2017年江苏数学高考考试说明

2015年江苏省高考说明数学科一、命题指导思想2017年普通高等学校招生全国统一考试数学科（江苏卷）的命题，将依据普通高中数学课程标准（实验），参照普通高等学校招生全国统一考试大纲，结合江苏省普通高考课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查考生进入高等学校继续学习所需要的基本能力试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度1突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大比例注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查2重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究，发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题3注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决创新意识的考查要求是:能够发现问题、提出问题，综合与灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4-1几何证明选讲、4-2矩阵与变换、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题具体考查要求如下：1必做题部分内 容要 求ABC1集合集合及其表示子集交集、并集、补集2函数概念与基本初等函数函数的概念函数的基本性质指数与对数指数函数的图象与性质对数函数的图象与性质幂函数函数与方程函数模型及其应用3基本初等函数（三角函数）、三角恒等变换三角函数的概念同角三角函数的基本关系式正弦函数、余弦函数的诱导公式正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数的图象与性质两角和（差）的正弦、余弦及正切二倍角的正弦、余弦及正切4解三角形正弦定理、余弦定理及其应用5平面向量平面向量的概念平面向量的加法、减法及数乘运算平面向量的坐标表示平面向量的数量积平面向量的平行与垂直平面向量的应用6数列数列的概念等差数列等比数列7不等式基本不等式一元二次不等式线性规划8复数复数的概念复数的四则运算复数的几何意义9导数及其应用导数的概念导数的几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用10算法初步算法的含义流程图基本算法语句11常用逻辑用语命题的四种形式充分条件、必要条件、充分必要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词12推理与证明合情推理与演绎推理分析法与综合法反证法13概率、统计抽样方法总体分布的估计总体特征数的估计随机事件与概率古典概型几何概型互斥事件及其发生的概率14空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体柱、锥、台、球的表面积和体积15点、线、面之间的位置关系平面及其基本性质直线与平面平行、垂直的判定及性质两平面平行、垂直的判定及性质16平面解析几何初步直线的斜率和倾斜角直线方程直线的平行关系与垂直关系两条直线的交点两点间的距离、点到直线的距离圆的标准方程与一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系17圆锥曲线与方程中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质2附加题部分内 容要 求ABC选修系列：不含选修系列中的内容1圆锥曲线与方程曲线与方程顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质2空间向量与立体几何空间向量的概念空间向量共线、共面的充分必要条件空间向量的加法、减法及数乘运算空间向量的坐标表示空间向量的数量积空间向量的共线与垂直直线的方向向量与平面的法向量空间向量的应用3导数及其应用简单的复合函数的导数4推理与证明数学归纳法的原理数学归纳法的简单应用5计数原理加法原理与乘法原理排列与组合二项式定理6概率、统计离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率及相互独立事件次独立重复试验的模型及二项分布离散型随机变量的均值与方差 选修系列中个专题 7几何证明选讲相似三角形的判定与性质定理射影定理圆的切线的判定与性质定理圆周角定理，弦切角定理相交弦定理、割线定理、切割线定理圆内接四边形的判定与性质定理8矩阵与变换矩阵的概念二阶矩阵与平面向量常见的平面变换矩阵的复合与矩阵的乘法二阶逆矩阵二阶矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的简单应用9坐标系与参数方程坐标系的有关概念简单图形的极坐标方程极坐标方程与直角坐标方程的互化参数方程直线、圆及椭圆的参数方程参数方程与普通方程的互化参数方程的简单应用10不等式选讲不等式的基本性质含有绝对值的不等式的求解不等式的证明（比较法、综合法、分析法）算术-几何平均不等式与柯西不等式利用不等式求最大（小）值运用数学归纳法证明不等式三、考试形式及试卷结构（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；选考物理科目的考生要做附加题，满分为40分，考试时间30分钟（二）考试题型1必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分2附加题 附加题部分由解答题组成，共6题其中，必做题2小题，考查选修系列2中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生从中选2个题作答填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等难度题和难题组成容易题、中等难度题和难题在试卷中所占分值的比例约为4：4：2附加题部分由容易题、中等难度题和难题组成容易题、中等难度题和难题在试卷中所占分值的比例约为5：4：1四、典型题示例A必做题部分（一）填空题1设复数满足（i是虚数单位），则的虚部为_【解析】本题主要考查复数的基本概念和运算，基本运算本题属容易题【答案】2设集合，则实数的值为 结束kk +1开始k1k25k+40N输出k Y【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识本题属容易题【答案】13右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，本题属容易题【答案】54函数的定义域为 【解析】本题主要考查对数函数的定义域等基础知识本题属容易题【答案】5某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的根中，有_ _根棉花纤维的长度小于【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计本题属容易题【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于的频率为，故频数为6将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数和小于10的概率是_【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识本题属容易题【答案】7已知函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是_【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力本题属容易题【答案】8在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是_DABC【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力本题属容易题【答案】49如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力和运算能力本题属容易题【答案】610设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 【解析】本题主要考查导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力本题属中等难度题【答案】11设是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，其中，则值是 【解析】本题主要考查函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力本题属中等难度题【答案】12在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则K的最大值是_【解析】本题主要考察圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力本题属中等难度题【答案】（第13题）13如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，则的值是_【解析】本题主要考察平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量数量积等基础知识，考查数形结合和造价转化思想，考查运算求解能力本题属难题【答案】14已知正数满足：则的取值范围是 【解析】本题主要考查不等式、函数的导数等基础知识，考查代数式的变形和转化能力，考查灵活运用有关知识解决问题的能力本题属难题【答案】二、解答题15在中，角已知（1）求值；（2）求的值【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力本题属容易题【参考答案】（1）在中，因为，故由正弦定理得，于是所以（2）由（1）知所以又因为，所以从而在，所以因此由正弦定理得第16题16如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在侧棱上，且，求证：（1）直线平面；（2）平面平面【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力本题属容易题【参考答案】（1）在直三棱柱中，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE/AC，于是DE/又因为平面，平面，所以直线平面（2）在直三棱柱中，因为平面，所以又因为，平面，平面，=，所以平面因为平面，所以又因为，平面，平面，=，所以平面因为直线平面，所以平面平面17 如图，在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线交椭圆 于两点，其中点在第一象限过作轴的垂线，垂足为，连结，并延长交椭圆于点设直线的斜率为（1）当时，求点到直线的距离；（2）对任意，求证：【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力本题属中等难度题【参考答案】（1）直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此，于是，直线的斜率为，故直线的方程为因此，点到直线的距离为（2）解法一：将直线的方程代人，解得，记，则，于是，从而直线的斜率为，其方程为代入椭圆方程得，解得或因此，于是直线的斜率，因此，所以解法二：设，则且设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而因此所以18 如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80m，经测量，点位于点正北方向60m处，点位于点正东方向170m处，（为河岸），（1）求新桥的长；（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】本小题主要考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力和运算求解能力，考查学生的数学应用意识本题是中等难度题【参考答案】解法一：(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率k BC=tanBCO=又因为ABBC，所以直线AB的斜率k AB=设点B的坐标为(a，b)，则k BC=，k AB=解得a=80，b=120 所以BC=因此新桥BC的长是150 m(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m，(0d60)由条件知，直线BC的方程为，即由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得故当d=10时，最大，即圆面积最大所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大解法二:（1）如图，延长OA， CB交于点F因为tanFCO=所以sinFCO=，cosFCO=因为OA=60，OC=170，所以OF=OC tanFCO=，CF=，从而因为OAOC，所以cosAFB=sinFCO=又因为ABBC，所以BF=AF cosAFB=，从而BC=CFBF=150因此新桥BC的长是150 m（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0d60)因为OAOC，所以sinAFB =cosFCO，故由(1)知，sinCFO =，所以因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得故当d=10时，最大，即圆面积最大所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大19 设函数，其中a为实数（1）若在（1，）上是单调减函数，且在（1，）上有最小值，求a的取值范围；（2）若在（1，）上是单调增函数，试求零点的个数，并证明你的结论【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力本题属于难题【参考答案】(1)令，考虑到的定义域为(0， )，故a0，进而解得x，即在(， )上是单调减函数同理，在(0， )上是单调增函数由于在(1，)上是单调增函数，故(1，+)(， )，从而1，即a1 令，得当时，；当时，又在（1，）上有最小值，所以lna1，即ae综上，a的取值范围是（e，）(2)当时，必为单调增函数；当a0时，令，解得，即，因为在（1，）上是单调增函数，类似(1)有，即结合上述两种情况，有(i)当时，由及，得存在唯一零点；(ii)当时，由于，且函数在上的图象不间断，所以函数在（）上存在零点另外，当时，故在（0，）上是单调减函数，所以只有一个零点(iii) 当时，令，解得当时，；当时，且，所以是的最大值点，且大最大值为当，即时，有一个零点当即时，有两个零点实际上，对于，由于，且函数在上的图象不间断，所以在存在零点另外当时，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点下面考虑在上的情况先证为些，我们要证明：当时，设，则，再设=，则当时，所以=在上是单调增函数故当时，从而在上单调增函数，进而当时，即当时，当，即时，又，且函数在上图象不间断，所以在上存在零点又当时，故在上是单调减函数，所以在上只有一个零点综合(i)， (ii)， (iii)，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为220 设数列的前n项和为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”（1）若数列的前n项和为，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力和推理谁能力本题属难题【参考答案】（1）由已知，当1时，于是对任意的正整数，总存在正整数，使得所以是“H数列”（2）由已知，得因为是“H数列”，所以存在正整数m，使得，即，于是因为，所以，故从而，当时，=，=是小于2的整数，于是对任意正整数n，总存在正整数，使得=2-m=，所以是“H数列”因此d的值为-1（3）设等差数列的公差为d，则=+（n-1）d=n+(n-1)(d-)( )令=n，=(n-1)(d-)，则=+下证是“H数列”设的前n项和为，则=（）于是对任意的正整数n，总存在正整数m=，使得=所以是“H数列”同理可证是“H数列”所以，对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立B附加题部分1选修 几何证明选讲如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，若，求证:【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等，考查推理论证能力本题属容易题【参考答案】连结因为是圆的直径，所以因为是圆的切线，所以又因为所以于是从而即得故2选修矩阵与变换已知矩阵，求【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力本题属容易题【参考答案】设的逆矩阵为，则，即，故，从而的逆矩阵为，所以，3选修坐标系与参数方程在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力本题属容易题【参考答案】在中令，得所以圆的圆心坐标为（1，0）因为圆经过点，圆的半径为圆经过极点圆的极坐标方程为4选修不等式选讲已知是非负实数，求证：【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法 考查推理论证能力，本题属容易题【参考答案】由是非负实数，作差得当时，从而得； 当时，从而得所以5如图，在平面直角坐标xOy中，已经直线l:xy2=0，抛物线C:=2px(p0)（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；求p的取值范围【解析】本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及推理认证能力本题属中等难度题【参考答案】（1）抛物线C:=2px(p0)的焦点为，由点在直线l:x-y-2=0上，得，即p=4所以抛物线C的方程显=8x（2）设，PQ的中点为因为点P和Q关于直线l对称，所以l垂直平分线段PQ，于是PQ的斜率为1，则可设其方程为y=x+b由消去x得（*）因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以，从而，化简得方程（*）的两根为，从而=p因为M在直线l上，所以=2-p因此，线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）因为M（2p，p）在直线y=x+b上，所以p=(2p)+b，即b=22p由知p+2b0，于是p+2(22p)0，所以pm时，=，k=m+1，m+2，-，n又因为+=，所以=（），k=m+1，m+2，-，n因此，=第17页 共17页