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一个几何模型在中考题中的变式拓展 卜以楼1 一个几何模型及其变式11 基本模型已知，点M、N在直线AB的异侧，在AB找一点P，使P点到点M、N的距离和最小.对于这样一个问题，我们只要连接M、N交直线AB于点P（图1），则点P就是要所求作的点该问题的本质是，已知两个定点和一条定直线，并且两定点在定直线的异侧，那么，在定直线上必存在一点，到两定点的距离和最小.我们把该问题称为本文要讨论的“基本模型”.12 变式模型已知，点M、N在直线AB的同侧，在AB找一点P，使P点到点M、N的距离和最小.对于这样一个问题，我们只要将M、N在AB的同侧转化成在AB的异侧即可.因此，可找出M、N中的某一点关于直线AB的对称点，连接对称点与另一点交直线AB于点P（图2），则点P就是要所求作的点.该问题的本质是，已知两个定点和一条定直线，并且两定点在定直线的同侧，那么，在定直线上必存在一点，到两定点的距离和最小.我们把该问题称为本文要讨论的“变式模型”. 解决“基本模型”和“变式模型”的思想方法，就是将线段PM，PN首尾相连在同一条直线上，根据“两点间线段最短”可得到问题的答案.2 基本模型的拓展* 原载于中学数学（初中）（湖北大学，湖北省数学会），2010年第6期。例1 （09年佛山市中考题）如图3，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；图3（3）求点到最短路径的距离CAEA1B1C1D1B图4分析本题将“基本模型”拓展到空间图形中了，因此，只要将空间图形化为平面图形即可（1）如图4，木柜的可见表面展开图是两个矩形和蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是，最短路径的长是（3）作于，则为所求点评 本题的的背景有趣，模型简单但是，解决问题要建立在有一定空间想像力基础上，并且还要有根据空间图形画出平面图形的能力，辅之于必要的算法算理，方能达到目的.3变式模型的拓展与延伸31变式模型的迁移例2 （09年抚顺中考题）如图5所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D分析：由于点、是定点，是定直线，根据题意，它是“拓展模型”.而点关于直线的对称点为点，故的长度即为的最小值. 解 选A点评 本题将“变式模型”的背景，迁移到特殊的四边形正方形中，虽然问题的背景有了变化，但是问题的条件和本质没有发生变化，所以解决该问题没有较大的难度.而解决该问题需要在寻找哪个点的对称点上作选择，由于D关于AC的对称点易得（为点B），故在此问题上要积累一些学习经验.图6ADEPBC图5 例3 （05年无锡中考题） 如图6，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F.（1）求证：APEADQ；（2）设AP的长为x，试求PEF的面积SPEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，SPEF取得最大值？最大值为多少？（3）当Q在何处时，ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）分析（1）可用相似三角形的判定知识解决；（2）可用二次函数的相关知识获得问题的解.它们都不在本文的探讨之列.（3）要确定ADQ周长最小，就是要确定AQDQ AD的和最小.由于AD=3，则要AQDQ最小即可.因此，可用“变式模型”可解决.则作A关于直线BC对称点A，连DA交BC于Q，则这个点Q就是使ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.点评本题将“变式模型”的背景，迁移到特殊的四边形矩形中，问题的结构有了些变化，那就是要知道ADQ的周长最小，取决于AQDQ的最小值.但是问题的条件和本质也没有发生变化，所以解决该问题对于绝大部分学生也没有多大的难度.需要指出的是，解决该问题有一个将三角形的最小周长转化为确定两线段的和最小值的“模式识别”的问题，这一点也要内化为学习经验.例4 （08年咸宁市中考题）如图，已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标分析显然，该问题是本文中的“变式模型” 迁移到直角坐标中我们可用对称、一次函数等相关知识获得问题的解.32 变式模型的拓展例5 （09年山东济南中考题） 已知：如图8，抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标；（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由图图OACxyBEPD 分析显然，本题的第2问是本文所要讨论的问题对于（2），连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为解得 此直线的表达式为把代入得 点的坐标为.点评命题者将“变式模型”的视角拓展至二次函数，将问题的背景作了调整，给人以新的感觉.本题既有例2在对称点选择的技巧，又有例3在“变式模型”上的识别，可算是一道“好题”.图9例6 （09漳州中考题）如图9，是内一点，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值分析图10本题从形式上看，既不是“基本模型”，也不是“变式模型”.但是，我们可以运用解决“基本模型”和“变式模型”的思想方法，把线段PR、RQ、QP首尾相连在同一条直线上，可得到问题的答案.具体方法 作点P关于OB和OA的对称点S、T，连接OS、OT、ST，ST分别交OB、OA于点R、Q（如图10所示），则PQR周长的最小值就是线段ST的长，由轴对称的性质结合题意可知，SOT为等腰直角三角形，且OT=10，则ST的长可求.点评解决本题目的方法是运用“变式模型”，通过轴对称变换，将三条线段首尾相连在一条直线上，再根据“两点间线段最短”这一性质，达到解题的目的.33 变式模型的应用例7 （09恩施州中考题）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图11是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P)，P到A、B的距离之和S1=PA+PB； 图12是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P)，P到A、B的距离之和S2=PA+PB . (1) 求S1 、S2 ，并比较它们的大小.(2) 请你说明S2=PA+PB的值为最小.(3) 拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图13所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.图12图13图11 分析本题给出了两种设计方案，只要按照方案去求解即可.第（3）问中，由于AB的长度为50 km，故只要求出BQQPPA的最小值即可，解决它，可从例3、例5、例6中得到启发.因此有：图14解 在图11中，过B作BCAP的延长线，垂足为C，如图14 则PC=40，又AP=10，AC=30.在RtABC 中，AB=50 AC=30 BC=40 BP= S1= . 在图12中，过B作BCAA垂足为C，如图15 则AC=50，又BC=40BA=.图16图15由轴对称知：PA=PA S2=BA= . . (2) 在图12中，在公路上任找一点M，连接MA，MB、MA，如图16.由轴对称知MA=MAMB+MA=MB+MAAB S2=BA为最小. （3） 过A作关于X轴的对称点A, 过B作关于Y轴的对称点B，连接AB，交X轴于点P，交Y轴于点Q,则P，Q即为所求（如图17）. 图17过A、B分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, AB=.所求四边形的周长为. 点评 对实际问题的求解，关键是将实际问题数学化.数学化的一般过程为：.34 变式模型与其它模型的关联例8 （09 山西省中考题）如图18， 在锐角ABC中，AB， BAC45，BAC的角平线交BC于点D，M、N分别是AD和BC上的动点，则BMMN的最小值是_.图18图19分析本题形似本文中的“变式模型”，但实为另类问题。因为点M、N是动点，点B是定点，它不符合“变式模型”的基本条件。本题提供的条件有：定点B；定角BAC45（可以理解成定线段AC）；则可联想到“点到线的最小距离”的几何模型.不过，我们可以从本文中的几何模型中得到启发：求BMMN的最小值，从几何学的角度，就是要将线段BM、MN转化到一条线段上，而角平分线的性质定理为之提供了保证.因此，我们可以从B作BEAC，垂为E，交AD于M，再作于（如图19），则BE的长即为所求.点评模型识别是解数学题的关键之一，因此，在研究任何一个数学命题时，首先要把握准数学问题的本质所在，在数学模型上做准做好文章.综上所述，求“线段和最小”的问题，归根结底就是要将这些线段转化到一条线段上，这是解决该类问题的本质方法.在解题时要注意的是要认清问题的本质，明晰问题的基本模型，不要犯主观性错误. 7