大学物理(中国矿大)第九、十二、十三章习题答案

第九章习题9.1 卢瑟福试验证明，当两个原子核之间的距离小到时，他们之间的排斥力仍遵守库伦定律。金的原子核中有个质子，氦的原子核中有两个质子。已知每个质子带电量为：，粒子的质量为，当粒子与核相距为时，求： 粒子所受的力； 粒子的加速度。解：粒子的带电量为：，金核的带电量为： ， 加速度9.2 两个相同的小球，质量都是；带等量同号电荷，各用长的细线挂在一起，设平衡时两线夹角为很小。 证明下列近似等式：式中为两球平衡时的距离。 如果，则每个小球上的电荷是多少库仑？解： 对进行受力分析列方程为： ， （很小时，） 即： 9.3 两个点电荷带电量为和，相距为，将第三个电荷放在何处，所受库仑力为零？解：， 方向相反 当所受合力为零时， （为距的位置） （为距的位置）9.4 两个点电荷，相距，求离它们都是出的电场强度。 解：由图中可得，产生的电场强度应该是和的合成。 电场强度为： 大小为：，方向：与连线成，右斜向下。9.5 有四个正点电荷，电量都是，分别放在边长为的正方形的四个顶点。求正方形中心放一个什么样的电荷，可以使每个电荷都达到平衡。解：正方形中心处的电荷为，四个顶点处的为，正方形的边长为，则右下顶点处的电荷所受的电荷力为：方向竖直向下 方向水平向右，方向沿着对角线向外 这四个力的合力为：方向沿着对角线向外 此电荷所受中心电荷的力为： 因此中心所放的电荷应为：9.6 有一均匀带电的细棒，长度为，所带总电量为。求： 细棒中垂面上到棒的距离为处的电场强度； 细棒延长线上到棒中心的距离为处的电场强度大小。 解：9.7 半径为的半球面，均匀带电，电荷密度为，求球心处的电场强度。解：分析：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O点处的电场就是所有这些带电圆环在O点的电场的叠加。 今取一半径为，宽度为的带电细圆环。 带电圆环在P点的场强为： 在本题中， 所以可得： 上式中 即： 整个半球面为：，方向沿半径向外9.10 半径为的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，求电场强度分布。解：无限长圆柱体带电所激发的电场具有轴对称性，可用高斯定理。 取高斯面为：半径为，长为的圆柱体，轴线为圆柱带电体的轴线。 当时，高斯定理为： 当时，高斯定理为： 9.11 在半径为和的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷和，求： ，三个区域内的电场强度分布； 若，情况如何。解： 电荷激发的电场为球对称，取高斯面为雨带电球面同球心，半径为的球面，由高斯定理可得： 所以可得到电场强度的表达式为：， ， ， 若， ，9.12 两无限大的平行平面均匀带电，面电荷密度分别为，求各区域的电场强度分布。解：忽略板外表面及边缘处的电荷分布带来的不均匀性，电场只分布在两极板之间，而且场强的方向垂直于极板。 取一圆柱形高斯面，其中一底面在极板，另一底面在两板之间。由高斯定理可得： 当在板外时，正负电荷相互抵消，则 所以在两无限大的平行平面的电场分布为：（板间区域） （板外区域）9.13 两平行平板相距为，均匀带电后，电势差为，求两板之间的电场强度。解：， 因此两板之间的电场强度为： 9.14 在一电荷面密度为的无限大均匀带电平板的电场中，求： 与平板的距离为的一点和平板之间的电势差； 与平板相距分别为，的两点，之间的电势差； 有一质量为，带电电荷的尘粒，从点开始向平板移动，问达到平板上时的速率为多少？解： 电场力所作的功等于动能的增量。 9.15 如图所示，在点电荷和产生的电场中，若将一点电荷，沿箭头所示路径由点移至点，求外力所作的功。解： 电场力所作的功为： 外力应克服电场力作功：9.16 求题9.10中无限长带电直圆柱体的电势分布（以轴线为零电势参考点）解：电场强度分布为：， ， 并由题意可知，电势为零的点为轴线处，即处。 当时，电势为： 当时，电势为：9.17 求题9.11中同心均匀带电球面在，三个区域内的电势分布。解：电场强度的分布为：， ， ，当时， 当时， 当时，9.18 电荷均匀分布在半径为的球体内，求球体内外的电势分布。解：电场强度分布：由高斯定理得到： 电场强度的表达式为： 当时， 当时，9.19 已知某静电场的电势函数为。求空间某点处的电场强度。解： ， 在（2，3，0）处， 所以电场强度：9.20 若有一电场，其电势表达式为，式中和为恒量，求空间任意点的电场强度。解： 第十二章习题12.1 解： 12.2 解： 图中的，所以可以得到： ，方向垂直于纸面向里。12.3 解：两条长直导线电流在其延长线上点的磁感应强度为零。 弧长在点的磁感应强度的大小为： 方向为垂直于纸面向里。12.4 解：导线在点产生的磁感应强度为零，在点产生的磁感应强度为： 12.5 解：铁环不通电流，两条直线电流在点处产生的磁感应强度为零。 因此环中心处的磁感应强度为：。12.6 解：面的法线方向：， ， 12.7 解： 12.9 解：载流导线在磁场中的受力情况为：重力（竖直向下），安培力（竖直向上），绳子对它的拉力（竖直向上）。 当时， 电流，若，则得到 当，即时，导线会向上运动。12.10 解：矩形回路的上下两边所受的安培力大小相等，方向相反，作用在一条直线上，互相抵消。左右两条边所受的安培力分别为：，。 ，（方向向左）（方向向右） 合力为： 代入数据得：，方向向左。12.11 解：12.12 解： 线圈磁矩的大小为： 力矩的最大值为：12.13 解： 在半圆弧段上，取一电流元，其受力方向垂直于纸面向里。所受元力矩为：，方向沿转轴向上，其中： ，为半径与磁场方向的夹角。 ，垂直于纸面向外，沿转轴向上。 力矩所作的功为：12.14 解： 电子的动能： 第十三章习题13.1 解： 根据法拉第电磁感应定律有：13.2 解：线圈匝数为100匝，磁通量与时间的关系为： 磁通链数： 根据法拉第电磁感应定律： 当时，感应电动势为：13.3 解： 导线向右移动，产生从指向的感应电动势， 电流：，电流的方向是：从指向 则导线受到向左的安培力： 若要使导线匀速运动，则应有一水平向右的拉力，大小与安培力的大小相等。 拉力作功的功率为： 感应电流消耗在电阻上的功率为：13.4 解： 从指向，从指向，因此点电势高，点电势低。 13.5 解1：载流长直导线激发磁场大小，方向为垂直纸面向里。线圈的两条长边因切割磁感应线而产生动生电动势，两短边不切割。由给出两长边的动生电动势，分别为： , 方向相同，均由下方指向上方，回路总电动势为： 方向沿顺时针方向。 解2：设线圈回路的绕行方向为顺时针，由于磁感应强度为非均匀分布。因此，必须用积分求得时刻通过回路的磁通量。 载流长直导线激发磁场的大小：，小面积的磁通量为：总磁通量为：感应电动势：当时，13.6 解：长直导线所产生的磁感应强度为：，其中电流： 所以磁感应强度随时间的变化为： 由于电流变化而引起的感生电动势为： 线圈中感生电动势的大小为：13.7 解：半圆导线转动的角速度： 设时，半圆导线处在图中的位置，则时刻通过该回路的磁通量为： 电动势： 感应电流： 代入数据可得：，13.8 解：螺线管内部的磁感应强度为： 设小回路的法线与的方向一致，则通过单匝小回路的磁通量为 螺线管电流的变化率为： 匝小回路中电动势的大小为： 13.9 解：变化的磁场与涡旋电场之间的关系为： 负号表示的方向与的方向成左手螺旋。 的方向为：点向右，点向左，点向下。 所受涡旋电场力的方向，即加速度的方向为：点向左，点向右，点向上。 13.10 解：变化的磁场与涡旋电场之间的关系为： 圆柱体内： 圆柱体外：圆柱体的半径为：，离开中心位置的各点处的涡旋电场：处，圆柱体内：处，圆柱体外：处，圆柱体外：13.11 解：本题可用两种方法计算：用电动势的积分表达式求解；构造闭合回路，通过穿过回路中的磁通量变化率来得到感应电动势的表达式。 连接，考虑三角形回路中的磁通量的变化。 感应电动势的大小为：13.12 解：考虑梯形的面积为： 感应电动势的大小为：13.13 解：连接，那么有磁场通过的面积为： ，由于磁场的变化，而产生的感生电动势的大小为：13.14 解： ，并且涡旋电场： 因此可得： 所以磁通量的变化率为：13.17 解： 设线圈载有电流，在圆心处的磁感应强度为： 通过线圈的磁通链数可表示为： 两线圈的互感为： 当线圈中的电流以的变化率减小时，线圈中感生电动势的大小为 ：