广东省初中数学需要注意的几种解题方法.doc

构造法所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：一某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b 此方程有无数多解，a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15二构建几何图形 对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例2：已知，则x 的取值范围是（ ） A 15 B 1 C 1 5 D 5分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以15，故选A.4三典题示例一构造方程解题例1 若代数式m2 + 3与4m + 1互为相反数，则m-2等于（ ）A. 4 B. - 4 C. D. -解 由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得m2 + 3 + 4m + 1 = 0，即m2 + 4m + 4 = 0，(m + 2)2 = 0，解之得：m = - 2，所以m-2 = (-2)-2 =，故本题应选C。例2 当x =_时，分式无意义；当x =_时，此分式的值为零。解 要使此分式无意义，只需x2 - 7x 8 = 0，解之得x1 = 8，x2 = -1，即当x = 8或x = -1时，该分式无意义。要使该分式的值为零，只须分子x2 1 = 0且分母x2 -7 x 8 0；由x2 1 = 0，得x = 1，但当x = -1时，分母x2 -7x - 8 = 0，分式无意义。故当x = 1时，此分式的值为零。例3 已知x、y是正整数，并且xy + x + y = 23，x2y + xy2 = 120，求x2 + y2的值。解 因、可化为xy + (x + y) = 23，xy(x + y) = 120，则由一元二次方程根与系数的关系知：xy、x + y是方程t2 - 23t + 120 = 0的两个实数根，解之得xy = 8，x + y = 15或xy = 15，x+y = 8。又x、y是正整数，所以只能是xy = 15，x + y = 8。所以x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 64 30 = 34。二构造几何图形解题例4. 如图1，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F。求证：。分析：注意到要证明的不等式的形式，可联想到一元二次方程的判别式。证明：设正方形的边长为a，连AC。因为，所以有。即。从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程的两个实数根。所以该方程的判别式得，即。注：应用构造一元二次方程的方法解决一些几何中的不等式问题，的确让我们有耳目一新的感觉，有益于训练大家思维的发散性、创新性。四 巩固强化1. （2012 常州）已知关于x的方程2x-mx-6=0的一个根2，则m= ，另一个根为 2. （2012 大庆）3.（2012广西）使式子 有意义的x的取值范围是（）Ax-1 B-1x2 Cx2 D-1x24.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为( )A. 2或3 B. -2或3 C. 3 D. 25. 已知实数x、y满足9x2 + 12x + 4+=0，求代数式2xy的值。6.若(= 5 - m是关于x的一元二次方程，则m =_。7.已知(b - c)2 = (a - b)(c - a)且a 0，则=_。 9.（2012佳木斯）如图，点A、B、C、D分别是O上四点，ABD=20，BD是直径，则ACB=7010. 如图2，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若。求证：。面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容：（一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路）1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。4.还可以利用面积解决其它问题。5.（2012宜宾）如图，在四边形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= ，AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A. B. C. D.典题示例（一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：DEF的面积2ABC的面积。 分析：从图形上观察，DEF可分为三部分，其中是ADE，它与ADB同底等 三是AEF，只要再证出它与ABC的面积相等即可 由SCFESCFB 故可得出SAEFSABC 证明：AD/BE/CF ADB和ADE同底等高 SADBSADE 同理可证：SADCSADF SABCSADE+SADF 又SCEFSCBF SABCSAEF SAEF+SADE+SADF2SABC SDEF2SABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC/AB，M为腰BC上的中点 分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h 证明：过M作MN/AB M为腰BC的中点 MN是梯形的中位线 设梯形的高为h （二）用面积法解几何问题1. 用面积法证线段相等 例1. 已知：如图1，AD是ABC的中线，CFAD于F，BEAD交AD的延长线于E。求证：CF=BE。图1证明：连结EC，由BD=DC得，两式两边分别相加，得故所以BE=CF。注：直接由得更简洁。2. 用面积法证两角相等 例2. 如图2，C是线段AB上的一点，ACD、BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。求证：AOC=BOC。图2证明：过点C作CPAE，CQBD，垂足分别为P、Q。因为ACD、BCE都是等边三角形，所以AC=CD，CE=CB，ACD=BCE，所以ACE=DCB所以ACEDCB所以AE=BD，可得CP=CQ所以OC平分AOB即AOC=BOC3. 用面积法证线段不等 例3. 如图3，在ABC中，已知ABAC，A的平分线交BC于D。求证：BDCD。图3证明：过点D分别作DEAB、DFAC，垂足分别为E、F设BC边上的高为h。因为BAD=DAC所以DE=DF因为且ADAC所以即所以BDCD4. 用面积法证线段的和差 例4. 已知：如图4，设等边ABC一边上的高为h，P为等边ABC内的任意一点，PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F。求证：PE+PF+PD=h。图4证明：连结PA、PB、PC因为，又所以。因为ABC是等边三角形所以即PE+PF+PD=h5. 用面积法证比例式或等积式 例5. 如图5，AD是ABC的角的平分线。求证：。图5证明：过D点作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F。因为AD是ABC的角的平分线，所以DE=DF，则有。过A点作AHBC，垂足为H，则有即6. 用面积比求线段的比 例6. 如图6，在ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。求证：。图6证明：连结CM，过B作BGAD交AD延长线于G，则，所以。又，所以，所以。巩固强化1. 在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：SABESADF 2. 在梯形ABCD中，DC/AB，M为腰BC上的中点，求证： 3. RtABC中，ACB90，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证： 4. 已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证： 5. 在ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求ABC和四边形ADGE的面积比。6.（2012青海）如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 -4 （结果保留）7.（2012大庆）将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r1和r2（1）求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；（2）将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值8.如图平行四边形ABCD中，ABD=30，AB=4，AEBD，CFBD，且，E，F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，那么四边形MENF的面积是 9.如图，RtABC中，C=90，A=30，点D、E分别在AB、AC上，且DEAB，若DE将ABC分成面积相等的两部分，则CE：AE=10.如图所示，在ABC中，DEABFG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2若ABC的面积为32，CDE的面积为2，则CFG的面积S等于（）A.6 B.8 C.10 D. 12“极限思维”巧解题一类以圆的知识为背景，以“隐形”动态几何模式呈现，求阴影面积取值范围的问题，要求学生对图形位置关系变化过程有深刻的理解，反映出学生是否具有局部与整体的差异性意识及数学思想和数学思维的深度，这类问题如果能巧用“极限思维”，问题就会迎刃而解例1 如图1，正ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当r AC因此，圆周角EAFBAC60所对圆弧与弦EF所围成的弓形面积随其弓形所在圆的直径的变化而变化利用“极限思维”，当直径最短时其面积最小，当直径最长时其面积最大又因为点D是线段BC上的一个动点（包括点B，C），以AD为直径画O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，所以，如图4，当ADBC于点D时，过点E，D，F三点的弓形的面积最小；如图5，当点D与点B重合时，则点E也与点B重合，此时过点E、D、F三点的弓形的面积最大解 如图4，作ADBC于点D，则ADB90，以AD为直径画O分别交AB，AC于点E，F，连结EF此时过点E、D、F三点的弓形的面积最小ABC45，AB4在等腰直角ADB中，由勾股定理求得O的直径AD4作OGEF于点G，连结OE、OF，则OEOF2，EOF2EAF120OGOE1，EF2EG2.扇形EDF的面积为EOF的面积为则过E、D、F三点的弓形的面积为如图5，当点D与点B重合时，则点E也与点B重合，以AD为直径画O分别交AB，AC于点E，F，连结EF此时过点E、D、F三点的弓形的面积最大 例3 如图6，圆的半径等于2，COB90，点D是弧BC上的一个动点（不与点C，B重合），OECD，OFBD，则以O，E，F为顶点的三角形面积S的取值范围是_分析 利用“极限思维”如图7，当点D与C(或B)重合时，面积最小；如图8，当点D运动到弧BC中点时，面积最大解 (1)当点D与C(或B)重合时，如图7，OCOB2，BC2OFBD，OFEFBC，SOEFEFOF1 (2)当点D运动到弧BC中点时，如图8易证EF是CDB中位线，即EFBC由图7知OF，又有ODOB2等腰三角形OEF的底边EF上的高为 综上所述，得10)的图象经过点(m，y1)、(m1，1)、(m2，y3)，则下列关于y1y3与y2的大小关系正确的是( ) (A)y1y32y2 (B)y1y30）的图象经过点(m，y1)，（m1，y2），(m2，y3)， y1y32y2点评 作差法是从代数角度解决比较大小问题的基本方法，反比例函数的表达式具有分式的特征，所以只要一个变量确定了，另一个变量就可以表示成分式，此题作差法的关键就是分式的加减运算但是三个异分母分式的加减，运算过程繁琐，耗时又多，学生的畏难情绪比较高此题也可以采取作商法，考虑到与作差法类似，这里就不再赘述了巧用放缩法解题放缩法是中学数学的常用解题技巧之一，特别适用于思维难度大，构造性强的题目，能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力，本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况1和三角形有关的放缩法在和三角形有关的问题中，要用到三角形三个角的度数为正，且和为一个定值，再结合放缩法解题例1 已知锐角三角形的三个内角度数为A，B，C，并且满足ABC，用表示AB，BC以及90A中的最小者，则的最大值是_分析 因为，A，B，C是锐角三角形的三个内角度数，所以，AB，BC，90A都大于0，故也大于0，且不超过上面三个式子的值利用这一点对进行放缩解因为A，B，C，是三角形的三个内角度数，所以，ABC180，所以原式，因此，的最大值是15小结 此题求的是“最小者”的最大值，充分体现了放缩法的灵活性，在解题过程中，利用了三角形的内角和为180，以及它们的非负性，从而得到答案2多个变量的放缩法多变量的问题，由于变量较多且相互约束，学生解题时往往顾此失彼，感到难以入手，这类问题有时可以用放缩法解决例2 已知x，y，z为3个非负数，且满足3x2yz5，xyz2，若S2xyz，则S的最大值与最小值的和为( )(A)5 (B)(C)(D)分析 有多个未知数时，不可能对他们同时进行放缩，在这种情况下，一般先归结为1个未知数，再对这1个未知数放缩解 由已知，可得不定方程：小结 此题给了3个未知数，2个方程，本质上是一个不定方程组，可以用一个未知数表示其余2个未知数，从而把多个未知数的放缩归结为1个未知数的放缩3多重放缩法有的问题不是一次放缩就能到位的，往往要经过多次放缩在同一个题目中，这多次放缩的原理往往是类似的例3 求方程的正整数解分析 此题初看好像是一道解不定方程的题，有无数个解，但是，由于x，y，z都是正整数，限定了范围，利用放缩法，结合正整数的离散型，可以得到此题的有限个数的解解 因为x，y，z都是正整数， 同理，对y进行放缩，可得，3y6因为y是正整数，所以，y4或5或6，此时相应的x值不难求出当x3时，同理可求得，y3或4，z值亦可求综上，当1 xyz时，（x，y，z）有4组解：(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)由于x，y，z在原方程中的地位平等，将上面x，y，z的取值可以调换，实际上原方程的解共有15组小结 多元问题的解题途径一般是从整体考虑，化多元为一元分层次对每一元进行放缩，通过多重放缩，将解的范围逐步缩小，最后利用正整数的离散性将解求出由逆运算引发逆向思维例2 化简：（x1）分析 大多数学生习惯于先将化简，再将整个式子化简，能否将根式外的因式（x1）“移”到根号内呢？若能，此时需要注意因式（x1）值的正负性这一想法的依据是公式a(a0)解有意义的条件为，则x10，即x1为负数原式=说明 化简的依据是公式a (a0)，即公式a(a0)的逆用应注意二次根式有意义的条件（被开放式为非负数），还要注意根式内“移”出的数应是非负数，“移”进的数也应是非负数从问题的反面进行思考引发逆向思维例5 若方程2x2(4k1)x2k210，x22(k1）xk220，x2（2k1）x(k2)20中至少有一个方程有实数根，求k的取值范围分析 由于“至少有一个方程有实数根”与“三个方程均无实数根”是对立排斥的，所以可以先从这个问题的反面，即三个方程均无实根的角度来考虑，即从1、2、3三者均小于0中解出k的取值范围，再从实数中排除这个k的取值范围解 18k90，28k120，320k150，得k因此，当k时，三个方程中至少有一个方程有实数根从“配角”变“主角”引发逆向思维例6 在关于x的方程ax22（2a1）x4a70中，a为正整数，当a为何值时，方程至少有一个整数根？分析 因为题眼是“关于x”，所以大多数学生习惯于用求根公式将x用a的式子表示，接下来通过x为整数去求正整数a的值，这样的计算比较繁琐此时，不妨尝试一下将系数a用未知数x的式子表达，这样能二次方程降为一次方程解ax22（2a1）x4a70当a5，a1时，原方程至少有一个整数根说明 将“主角”和“配角”变换一下角色，起到了另辟蹊径的效果；同时变形的中用了“裂项”法，它本身就是一种逆向思维，变形的目的是为“整除”服务的