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第一部分：基础复习九年级数学(上)第一章：证明(二)一、中考要求：1经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力2进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义3了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质、定理及判定定理4结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立5能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号所考知识点比率1三角形全等的判定定理57%2命题67%(二)中考热点： 新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2006年中考的热点题型三、中考命题趋势及复习对策 本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占57分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程。 (I)考点突破考点1：利用定理证明一、考点讲解：公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等，公理2两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行公理3若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等公理4全等三角形的对应边相等，对应角相等 定理1. 平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补 定理2平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行 定理3三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角 定理4直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 定理5角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心） 定理6垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心） 定理7三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半定理8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理二、经典考题剖析： 【考题11】（2004、深圳南山，5分）如图ll1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点（1）求证：AFDE；（2）求证：FH= GH 证明：（1）在ADE中，AD=AE，F是DE的中点 AF是等腰ADE 底边DE上的中线 AFDE （2）连结GCAFDE H是AC 的中点 FH是RtAFC斜边 AC上的中线 同理：FH=GH【考题12】（2004、 在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.(1) ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90ACD=CBE AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE， 又AC=BC， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CDCE=BEAD. 三、针对性训练：( 40分钟) (答案：254 ) 1如图114，RtABC中，ACAB，AD是斜边上的高；DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，则图中与C（除C外）相等的角的个数是（ ） A2 B3 C4 D52如图115，ABC中，ABC和ACB的外角平分线交于点O，设BOC=，则A等于（）3如图116，ABC是不等边 三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC全等，这样的三角形最多可作出（ ）A2个 B4个 C6个 D8个4如图117，ABC是直角三角形，BC是斜边， ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合， 如果AP=3，那么PP的长等于（ ） A3 B2 C3 D45如图118，在RtABC中，BCA=90，点D、E、F分别是三边的中点，且CF=2 cm，则DE= _cm6、如图119，在ABC和DEF中，已知AB=DE，要使ABCDEF，根据三角形全等的判定定理，还需添加条件_（填上你认为正确的一种）7在方格纸上有一个ABC，它的顶点位置如图 1110所示，则这个三角形是_三角形8如图111 所示，把ABC绕点C顺时针旋转 35，得ABC交AC于点D，若ADC =90o，则A=_.9如图1l12，ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，BCE的周长为14，BC=6，则AB长为 _.10 如图1113，在ABC中，BAC=90 在，延长 BA 到D，使AD=AB，点E、F分别为边BC、AC的中点（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AGBC，交 DF于点 G，求证：AG=DG 考点2：命题一、考点讲解：1命题的组成：命题由条件和结论两部分组成2命题的形式：命题的形式通常写成“如果，那么”的形式3真命题与假命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题二、经典考题剖析： 【考题21】（2004、湖南长沙）请用“如果，那么”的形式写一个命题：_. 解：此题答案不唯一，是开放性题目，如可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【考题22】（2004、南宁，8分）如图1114，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AE=AD AB=ACOB=OC B=C点拨：解答本题时，可选取以上三种情况中的一种即可，注意：已知两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等【考题23】（2004、江苏盐城，3分）下列命题中，假命题是（ ） A平行四边形的对角线互相平分 B矩形的对角线相等 C等腰梯形的对角线相等 D菱形的对角线相等且互相平分解: D 点拨：当菱形为正方形时，其对角线才有相等的性质，而一般菱形不具有对角线相等的性质三、针对性训练：( 25分钟) (答案：254 ) 1下列命题中，真命题是（ ） A面积相等的两个三角形是全等三角形 B有两边及一组对应角相等的两个三角形全等 C全等三角形的周长相等 D有一条直角边对应相等的两个三角形全等2下列命题中正确的是（ ） A实数是有理数B无限小数是无理数 C数轴上的点与有理数一一对应D数轴上的点与实数一一对应3下列命题为假命题的是（ ） A等腰三角形的两腰相等B等腰三角形的两底角相等 C等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合 D等腰三角形是中心对称图形4下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（） A全等三角形的对应角相等 B两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形 C等边三角形是锐角三角形 D直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.5如图1115，在ABC中，CD AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不在图中添加辅助线） 条件：_ 结论：_6将命题“同角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式是_.7如图1116，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，给出5个论断：CDAB；BEAC；AE=CE；ABE30；CD=BE如果论断、都成立，那么论断一定成立吗？答：_.从论断、中选取3个作为条件，将论断作为结论，组成一个 真命题，那么你选的3个论断是_（只需填论断的序号）用中你选的3个论断作为条件，论断作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明考点3：尺规作图一、考点讲解：1五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；作三角形2尺规作图要求：了解尺规作图的步骤，会写已知、求作和作法（不要求证明）二、经典考题剖析： 【考题31】（2004、湖北宜昌，7分）如图1l17， 已知ABC，（1）作B的角平分线（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) （2）若C=90，B=60，BC=4，B的平分 线交AC于点D，请求出线段BD的长 解：（1）如图1118，BD为ABC的角平分线； （2）因为BD为ABC的平分线，ABC=60 所以CBD=30又C=90，所以 BD=2CD，设 CD=x，则BD=2x而BC=4，所以（2x）2x2 =42所以x=,所以BD=2=点拨：求BD的长，也可利用三角函数知识求解 三、针对性训练：( 25分钟) (答案：255 ) 1利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ ）A已知三边 B已知两边及夹角 C已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角2用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）A已知两条直角边 B已知两个锐角 C已知一直角边和一锐角D已知斜边和一直角边3作线段的垂直平分线的理论，根据是_和两点确定一条直线4请根据图1l19所示的作图痕迹，填写画线段AB的垂直平分线的步骤 第一步：分别以_、_为圆心，以大于_半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交于点_和_； 第二步：经过点_和_画_，直线CD就是线段AB的垂直平分线5、AOB如图1l20所示，请用直尺和圆规作出AOB的平分线要求保留作图痕迹，不写作法） 6如图1l20是由1个圆1个半圆和1个三角形组成的图形请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴对称图形（用尺规作图，不要求写做法和证明，但要保留作图痕迹）(II)2005年新课标中考题一网打尽【回顾1】（2005、杭州）如图1122,在等腰 中,AC=BC,以斜边AB为一边作等边,使点C,D在AB的同侧;再以CD为一边作等边,使点C,E落在AD的异侧.若AE=1,则CD的长为（） (A) (B) (C) (D) 【回顾2】（2005、安徽，8分）下面是数学课堂的一个学习片断阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30，请你求出其余两角”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲“其余两角是30和120”；王华同学说：“其余两角是75和75”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）【回顾3】（2005、温州，14分 ）如图，在RtABC中，已知ABBCCA4cm，ADBC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。、求x为何值时，PQAC；、设PQD的面积为y(cm2)，当0x2时，求y与x的函数关系式； 图1123、当0x2时，求证：AD平分PQD的面积；图1124、探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)【回顾4】（2005、衢州，9分）已知：如图1124，AGBC，DEAG，GFAB，点点E为AC的中点，求证：DE=FC 图115【回顾5】（2005、衢州，14分）已知：如图1125， ABC中，B=90，BAD=ACB,AB=2，BD=l，过点D作DMAD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P (1)求sinACB的值； (2)求MC的长； (3)若点Q以每秒1个图1126单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 【回顾6】（2005、重庆）如图，在ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知ABDACD,BDECDE求证：BDCD 【回顾7】（2005、临沂）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为（ ） (A)60 (B)120 (C)60或50 (D)60或120 【回顾8】（2005、临沂）已知ABC，(1)如图1127，若P点是ABC和ACB的角平分线的交点，则 P=；(2)如图1128，若P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，则P=；(3)如图1129，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，则P=。【回顾9】（2005、上海，3分）在下列命题中，真命题是（ ） A两个钝角三角形一定相似 B两个等腰三角形一定相似 C两个直角三角形一定相似 D两个等边三角形一定相似【回顾10】（2005、长沙）下列说法中，正确的是（ ） A等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形 B正方形的对角线互相垂直平分且相等 C矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D菱形的对角线相等【回顾11】（2005、扬州，10分）如图1130，在 ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条 件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明 AB=DE，AC=DF，ABCDEF，BECF 已知： 求证： 证明：【回顾12】（2005、自贡，6分）如图1131，内宜高速公路OA和自雅路OB在我市相交于点O，在AOB的内部有五宝和正紫两个镇C、D，若要修一个大型农贸市场P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC=PD，用尺规作出市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹） (III)2006年中考题预测（70分 60分钟）（255） 一、基础经典题( 53分)(一)选择题(每题3分，共33分 )【备考1】如图1132，DE是ABC的中位线， F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于（ ）Al：1 B2：1 C1：2 D3：2【备考2】如图1133，ABC中 ，ADBC，垂足为D，下列条件：（1）B+DAC=90o ；(2）B=DAC；(3)= ；（4）AB2 =BDBC，其中一定能够判定ABC是直角三形的共有（ ） A3个 B2个 C1个 D0个【备考3】如图1134，ABC中，C90 ，点E在AC上，EDAB，垂足为D，且ED平分ABC的面积，则AD：AC等于（ ） A1：1 B1： C1：2 D1：4【备考4】将两个全等的有一个角为30的直角三角 形拼成图1135，其中，两条长直角边在同一直线上，图中等腰三角形的个数是（ ） A4 B3 C2 Dl【备考5】在ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB 边的取值范围是（ ） A1AB9 B3AB13 C5AB13 D9AB13【备考6】如图1136，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、两三个三角形中（见图1137）和ABC全等的图形是（ ） A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有两【备考7】如图 1138，OE是AOB的平分线，CDOB交OA于C，交OE于D，ACD=50o，则 CDE的度数是（ ） A175 B130 C140 D155【备考8】已知AOB=30 ，点P在AOB内部；P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1、O、P2三点所构成的三角形是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 【备考9】等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则 周长为（ ） A2cm B10cm C8cm或 10cm D6cm【备考10】以长为13cm，10m，5cm，7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（） Al个 B2个 C3个 D4个【备考11】下列命题中的真命题是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B圆的半径垂直于圆的切线 C到圆心的距离大于半径的点在圆内 D等弧所对的圆心角相等（二）填空题（每题4分，共20分）【备考12】如图1139，直角梯形ABCD中,AB CD，CBAB，ABD是等边三角形，若AB=2，则CD=_，BC_.【备考13】如图1140，ABC中，ACB=90，CA=CB，过C的直线AB，若在上取一点D，使AD=AC，则BA D的度数为_.【备考14】正三角形的边长为a，则它的面积为_.【备考15】把边长为1的正方形对折n次后，所得图 形的面积_【备考16】对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：ab，bc，ab，ac，ac，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_.二、学科内综合题（10分）【备考17】已知：如图1141，正ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长 AB至 E，使 BE=CD，连结DE，交BC于点P（1）求证：PD=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长.三、实际应用题（7分）【备考18】如图1l42，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内，离公路与铁路的距离相等，且高公路与铁路交叉处B点700m，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置
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