竞渡长江策略(国家二等奖)

抢渡长江模型摘要 对于抢渡长江模型的建立问题，实际上就是一个怎样选择最佳路径的问题。对于此问题，本文从所给的实际问题，加上我们根据问题做出的合理假设，以及各个选手成功的特有条件。根据微分学以及一些物理知识，最优化条件，针对各个问题而建立的模型很好的解决了个问题。通过Mathemtica程序对模型分别进行了求解，得出了游泳者的最佳游泳速度大小与方向。在水流1.89m/s时，根据问题1的模型而解方程组算出了成绩为14分8秒的选手的游泳速度的大小为1.54155m/s,角度为117.4559。在人的速度为恒速1.5s时，其时间为910.465秒，角度为121.8。对于第二问，游泳者的游泳方向为垂直岸边，在这种特殊条件下，我们根据所建立问题2的模型解方程得出了要到达的临界条件为游泳者速度2.1924m/s。根据此模型通过对距离和度的比较，很好的解释了1934年与2002年到达终点比率的差别问题，也计算出了能够成功到达终点的条件。第三问根据拉格朗日最值定理求驻点，并利用Mathemtica画出了游泳者大致的游泳途径图形而得到最优路线为折线，并估计其成绩为904.021秒。问题四，充分利用变分法结合拉格朗日乘子法及泛函知识解决极值、以及化条件极值为无条件极值问题，引用了哈密尔顿函数，利用Mathematica假定当游泳者的速度为1.5米/秒时计算出了时间T=892.478秒，并绘制出了游泳者最佳路线图。最后在模型推广中，对游泳者到达终点的条件进行了改进，提高了成功到达者的比率。我们认为，本文所建立模型很好的解决了抢渡长江的问题。 本文的最大特色在于通过建立了一模型，提高了成功者到达的比率，找到了到达终点的选手的条件。还充分利用了变份法，找到了一种能解决普遍问题的方法，推广了其运用。一问题的提出 1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。1160m1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀起点: 武昌汉阳门我们需要解决的问题就是要通过数学建模来分析上述情况, 来解决以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5. 给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6. 所建立的模型还可能有什么其他的应用？ 二问题假设1在竞渡区域两岸为平行直线。 2除水流之外，不受其它因素的影响。 3竞渡过程中游泳者全程的速度大小恒定。 4将游泳者看着一个质点。 5设竞渡区内无阻碍游者前进的阻碍物。 6水流速度的方向一定。三符号说明 - 人游泳的速度在平行水流方向的分速度 - 人游泳的速度在垂直水流方向的分速度 - 人游泳的速度和水流的合速度 - 水流速度 t - 时间 - 游泳者的游泳方向与平行水流方向的夹角 - - 游泳者游泳速度 - 合速度与平行水流方向的夹角 - OA连线与平行水流方向的夹角T - 起点到终点所用的总时间 S - - 游泳者在时间t内的总路程四问题分析 首先，以武昌汉阳门码头为原点O，河正岸为x轴，河下游方向为x轴正向，垂直x轴方向为y轴，指向河对岸方向为y轴正向。终点汉阳南岸咀为点A，其坐标为（1000，1160）。如图1： 图1 建立坐标系1 对问题1中都在假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变且竞渡区域每点的流速的大小和方向都恒定的条件之下。 那么，可以根据物理学知识可以得出：游泳者的速度和水流速度的合速度大小和方向为一定值，即是说游泳者的运动路线是一直线，由此可以确定出2002年第一名的游泳路线。 在计算过程中，我们把游泳者的速度和水流速度分别分解到x轴、y轴上分速度分别为、。分解如图2： 图2 游泳者速度的分解由图2及相关物理知识可得：= 得出合速度、水流速度从而可以求得游泳者的游泳速度及其方向。知其速度与选择方向后也可以得出游泳者成绩。有了水流速度和游泳者的速度的大小和方向三者之间的函数关系式，就是知其二可求其一。解决问题。2对于问题2所求问题就是要求出能够到达终点的条件，我们规定游泳者先到达对岸的终点A的上游的某一点，再从该点沿岸游到A点。这就需要其运动轨迹在OA连线的上游，也就合速度与x轴的夹角要大于等于。游泳者的速度和水流速度的合成 如图3： 图3 分速度的合成根据正弦定理可得：3对于问题3我们在解题时，以时间最短为最优，因水流速度是分段常数函数，故我们把渡长江根据水流速度的变化划分为三段，求其每段所用时间之和的最小值，就可得出全程最短时间。4对于问题4设游泳者的游泳方向与x轴的夹角是时间t的连续变化函数。因假设3游泳者的速度恒定，而水流速度是一连续变化的，要使其能够顺利到达终点A，那么游泳者在游泳过程中就需要以改变方向来改变合速度，即改变游泳方向与x轴的夹角，而使其按照理想的路线前进，准确到达终点。设时间是角度的连续函数，我们的目的是求出所用时间最短。不妨把时间转化为x 轴和y 轴上的关系式，用拉格朗日乘子法化条件极值问题，引入乘子函数构造泛函，写出哈密尔顿函数，将所求问题转化为定积分问题，那么问题就只要求出之间的表达式即可，我们可以利用极值条件、微分知识和Mathematic程序编写出相关的程序，计算出所用最短时间，从而可以得出游泳者的最佳路线途径和角度的变化图。但由于本问题中无法求出具体的值，因而我们采用了数值解法，并利用泛函，得出了近似值。 五模型建立 由上面的分析可知，问题1，2中游泳者的速度的方向是一定的，而在问题3，4中游泳者的速度的方向是要变化的，而问题3的流速是常数分段函数，每个问题所给出的条件是不一样的，因此，需要给每个问题分别建立模型：1对问题1是求游泳者的速度的大小和方向。其模型为： 2对问题2的模型：3，对问题3进行分段求其时间，再求其和，时间最短，成绩最优，其最优模型为：Mins.t 4对问题4的模型：由于水流速度是连续变化的函数，故在x轴上，y轴上的分速度是连续变化的，合速度也是连续变化的，并由物理知识，由此可以根据分析连续函数所满足的微分条件得出x，y及路程s对时间t的微分方程如下：-由(1)/(2)得出y对x的导数：用微分知识可以得到路程s对x的微分：再由(3)、(4)可以得到：由此得出上用的总时间T的函数关系式：于是，得出模型：s.t 六模型求解 1问题1 求解：首先求出以知角，由题可知：，解得： 根据问题1 的模型和已知条件可以得出微分方程组得出：解方程组得：显然，第（6）组解应该舍去，取第（5）组解。由此得出游泳者的速度为1.54155m/s，方向为游泳者与水平方向成117.4559。行走路线如图4： 图4 游泳者的行走路线在问题1中第二问中需要给游泳者选择游泳路线，游泳者速度保持为1.5m/s，而方向也保持不变，是沿着直线方向前进的，问题转化为求时间t和夹角，将已知条件带入模型可得出方程组：解得： 显然，游泳者要选择时间短的，故第二组解舍去解得此模型的解游泳者的最佳成绩为910.46秒。而方向为游泳者的游泳方向与水平方向成121.8。2问题2求解：由于水流速度一定，方向水平，而游泳者运动的方向是与岸边垂直的，则只要游泳者速度一定那合速度的方向大小也就一定了，由于要考虑的是选手在垂直方向时能否到达终点。要使其到达终点只要选手到达那终点的上游则一定可以到达终点，所以我们就只需要先考虑临界情况时选手的临界速度，临界条件就是当合速度的方向为起始点指向终点，因此解模型方程：其中 求得： 根据实际情况，人在水中的运动能力是有一定的限度的速度一般情况下是不能达到2.1924m/s的，所以对于此游泳者关于垂直的条件下在一般情况下是不能达到终点的。 关于1934年和2002年选手到达终点百分比的差别，我们根据我们建立的方程将方程变形为以为目标的表达式因为V(y)为已知， 化简得：则 就只与有关由于1934年全程为5000米，河宽1160米，则解得解得的1934年情况下的临界速度为0.447522m/s比较小，而2002年时的临界速度为2.1924m/s。前者远小于后者，因此在1934年时选手的选择余地较大，其范围 对于选手游泳是否能够到达目的地主要影响因素有速度与运动方向，其运动的选择范围我们已明确指出，方向，因得到所以关于角度的选择余地也较2002年的大所以百分比才有这样大的差距。对于要游泳者能够到达终点的条件，前面已经将选手的临界条件已经求出拒前面分析只要选手的速度大于或等于临界值就可以即2002年选手的选择范围为 3问题3求解： 由于水流速度是一常数分段函数，因此，我们将渡江方案分成三段再逐段完成，在每一段中水流速度为一常数，就满足问题1模型，即是说在一段内是游泳者的速度大小和方向不变，运动轨迹是一直线。又所列出的模型是求时间最短，即为多元函数的最值问题，再根据拉格朗日定理可以得出与渡江时间t的函数关系式： 计算时间t的最小值的算法：STEP1：对函数的每一个变量求偏导数；STEP2：求出函数的驻点;STEP3：将带入计算出最短时间t。经编程计算得到每一段游泳速度与x轴正向的夹角分别为: 得出成绩为:t=904.021s 由于在每段是直线运动的,故整个路线是折线，知起点O(0,0)和终点A(1000,1160),我们就只需求出中间的两个转折点B（,）和C（,），就可以得出游泳的最佳路线，易知两个转折点的纵坐标、分别为200米、960米。就只需求出相应的横坐标、，再根据以上的结果用可得出 ： =96.8345米 =903.1675米即得出坐标： B（96.8345,200）C（903.1675,960） 游泳者的最佳路线图如图5： 图5 游泳者的最优路线 4问题4求解： 用变分法解决此问题的步骤如下：a 用拉格朗日乘子法化条件极值问题，引入乘子函数构造泛函b 写出哈密尔顿函数H；c 函数H对y，求偏导数，得出极值条件的微分方程组d 解微分方程组得到y，对x的函数图象e 根据d的结论得出最短时间根据模型得出泛函：得出哈密尔顿函数：根据泛函极值的必要条件欧拉方程，得出极值条件的微分方程组：最优运动轨迹由方程组在的端点条件下解出。我们求此模型的数值解：我们不妨设水流速度的函数关系式为：且假设3中竞渡过程中游泳者全程的速度大小恒定，设为 m/s可以根据这些数据用Mathematic编程3计算出近似解。开始时游泳方向为：最后程序计算得的时间为：T=649.878 秒游泳路线如图6： 图6 游泳最佳路线图七模型的评价对于我们所建立的抢渡长江模型，能够很好的为选手提供建议，对于在假定的水流速度一定时根据我们所建立的模型很快就能得出最优的游泳方向与速度；若在选手能估计自己的速度与预测水情的情况下运用我们的模型也能很好的为选手选择较优的游泳方向。对于在1934年与2002年选手的成功比率的差别，运用此模型也能很好的做出解释，消除疑问。 当然水流速度在实际情况下，肯定不是一定值，也就是我们在第一，二问的基础上再考虑的第三问的模型问题，第三问是前两问的模型推广，此模型对于第三问所提出的问题进行了很好的解决，并通过近似计算得出最佳的游泳路线，且能估计出其成绩：第四问，将水流看成是一个连续函数，即是在第三问的基础将速度段进一步细分，我们利用微分思维给出了一个最优化模型，若能根据水情确定水流方程，我们就能给游泳者一个最佳的游泳路线 。但我们所建立的模型也有一些不足之处，例如在计算时做了一些近似处理，而且在前面的问题中是在特殊条件下进行的，所以不具一般性。 八短文1934年9月9日在武汉举办的首届横渡长江游泳竞赛活动，取得了圆满成功，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银牌。2002年，被正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5 月1日进行，由于水情、水性的不可预测性，此竞赛富有挑战性和观赏性。因此每一年都吸引了无数的游泳爱好者来参与，这一竞赛更有吸引力了。虽然不可能每一个人都能取得好成绩，但每一个选手都想在比赛中好好表现一番，都想做破釜沉舟的英雄，由于流速的不稳定性，温度的变化，选手们都会遇到许多不可遇料的问题，甚至不可以到达终点，如果想在比赛中取得优异的成绩，我们必须能够控制自己的游泳速度及方向，即能够对自己的速度进行合理估计和选择好游泳方向。为了帮助选手解决这些问题，我们根据实际情况与游泳者的实际能力估算出大致的路线途径，解决了游泳者由于主观因素而导致的路线错误问题，帮助选手提高达到目的地的成功率。选手们都希望尽快到达目的地，选择了与水流方向大致一致的方向而使这些选手不能准确的到达终点，选手们应该仔细考虑水速对人游泳时的影响，当水速大于游泳速度时很可能会将选手冲到终点的下游，所以我们建议选手们根据自己的实际情况在开始时适当选择稍朝上游的方向游，这样才能到达终点。以上的建议是根据一些调查与一些实际计算得出的，具有一定的可靠性。 九模型的推广应用此模型主要解决的问题实际就是一个最优化的问题，在人们的生产与生活中，都追求一种最优化的过程，使资源得到最大利用，而事实上，现实中一问题受到的限制条件很多，因此，我们在进行理论计算和分析时，要对其条件进行适当的取舍，得出较为合理的答案。在实际中我们经常遇到与此问题类似的一些问题，模型不止是对游泳比赛适用，对一些货运轮船经常会遇到像水流、空气阻力对飞机飞行的影响等，当在刮风时，对轮船、飞机用模型可以求出最佳路线。 在此模型中，我们设其游泳者的速度的大小不变。可以加以推广，也就是速度的大小和方向都可以改变，也就可能得出更优的方案。 利用此模型解决问题时，只要执动者的速度恒定，在大致了解外界变化因素的情况下，参照我们所建立的模型就可以得出大致的最优结论。十参考文献1 徐行可、张晓、张庆福，物理学概论，成都：西南交通大学出版社，1995。 2 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993。3 洪维恩，数学运算大师Mathematica 4，北京：人民邮电出版社，2002。十一附录附录 Mathematic源程序1问题1程序：2问题3程序：3问题4的程序：16