高考数学复习专题不完全归纳法.doc

高考数学（2011）复习专题-不完全归纳法（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序： 计算命题取特殊值时的结论； 对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论； 证明所猜想的结论.（二）学习要点：在中学数学内，“归纳猜想证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明.【例1】已知数列满足关系式N+），（）用a表法a2，a3，a4；（）猜想an的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.解析（）（）（） 猜想下面用数学归纳法证明：1当n=1时，当n=1结论正确；2假设当n=k时结论正确，即，当n=k+1时 =当n=k+1时结论也正确；根据1与2命题对一切nN*都正确.评析“归纳猜想证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.【例2】已知数列满足：计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论.解析很容易算出a2=5，a3=16，a4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索.a2=2 a1+32=21+32，a3=2（21+32）+321=221+2321，a4=2（221+2321）+322=231+3322；猜想an=2n1+（n1）32n2=2n2（3n1）；用数学归纳法证明：1当n=1时，a1=21=1，结论正确；2假设n=k时，ak=2k2（3k1）正确，当n=k+1时， =结论正确；由1、2知对nN*有评析如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.【例3】已知等差数列中，a2=8，前10项的和S10=185，（）求数列的通项公式an；（）若从数列中依次取出第2，4，8，2n，项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；（）设 Bn=n（5+3 an），试比较An和Bn的大小，并说明理由.解析（）设公差为d，（）设新数列为， An=3（2+22+23+2n）+2n=32n1+2n6；（）A4=332+2=98，A5=364+4=196，A6=3128+6=390，A7=3256+8=776，而B1=20，B2=58，B3=114，B4=188，B5=280，B6=390，B7=518，1、 当n=1，2，3，4，5时，BnAn；当n=6时，B6=A6；当n7，且nN*时，猜想AnBn，用数学归纳法证明：1当n=7时，A7=766518=B7，结论正确；2假设当n=k（k7）时，AkBk，即32k+1+2k69k2+11k2k+13k2+3k+2，n=k+1时，=62 k+29k227k24=62 k+1（3k2+3k+2）+6（3k2+3k+2）9k227k24=62 k+1（3k2+3k+2）+9k29k129k29k12=9k（k1）1297（71）120Ak+1Bk+1，即n=k+1时，结论也正确；根据1、2知当n7且nN*时，有AnBn.评析从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例4】已知数列满足：问是否存在常数p、q，使得对一切nN*都有并说明理由.解析 设存在这样的常数p、q，由此猜想，对nN*，有下面用数学归纳法证明这个结论：1当n=1时，结论正确；2假设当n=k时结论正确，即 当n=k+1时，当n=k+1时结论正确，故当nN*时，成立.评析例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳猜想证明的方法，难度不大.训练题一、选择题1. 已知数列的前n项和，而，通过计算猜想（ ）ABCD2.已知数列的通项公式 N*），记，通过计算的值，由此猜想（ ）ABCD3数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn=（ ）ABCD14已知a1=1，然后猜想（ ）AnBn2Cn3D5设已知则猜想（ ）ABCD6从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有种走法，则下面的猜想正确的是（ ）A BCD二、填空题：7已知数列中，通过计算然后猜想 8在数列中，通过计算然后猜想 9设数列的前n项和为Sn，已知Sn=2nan（nN+），通过计算数列的前四项，猜想 10已知函数记数列的前n项和为Sn，且时， 则通过计算的值，猜想的通项公式 三、解答题11是否存在常数a，b，c，使等式 N+都成立，并证明你的结论. 12已知数列的各项为正数，其前n项和为Sn，又满足关系式：，试求的通项公式.13已知数列的各项为正数，Sn为前n项和，且，归纳出an的公式，并证明你的结论.14.已知数列是等差数列，设N+）， N+），问Pn与Qn哪一个大？证明你的结论.15已知数列：N* （）归纳出an的公式，并证明你的结论； （）求证：答案与解析一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A二、7 8n！ 9 10n+111令n=1得， 令n=2得， 令n=3得， 解、得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想（证明略）12计算得猜测，用数学归纳法证明（证明略）.13，猜想N*）.用数学归纳法证明（略）.14计算得当1n3时，PnQn；猜想n4时PnQn，用数学归纳法证明，即证：当n4时时用比较法证）15（）,，猜测，数学归纳法证明（略）. （）