高中数学必修三导学案

高 中 数 学 必 修 三 导 与 练班级： 姓名： 高一数学组编算法的概念学习目标 1.了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法应满足的要求。2.通过例题分析，体会算法的基本思路。学习过程 一、课前准备算法概念：二、新课导学探究：算法的概念问题：解二元一次方程组 参照教材第2页用加减消元法写出它的求解过程.解：第一步： ；第二步： ； 第三步： ； 第四步：_； 第五步：_。思考：试写出求方程组的求解步骤. 解：第一步： ；第二步： ； 第三步： ； 第四步：_； 第五步：_。新知：算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的.(3)顺序性：算法分为若干有序的步骤，按顺序运行.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.三、 典型例题例1.(1)设计一个算法，判断5是否为质数。 (2)设计一个算法，判断35是否为质数。 例2.写出用二分法求方程(x0)的近似解的算法.课后作业1.下列说法正确的是（ ）A算法就是某个问题的解题过程；B算法执行后可以产生不同的结果；C解决某一个具体问题算法不同，结果不同；D算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施2.家中配电盒至电视机的线路断了，检测故障的算法中，为了使检测的次数尽可能少，第一步检测的是( )A. 靠近电视的一小段，开始检查 B. 电路中点处检查C. 靠近配电盒的一小段开始检查 D. 随机挑一段检查3.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法( )A.S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播C.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶4.算法:S1 输入；S2 判断是否是2，若，则满足条件，若，则执行S3；S3 依次从2到检验能不能整除，若不能整除,则满足条件；满足上述条件的是( )A.质数 B.奇数 C.偶数 D.约数5.算法：S1 m=a；S2 若bm，则m=b；S3 若cm，则m=c；S4 若d10? B.i20? D.i203.设计一个算法求的值，并画出程序框图。4.设计一个求解一元二次方程的算法，并画出程序框图表示.程序框图与算法的基本逻辑结构（3）学习目标 1.掌握程序框图的概念；会用图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构。2.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。3.通过模仿、操作、探索，设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。学习过程 一、课前准备复习:条件结构与循环结构的区别与联系是什么?二、新课导学探究1：多重条件结构的程序框图问题1:解关于x的方程ax+b=0的算法步骤如何设计？分析：第一步，输入实数a，b.第二步，判断a是否为0.若是，执行第三步；否则，计算，并输出x，结束算法.第三步，判断b是否为0.若是，则输出“方程的解为任意实数”；否则，输出“方程无实数解”.问题2:该算法的程序框图如何表示？ 探究2：混合逻辑结构的程序框图 问题3：用“二分法”求方程的近似解的算法如何设计？ 第一步，令f(x)=x2-2，给定精确度d. 第二步，确定区间a，b，满足f(a)f(b)0. 第三步，取区间中点m. 第四步，若f(a)f(m)50,y=x*x+2;else if x=10,y=0; else if x=30,y=0.1*x; else y=0.25*x; end endendy1.为了在运行下面的程序之后得到输出，键盘输入应该是 .x=input(“x=”);if x0y= (x+1)*(x+1)else y= (x-1)*(x-1)endy2.右面的程序语句执行后输入40，输出的是 .3. 铁路部门托运行李的收费方法如下：y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg）,当0x20时，按0.35元/kg收费，当x20kg时，20kg的部分按0.35元/kg,超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费，请根据上述收费方法编写程序。4. 根据教材图1.1-2中的程序框图编写程序，判断大于2的整数是否为质数。（教材第7页）算法案例（1）学习目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。学习过程 一、课前准备问题1:在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？问题2:如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？二、新课导学探究：辗转相除法问题： 求两个正数8251和6105的最大公约数。探究：更相减损术问题：用更相减损术求98与63的最大公约数.三、 典型例题例1利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数。 例2 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。思考：比较辗转相除法与更相减损术的区别。课后作业1.我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里得辗转相除法相媲美的是（ ）A.中国剩余定理 B.更相减损术 C.割圆术 D.秦九韶算法2. 840和1764的最大公约数是（ ）A84 B12 C168 D2523. 用辗转相除法求下列各组数的最大公约数。（1）72；168 （2）153；119 4. 用更相减损术求两个正数96与70的最大公约数。5.用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324 , 243 , 135 的最大公约数.算法案例（2）学习目标 1.理解秦九韶算法与进位制中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。学习过程 一、课前准备复习1：回顾用辗转相除法和更相减损术求最大公约数的操作方法。复习2：三个数42，56，78的最大公约数是_ 二、新课导学探究：秦九韶算法新知1：我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。根据我们的计算统计可以得出我们共需要_10_次乘法运算，_5_次加法运算。我们把多项式变形为：f(x)= x2(1+x(1+x(1+x)+x+1,再统计一下计算当x=5时的值时需要的计算次数，可以得出仅需_4_次乘法和_5_次加法运算即可得出结果。显然少了_6_次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。秦九韶计算多项式的方法：（详见教材37页。）探究：进位制问题1：把二进制数110011(2)化为十进制数.问题2：把89化为二进制数.新知2：把十进制化为k进制数的算法,这种算法称为除k取余法.三、 典型例题例1已知一个5次多项式为f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。 思考：（1）例1计算时需要多少次乘法运算？多少次加法计算？（2）在利用秦九韶算法运算n次多项式当x=x0时需要多少次乘法运算和多少次加法运算？例2 (1)把二进制数110 011(2)化为十进制数. (2)把89化为二进制数.课后作业1. 把89化成五进制的末尾数是 （ ）A1 B2 C 3 D 42.用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为 ( ) A. 845 B. 220 C. 57 D. 343. 下列各数中最小的数是 ( ) A. B. C. D. 4.利用秦九韶算法计算当时的值（要求写出详细过程），并统计需要_次乘法运算和_次加法运算？第一章 算法初步复习课学习目标 1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句。2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。学习过程 一.本章的知识结构二.知识梳理(1)四种基本的程序框(2)三种基本逻辑结构(3)基本算法语句(4)算法案例三、习题1下列关于算法的说法中正确的个数有( )求解某一类问题的算法是唯一的 算法必须在有限步操作之后停止算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊算法执行后一定产生确定的结果A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知直角三角形两直角边长为,求斜边长的一个算法分下列三步：计算；输入直角三角形两直角边长,的值；输出斜边长的值,其中正确的顺序是（ ） A. B. C. D.4.阅读下图的程序框图。若输入m = 4，n = 3，则输出a = _，i =_ 。（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”）开始输入结束输出否是5.阅读右边的程序框图，若输入的是100则输出的变量和的值是（ ）A2500，2500B2550，2550 C2500，2550D2550，2500程序：S=1I=1 WHILE I=10 S=3*SI=I+1WENDPRINT SEND （第3题）6.如右图所示的程序是用来( )A计算310的值 B计算的值C计算的值 D计算12310的值7.写出下列程序框图表示的算法的运算结果_。8.如图所示，该程序运行后的结果_简单的随机抽样学习目标 1. 正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；2. 能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；3. 在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本学习过程一、课前准备请同学自主学习P54-57内容，思考回答下列问题：1一般地，我们把所考察对象的全体叫 ，组成总体的每一个 称为个体，从总体中抽取的一部分个体叫 ，样本中所含个体的数目叫 。2我们常用的抓阄法是不是简单随机抽样？为什么？抽鉴法的概念是什么？从概念、细化出操作步骤是什么？3随机数法的概念是什么？怎样利用随机数表产生样本？4在使用随机数表产生样本时，往往从0开始终编号，你能说出这样做的好处吗？二、新课导学新知1：简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N个个体，从中 地抽取n个个体作为样本（nN）,如果每次抽取时总体内的各个个体 都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：(1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是 。(2)简单随机样本数n 样本总体的个数N。(3)简单随机样本是从总体中 抽取的。(4)简单随机抽样是一种 的抽样。(5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 。新知2：抽签法和随机数法抽签法的定义:一般地，抽签法就是把总体中的N个个体 ，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中， 后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。【说明】抽签法的一般步骤：（1） 将总体的个体编号。（2）连续抽签获取样本号码。思考：你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？随机数法的定义：利用 、 或 产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。【说明】随机数表法的步骤：（1）将总体的个体编号。（2）在随机数表中选择开始数字。（3）读数获取样本号码。三、典型例题例1 人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？例2 某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？课后作业1从50个产品中随机抽取10个进行检查，则总体个数为 ，样本容量为 。2对于简单随机抽样，有以下几种说法，其中不正确的是 。A要求总体的个数有限B从总体中逐个抽取C这是一种不放回抽样D每个个体被抽到的机会与抽取先后有关3用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：将总体中的个体编号，获取样本号码，选定开始的数字。这些步骤的先后顺序应为 AB C D4.从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。5.为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）A总体是240 B. 个体是每一个学生C. 样本是40名学生 D. 样本容量是406.为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（ ）A.总体 B.个体C.总体的一个样本 D.样本容量7.一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 .系统抽样学习目标 1. 正确理解系统抽样的概念；2. 掌握系统抽样的一般步骤；3. 正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；学习过程一、课前准备1当总体中的个体数较多时，可将总体分成 的几个部分，然后预先制定的规则，从每一部分 ，得到所需要的样本，这样的抽样叫系统抽样2系统抽样的步骤：5u（1）先将总体中的N个体 （2）确定分段的间隔,对整个的编号进行分段。当是整数时， ；当不是整数时，通过从总体中剔除些个体使剩下的总体中的个体能被n整除，这时 （3）在第一段用 确定起始的个体编号（4）按照事先确定的规则（将加上间隔）抽取样本：， ， 二、新课导学新知1：系统抽样的定义：说明:由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将 ，分段的间隔要求 ，因此，系统抽样又称 ，这时间隔一般为k .（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用 确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。思考？（1）你能举几个系统抽样的例子吗？（2）下列抽样中不是系统抽样的是（ ）A.从标有115号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样B.工厂生产的产品，用传带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈.新知2：系统抽样的一般步骤。（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个体 ；（2）将整体按编号进行分段，确定 ；（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（LN,Lk）；（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。说明:从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。三、 典型例题例1 某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。例2 从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A5，10，15，20，25 B. 3，13，23，33，43C1，2，3，4，5 D. 2，4，6，16，32课后作业1.下列抽样试验中，最适宜用系统抽样的是()A从某厂生产的15件产品中随机抽取5件入样B从某厂生产的1 000件产品中随机抽取10件入样C从某厂生产的1 000件产品中随机抽取100件入样D搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定调查人数为止2.为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（ ）A.40 B.30 C.20 D.123.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目（ ）A.2 B.4 C.5 D.64.用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为（ ）A.1/1000 B.1/1003 C.50/1003D.50/10005.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001,0002,0003，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为_6.从学号为150的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）A1，2，3，4，5 B. 5，16，27，38，49C2, 4, 6, 8, 10 D. 4，13，22，31，407.采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为 （ ）A1/8 B.10/83 C10/85 D.1/98.某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样方法。9.中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众现采用系统抽样方法抽取，其组容量为( )A10 B100 C1000 D10000分层抽样学习目标 1.正确理解分层抽样的概念.2.掌握分层抽样的一般步骤.3.能选择适当正确的方法进行抽样.学习过程一、课前准备1将总体分成_的层，然后按照 ，从各层独立地抽取 ，将各层抽取的_作为样本，这种抽样方法叫做_2分层抽样的步骤：（1）将总体按一定 的进行分层；（2）计算各层中 与 的比；（3）按各层 确定各层应抽取的个体数量；（4）在每层进行抽样，组成样本二、新课导学新知1：分层抽样的定义说明:应用分层抽样应遵循以下要求：（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。新知2：分层抽样的步骤：（1）分层：按 将总体分成若干部分。（2）按 确定每层抽取个体的个数。（3）各层分别按 的方法抽取。（4）综合每层抽样，组成样本。思考:1.分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（ ） A.每层等可能抽样 B.每层不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样2.如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n样本，那么每个个体被抽到的可能性为（ ） A B. C. D.新知3 ：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样表类 别共同点各自特点联 系适 用范 围简 单随 机抽 样（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多系 统抽 样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成分 层抽 样三、典型例题例1 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20例2 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，196200号）若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人课后作业1某商场有四类商品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油与果蔬类食品种数之和是A4 B5 C6 D72.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为A7 B 15 C 25 D353.一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是A12，24，15，9 B 9，12，12，7 C8，15，12，5 D8，16，10，64.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为2:3:5，现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A型产品有16种，那么此样本容量n=_5.一电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示： 很喜爱喜爱一般不喜爱3000360040001400打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？6.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A分层抽样法，系统抽样法 B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法7.某单位有老年人45人，中年人55人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是 （ ）A简单随机抽样 B系统抽样C分层抽样 D先从老人中剔除1人，然后再分层抽样8.某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人。9.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n= 10上海大众汽车厂生产了A、B、C三种不同型号的小轿车，产量分别1 200辆、6 000辆、2 000辆，为检验这三种型号的轿车质量，现在从中抽取46辆进行检验，那么应采用_抽样方法，其中B型号车应抽查_辆 用样本的频率分布估计总体分布学习目标 1.通过实例体会分布的意义和作用。2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。学习过程一、课前准备1.频率分布表当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，我们把反映 的表格称为频率分布表。2.绘制频率分布直方图的一般步骤为：（1）计算 ，即一组数据中最大值与最小值的差；（2）决定 ；组距与组数的确定没有确切的标准，将数据分组时组数应力求合适，以使数据的发布规律能较清楚地呈现出来组数与样本容量有关，一般样本容量越大，分的组数也越多，当样本容量为100时，常分812组组距的选择组距= ，组距的选择力求取整，如果极差不利于分组（不能被组数整除）可适当增大极差，如在左右两端各增加适当的范围（尽量使两端增加的量相同）（3）将_；（4）列 ；一般为四列：分组、频数累计、频数、频率最后一行是合计，其中频数合计应是 ，频率合计是_.（5）画频率分布直方图为将频率分布直方图中的结果直观形象的表示出来，画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示 ，其相应组距上的