法交错收敛判别法、Dirichlet判别法函数项级数M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法、狄尼判别法、一致收敛判别法幂级数Abel定理、比值法、根值法傅立叶级数狄尼判别法、Lipschitz判别法、弗耶定理狄里希来-约当判别法、威尔斯托拉斯逼近定理4.1.1 对常数项级数若给出的级数是常数项级数，一般可以利用以下的流程来进行判断：27广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结已给级数发散是否交错级数莱布尼茨判别法任意项级数判别法是任意项级数比较判别法的极限形式可行？否？是正项级数否？比值判别法可行？比值判别法其他方法收敛或发散否是否否是否否否是是是图1 判别流程图对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。下面通过具体的例子说明：例题1 试判别级数的散敛性分析：容易知道(1)首先判断是否为，因为，所以有(2)然后判断是否为正项级数，由于，故原级数为为正项级数(3)因为28第四章 级数敛散性比较及应用因此，比值判别法失效。(4)现在考虑比较判别法，由于，而级数是收敛的，可以根据比较判别法可知，原级数也收敛。4.1.2 对幂级数若给出的级数是幂级数，一般可以利用以下的方法来进行判断：(1)首先要求出收敛域，利用式子求出收敛半径，从而确定幂级数的收敛区间，将分别代入幂级数中，此时的幂级数就成为了常数项级数，然后就可以按照常数项的散敛性判别法判断其散敛性。(2)很多时候可以通过一些幂级数的展开式间接的将一些函数展开成幂级数，具体如下：(3)将一个函数直接展开为的幂级数的步骤如下：29广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结 A求出的各阶导数，再求出函数及各阶导数在处的函数值，若某阶导数不存在，就停止进行，此时函数不能展开为的幂级数。 B写出在处的泰勒级数，并求出其收敛域。 C考查在其收敛域内是否有，若极限为零，则第（1）中求出的幂级数就是函数的展开式，若极限不为零。则幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数。D最后写出在点的泰勒展开式。例题2 将函数展开成的幂级数。解：求出的各阶导数及其在处的函数值：， 因此在处的泰勒级数为：其收敛半径为，收敛区间为。 对任意有限数余项的绝对值由比较判别法知道收敛，又有级数收敛的必要条件有而相对于是一个常数，则有30第四章 级数敛散性比较及应用的泰勒级数为：4.1.3 对于傅立叶级数若是需要化为傅立叶级数，一般可以利用以下的方法来进行判断（韩志刚，2003）：将周期函数在上展开为傅立叶级数的步骤 (1)运用收敛定理判断是否满足收敛条件。 (2)若满足收敛定理条件，则求出傅立叶系数。 (3)写出傅立叶级数并注明在何处收敛于函数例题3 设是周期为的周期函数，在上的表达式为将函数展开为傅立叶级数。解：函数的图形如下，所给的函数在处不连续，而在其余点处都连续，满足收敛定理的条件。图2 函数图像31广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结当时，傅立叶级数收敛于当时，傅立叶级数收敛于。下面计算傅立叶系数于是，函数的傅立叶展开式为32第四章 级数敛散性比较及应用4.2 基于通项特征的方法总结按照上面所说的方法的确可以有效的使我们更快的判断级数的散敛性，但是对于通项一些有明显的一些特征的时候，可以采取下面的一些方法，以便更快的达到判断的效果。(1)对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如（张筑生，2008）：取，若令，有所以级数发散。(2)当级数一般项如含有或等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较、不容易算出或者等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例（胡适耕、张显文，2008）：、。比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。(3)当级数通项含形如、的或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比式判别法。例（孙清华、孙昊，2003）：、。33广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结(4)当级数通项含形如、的时候，可选用根式判别法。例如：、。一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优（王传荣、朱玉灿、徐荣聪，2007）。(5)当级数通项含形如、的时候，或者含有或等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。例：、。(6)当级数通项含形如的时候，可以选用对数判别法，例如、。(7)当级数通项同时含有阶层与n次幂或者分子、分母含多个因子连乘除时，使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。例：、，不能用比值判别法；无法判别法散敛性不能用根式判别法，无法判别散敛性。因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法(叶国菊、赵妨,2009)。(8)当级数通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有或等三角函数、等；或可化为如；也可以型如，为任意函数，34第四章 级数敛散性比较及应用则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。例设收敛，则级数，等都收敛。(9)当级数通项同时含、的时候，可以选择伯尔特昂判别法。如: ,级数收敛；，级数发散。(10)当的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。如：35第五章 参考文献参 考 文 献1韩志刚. 级数与拉普拉斯变换. 北京: 化学工业出版社, 2003. 19662华东师范大学数学系. 数学分析. 北京: 高等教育出版社, 2008. 6783胡适耕, 张显文. 数学分析原理与方法. 北京: 高等教育出版社, 2008. 2873544宋国柱. 分析中的基本定律和典型方法. 北京: 科学出版社, 2004. 711125孙清华, 孙昊. 数学分析内容方法与技巧. 北京: 华中科技大学出版社, 2003. 6786王传荣, 朱玉灿, 徐荣聪. 大学数学. 北京: 科学出版社, 2007. 23727叶国菊, 赵妨. 数学分析与考研指导. 北京: 清华大学出版社, 2009. 1401638张筑生. 数学分析新讲. 北京: 北京大学出版社, 2008. 15519337