三角函数与解三角形专题测试及解答

三角函数、解三角形专题测试(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1cos()sin()的值是 ()A.B C0 D.解析：原式cos(4)sin(4)cos()sin() cossin.答案：A2已知sin，cos，且为第二象限角，则m的允许值为()A.m6 B6m Cm4 Dm4或m解析：由sin2cos21得，()2()21，m4或，又sin0，cos0，把m的值代入检验得，m4.答案：C3已知sin(x)，则sin2x的值等于 ()A B. C D.解析：sin(x)(sinxcosx)，所以sinxcosx，所以(sinxcosx)21sin2x，故sin2x.答案：A4设asin15cos15，bsin17cos17，则下列各式中正确的是 ()Aab BabCba Dba解析：asin(1545)sin60，bsin(1745)sin62，ba.sin260sin2622sin60sin62sin62，ba.答案：B5(2010惠州模拟)将函数ysinx的图象向左平移(02)个单位后，得到函数ysin(x)的图象，则等于 ()A. B. C. D.解析：依题意得ysin(x)sin(x2)sin(x)，将ysinx的图象向左平移个单位后得到ysin(x)的图象，即ysin(x)的图象答案：B6在ABC中，角A，B均为锐角，且cosAsinB，则ABC的形状是 ()A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形解析：cosAsin(A)sinB，A，B都是锐角，则AB，AB，C.答案：C7给定性质：最小正周期为；图象关于直线x对称则下列四个函数中，同时具有性质的是 ()Aysin() Bysin(2x)Cysin|x| Dysin(2x)解析：T，2.对于选项D，又2，所以x为对称轴答案：D8ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A. B. C. D9解析：由余弦定理得：三角形第三边长为 3，且第三边所对角的正弦值为 ，所以2RR.答案：C9在ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“ab”是“acosAbcosB”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：abABacosAbcosB，条件是充分的；acosAbcosBsinAcosAsinBcosBsin2Asin2B2A2B或2A2B，即AB或AB，故条件是不必要的答案：A10已知函数f(x)asin2xcos2x(aR)图象的一条对称轴方程为x，则a的值为()A. B. C. D2解析：函数ysinx的对称轴方程为xk，kZ，f(x)sin(2x)，其中tan，故函数f(x) 的对称轴方程为2xk，kZ，而x是其一条对称轴方程，所以2k，kZ，解得k，kZ，故tantan(k )，所以a.答案：C11已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为 ()Af(x)2cos()Bf(x)cos(4x)Cf(x)2sin()Df(x)2sin(4x)解析：设函数f(x)Asin(x)，由函数的最大值为2知A2，又由函数图象知该函数的周期T4()4，所以，将点(0,1)代入得，所以f(x)2sin(x)2cos(x)答案：A12(2010抚顺模拟)当0x时，函数f(x)的最小值为 ()A2 B2 C4 D4 解析：f(x)2 4，当且仅当，即tanx时，取“”，0x，存在x使tanx，这时f(x)min4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上)13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B60，C75，a4，则b_.解析：易知A45，由正弦定理得，解得b2.答案：214计算：_.解析：.答案：15在ABC中，已知tanA3tanB，则tan(AB)的最大值为_，此时角A的 大小为_解析：由于tan(AB).当且仅当1tanB时取“”号，则tanBtanAA60.答案：6016如图是函数f(x)Asin(x)(A0，0，)，xR的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为_函数f(x)的最小正周期为；函数f(x)的振幅为2；函数f(x)的一条对称轴方程为x；函数f(x)的单调递增区间为，；函数的解析式为f(x)sin(2x)解析：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为()2，故不正确；函数f(x)的振幅为，故不正确；函数f(x)的一条对称轴方程为x，故正确；不全面，函数f(x)的单调递增区间应为2k，2k，kZ；由sin(2)得22k，kZ，即2k，kZ，故k取0，从而，故f(x)sin(2x)答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知tan()3，(0，)(1)求tan的值；(2)求sin(2)的值解：(1)由tan()3可得3.解得tan2.(2)由tan2，(0，)，可得sin，cos.因此sin22sincos，cos212sin2，sin(2)sin2coscos2sin.18(本小题满分12分)已知函数f(x)2sinxcosx(2cos2x1)(1)将函数f(x)化为Asin(x)(0，|)的形式，填写下表，并画出函数f(x)在区间，上的图象；xx02f(x)(2)求函数f(x)的单调减区间解：(1)f(x)2sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2x2sin(2x).xx02f(x)02020图(2)由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，故函数f(x)的单调减区间为k，k(kZ)19(本小题满分12分)已知函数f(x)2sinxcos(x)sin(x)cosxsin(x)cosx.(1)求函数yf(x)的最小正周期和最值；(2)指出yf(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称解：(1)f(x)2sin2xsinxcosxcos2x1sin2xsinxcosx1sin2xsin(2x)，yf(x)最小正周期T.yf(x)的最大值为1，最小值为1.(2)ysin(2x)的图象ysin2x的图象20(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos.(1)求cosB的值；(2)若2，b2，求a和c的值解：(1)cos，sinsin()，cosB12sin2.(2)由2可得accosB2，又cosB，故ac6，由b2a2c22accosB可得a2c212，(ac)20，故ac，ac.21(本小题满分12分)如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向做匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东(tan)的方向作匀速直线航行，速度为10海里/小时(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)则，由tan可得，cos，sin，故(1)令t3，P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ|5.即出发后3小时两船相距5海里(2)由(1)的解法过程易知：|PQ|20，当且仅当t4时，|PQ|取得最小值20.即两船出发后4小时时，相距20海里为两船的最近距离22(本小题满分14分)已知函数f(x)2cosxsin(x).(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)若ABC的三边a，b，c满足b2ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f(B)的最大值解：(1)f(x)2cosxsin(x)2cosx(sinxcoscosxsin)2cosx(sinxcosx)sinxcosxcos2xsin2x sin2xcos2xsin(2x)T.(2)由余弦定理cosB得，cosB，cosB1，而0B，0B.函数f(B)sin(2B)，2B，当2B，即B时，f(B)max1.