近六年吉林中考数学第25题动态几何与分段函数问题

25（10分）（2017吉林）如图，在RtABC中，ACB=90，A=45，AB=4cm点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动过点P作PQAB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ设正方形DEFQ与ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0x2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）国际已知条件得到AQP=45，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ=x；（2）如图，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；（3）如图，当0x 时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图，当x1时，过C作CHAB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到y=x2+20x8；如图，当1x2时，PQ=42x，根据三角形的面积公式得到结论；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，得到x=，于是得到结论【解答】解：（1）ACB=90，A=45，PQAB，AQP=45，PQ=AP=2x，D为PQ中点，DQ=x，故答案为：x；（2）如图，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，D为PQ中点，DQ=x，GP=2x，2x+x+2x=4，x=；（3）如图，当0x时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，y=x2；如图，当x1时，过C作CHAB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，PQ=AP=2x，CK=22x，MQ=2CK=44x，FM=x（44x）=5x4，y=S正方形DEFQSMNF=DQ2FM2，y=x2（5x4）2=x2+20x8，y=x2+20x8；如图，当1x2时，PQ=42x，DQ=2x，y=SDEQ=DQ2，y=（2x）2，y=x22x+2；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，即2x=2，x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，PB=1，AP=3，2x=3，x=，边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1x【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键25（10分）（2016吉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AC=8cm，ADBC于点D，点P从点A出发，沿AC方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQAB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且PQM=90（点M，C位于PQ异侧）设点P的运动时间为x（s），PQM与ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x=；（2）当点M落在AD上时，x=；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围【考点】三角形综合题菁优网版权所有【分析】（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PEQC于E，先证明DQ=QE=EC，由PEAD，得=，由此即可解决问题（3）分三种情形当0x4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为PEF，当4x时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ当x8时，如图4中，则重合部分为PMQ，分别计算即可解决问题【解答】解：（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=4，所以x=4故答案为4（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PEQC于EMQP，PQE，PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PCDQ=QE=EC，PEAD，=，AC=8，PA=，x=故答案为（3）当0x4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为PEF，AP=x，EF=PE=x，y=SPEF=PEEF=x2当4x时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQPQ=PC=8x，PM=162x，ME=PMPE=163x，y=SPMQSMEG=（8x）2（163x）2=x2+32x64当x8时，如图4中，则重合部分为PMQ，y=SPMQ=PQ2=（8x）2=x216x+64综上所述y=【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论，属于中考压轴题25（10分）（2015吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）其中，C=DEF=90，ABC=F=30，AC=DE=6cm现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点C落在边EF上时，x=cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值考点： 几何变换综合题版权所有分析： （1）根据锐角三角函数，可得BG的长，根据线段的和差，可得GE的长，根据矩形的性质，可得答案；（2）分类讨论：当0t6时，根据三角形的面积公式，可得答案；当6t12时，当12t15时，根据面积的和差，可得答案；（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案解答： 解：（1）如图1所示：作CGAB于G点，在RtABC中，由AC=6，ABC=30，得BC=6在RtBCG中，BG=BCcos30=9四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为：15；（2）当0x6时，如图2所示，GDB=60，GBD=30，DB=x，得DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DGBG=xx=x2当6x12时，如图3所示，BD=x，DG=x，BG=x，BE=x6，EH=（x6）重叠部分的面积为y=SBDGSBEH=DGBGBEEH，即y=xx（x6）（x6）化简，得y=x2+2x6；当12x15时，如图4所示，AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x6），EG=（x6），重叠部分的面积为y=SABCSBEG=ACBCBEEG，即y=66（x6）（x6），化简，得y=18（x212x+36）=x2+2x+12；综上所述：y=；（3）如图5所示作NGDE于G点，点M在NG上时MN最短，NG是DEF的中位线，NG=EF=MB=CB=3，B=30，MG=MB=，MN最小=3=点评： 本题考查了几何变换综合题，（1）利用了锐角三角函数，矩形的性质；（2）利用面积的和差，分类讨论时解题关键，以防遗漏；（3）利用了垂线段最短的性质，三角形的中位线定理，锐角三角函数25（10分）（2014吉林）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿BCD运动，到点D停止，点Q沿DOB运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ设APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）（1）填空：AB=cm，AB与CD之间的距离为cm；（2）当4x10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值考点：四边形综合题菁优网版权所有分析：（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离（2）当4x10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：当4x5时，如答图11所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；当5x9时，如答图12所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；当9x10时，如答图13所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：若PQCD，如答图21所示；若PQBC，如答图22所示解答：解：（1）菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，ACBD，AB=5，设AB与CD间的距离为h，ABC的面积S=ABh，又ABC的面积S=S菱形ABCD=ACBD=68=12，ABh=12，h=（2）设CBD=CDB=，则易得：sin=，cos=当4x5时，如答图11所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上PB=x，PC=BCPB=5x过点P作PHAC于点H，则PH=PCcos=（5x）y=SAPQ=QAPH=3（5x）=x+6；当5x9时，如答图12所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上PC=x5，PD=CDPC=5（x5）=10x过点P作PHBD于点H，则PH=PDsin=（10x）y=SAPQ=S菱形ABCDSABQS四边形BCPQSAPD=S菱形ABCDSABQ（SBCDSPQD）SAPD=ACBDBQOA（BDOCQDPH）PDh=68（9x）383（x1）（10x）（10x）=x2+x；当9x10时，如答图13所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上y=SAPQ=ABh=5=12综上所述，当4x10时，y与x之间的函数解析式为：y=（3）有两种情况：若PQCD，如答图21所示此时BP=QD=x，则BQ=8xPQCD，即，x=；若PQBC，如答图22所示此时PD=10x，QD=x1PQBC，即，x=综上所述，满足条件的x的值为或点评：本题是运动型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点，重点考查了分类讨论的数学思想本题第（2）（3）问均需分类讨论，这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算25.（2013吉林）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1/s，点P沿A至F至D的方向运动到点D停止；点Q沿B至 C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动.在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为（2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为（s）（1）当点P运动到点F时，CQ= ；（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；（3）当点P在线段FD上运动时，求与之间的函数关系式.（备用题）（第25题）25（2012吉林）如图，在ABC中，A=90，AB=2cm，AC=4cm动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QFBC，交AC于点F设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2（1）当t=s时，点P与点Q重合；（2）当t=s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。714585 专题：动点型。分析：（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AC=2，由此列一元一次方程求出t的值；（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t由相似三角形比例线段关系可得PQ=t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AC=2，列一元一次方程求出t的值；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：当1t时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；当t2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形面积S由关系式“S=S正方形APDESAQFSDMN”求出解：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AC=2，t+t=2，解得t=1s，故填空答案：1（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=tQFBC，APDE为正方形，PQDABC，DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t由AP+PQ+BQ=AC=2，得t+t+t=2，解得：t=，故填空答案：（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；当点P到达B点时，此时t=2因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：当1t时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ此时AP=BQ=t，AQ=2t，PQ=APAQ=2t2；易知ABCAQFEGF，可得AF=2AQ，EF=2EGEF=AFAE=2（2t）t=43t，EG=EF=2t，DG=DEEG=t（2t）=t2S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）PD=（2t2）+（t2）t=t22t；当t2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形此时AP=BQ=t，AQ=PB=2t，易知ABCAQFPBMDNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，AF=42t，PM=42t又DM=DPPM=t（42t）=3t4，DN=（3t4）S=S正方形APDESAQFSDMN=AP2AQAFDNDM=t2（2t）（42t）（3t4）（3t4）=t2+10t8综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：点评：本题是运动型综合题，涉及到动点与动线问题第（1）（2）问均涉及动点问题，列方程即可求出t的值；第（3）问涉及动线问题，是本题难点所在，首先要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的面积S本题难度较大，需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力21