初三数学圆的专题复习

1对1个性化辅导教 师初三学生上课时间 201 年 月 日阶 段基础（ ） 提高（） 强化（ ）课时计划共 次课 第 次课教学课题圆的专题复习教学目标见下文教学重难点见下文教学过程圆的专题解析一一 知识点（一）圆的有关概念和性质1圆是 的所有点组成的图形2圆是轴对称图形，它的直径所在的直线都是对称轴；又时中心对称图形，它的中心是圆心3垂径定理：（图1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦5圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余各组量都分别 例1、如图2,已知O的半径OA长为5,弦AB的长8,OCAB于C,则OC的长为 _.例2、如图3，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。 （图1） （图2） （图3）关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。6顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角7圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。8 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径9在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 10 的三点确定一个圆11设圆的半径为，点到圆心的距离为，则点在圆外 ；点在圆上 ；点在圆内 12三角形的三个顶点可以确定一个圆，这个圆叫做 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，它到三角形 都相等，是 的交点问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？13. 如果一个圆经过四边形的各顶点，这个圆叫做四边形的外接圆。这个四边形叫做这个圆的内接四边形。推论：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。推论：圆内接梯形是等腰梯形，圆内接平行四边形是矩形（二）圆的有关算14正边形的一个内角的都数是 ；中心角为 15扇形的半径为，扇形的圆心角为，那么扇形的弧长 ，扇形的面积 16如果扇形的弧长为，半径为，那么扇形的面积 17圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。如果底面半径为，母线长为，则圆锥的高为 ，侧面积为 二 圆易错点 1注意考虑点的位置在解决点与圆的有关问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等 例点到上的最近距离为，最远距离为，则的半径为例是的一条弦， ，点A是上的一点（不与B、C重合），则的度数为 2注意考虑弦的位置在解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类例3在半径为的圆中，有两条平行的弦，一条为，另一条为，则这两条平行弦的距离是 例4是的直径，、是的两条弦，且，则的度数为 三 考点考点1：基本概念和性质考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现例1（2010兰州）有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（ ） A4个 B3个 C 2个 D 1个考点2：圆心角与圆周角的关系例2（2010年连云港）如图，点A、B、C在O上，ABCD，B22，则A_考点3：垂径定理考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决例3（2010芜湖）如图，在O中，有折线，其中，则弦的长为（ ）。 考点4：弧长扇形面积的计算考查形式：考查运用弧长公式（）以及扇形面积公式（和）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查例1、扇形的面积是它所在圆的面积的2/3 ，这个扇形的圆心角的度数是_例2、 扇形AOB的半径为12cm,AOB=120,求扇形的面积和周长.例6（2010巴中）如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为解题思路：本题可以把六个扇形作为一个整体，六个扇形圆心角的为六边形的内角和，在运用扇形面积公式即可求解考点5：圆锥的侧面展开问题考查形式：考查圆锥的侧面展开图的有关知识以及空间想象能力，常以选择题或填空题的形式出现例1、 圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_例2（2010年眉山）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为_cm2例3、已知：在RtABC, ACB=90，AB=5,AC=4, 求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。 例4.已知圆锥底面半径为1cm，母线长为cm.（1）求它的侧面展开图的圆心角和全面积.（2）若一甲虫从圆锥底面圆上一点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA的中点B,它所走的最短路程是多少？巩固练习1下列命题中，正确命题的个数为（ ）.平分弦的直径垂直于弦；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直；圆周角相等，则它们所对的弧相等A1个 B2个 C 3个 D 4个2如图，ABC内接于O，AC是O的直径，ACB500，点D是弧BAC上一点，则D的度数_.3如图，AB是O的弦，半径OA2，则弦AB的长是（ ） A B C D5已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是 6如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）7小明想用一个半径为5cm，弧长是cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么围成的圆锥的高度是 cm8如图，切O于，两点，切O于点，分别交、与点、，若，的长是关于关于的一元二次方程的两个根，求的周长圆的专题解析二学习目标：1掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；了解切线的概念，掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否是圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；了解三角形的内心和外心，掌握如何过一点、过两点、过不在同一条直线上的三点作圆；了解反证法。2理解.应用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3.理解并应用切线的性质定理及切线长定理.4.了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念 理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题学习过程：一、温故而知新1、已知O的半径为5cm,A为线段OP的中点，当OP=6cm,点A与O的位置关系时（ ） A. 点A在O内 B. 点A在O 上C. 点A在O 外 D.不能确定2、已知O1与O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距=10cm，那么O1与O2的位置关系是（ ）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离3、直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 .二、考点解读：10、考点1、点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r 点在圆内dr 点在圆上d=r 点在圆外dr2、直线和圆的位置关系：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 直线和圆相交dr 直线和圆相切d=r 直线和圆相离dr 切线的性质和判定： 切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条切线的直线是圆的切线 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 性质定理的推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线所夹的角 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。相交弦定理：如图，已知AB、CD是O内的两条相交弦，则有PAPB=PCPD=R2OP2 相交弦定理的推论：已知AB是O的直径，CD是弦，ABCD，则有：PAPB=PC2=PD2=R2PD2 （6） 切割线定理：如图，PC是O的切线，PAB是O 的割线， 则有：PAPB=PC2=OP2R2 切割线定理的推论： 如图PAB、PCD是 O 的两条割线，则有 PAPB=PCPD=OP2R2 3、圆与圆的位置关系（1）设R、r为两圆的半径，d为圆心距 两圆外离 d R+r 两圆外切d=R+r两圆相交Rr d R+r （R r ） 两圆内切d=Rr（R r）两圆内含 d Rr （R r） （两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆 ）（2）两圆相交连心线垂直平分公共弦，且平分两条外公切线的夹角。（3）两圆相切，连心线必过切点。20、难点：1、判定与圆有关的位置关系 的关键： 点与圆的位置关系是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系来确定 直线与圆的位置关系是比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定 圆与圆的位置关系是比较圆心距与半径之和或半径之差的大小来确定。2、如何判定该直线是圆的切线3、切割线定理的使用不正确：如上图 PC是O的切线，PAB是O 的割线，则PC2=PAAB 和 PAB、PCD是 O 的两条割线，则有PAAB=PCCD 三、例题讲解1、（2009年，武汉）已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）A 、 相交 B、 相切 C 、 相离 D、 相交或相离变式题：同一平面上的两圆，有两条公切线，则它们的位置关系是：A 、 相交 B、 相切 C 、 相离 D、 相交或相离2.如图，O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y （1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值（3）求COD的面积四巩固练习1、下列说法：三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆；圆有且只有一个内接三角形；三角形的外心是各边垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三边的距离相等；等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ） A1 B2 C3 D42、直角三角形的外心是_的中点，锐角三角形外心在三角形_，钝角三角形外心在三角形_3、如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）A2.5 B2.5cm C3cm D4cm4、如图，AB为O直径，BD切O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为 5、已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D外离6、两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足_时，两圆相交；当d满足_时，两圆不外离7如图所示，AB是O的直径，BC切O于B，AC交O于P，E是BC边上的中点，连结PE，PE与O相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由圆单元测试一、选择题(31030)1.已知两圆的半径分别为3和5,圆心距为7,则这两圆的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离2.已知O的半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与O的位置关系为( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定3.如图，I为的内切圆，点分别为边上的点， 且为I的切线，若的周长为21，边的长为6,则 的周长为（ ）A15 B9 C7.5 D64.已知扇形的圆心角为120，弧长等于半径为5cm的圆周长，则扇形的面积为（ ）A.75 cm2 B.75cm2 C.150 cm2 D.150 cm25如图，O外接于ABC，AD为O的直径，ABC=30,则CAD=（ ）A30 B40 C50 D606O是ABC的外心，且ABC+ACB=100，则BOC=（ ） A100 B120 C130 D1607如图，ABC的三边分别切O于D、E、F，若A=50，则DEF=（ ） A65 B50 C130 D808RtABC中，C=90，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ） A15 B12 C13 D149.I为ABC的内心,如果ABC+ACB=100,那么BIC等于( ) A.80 B.100 C.130 D.16010.如图,以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于C.若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（ ）A10 B.13 C.16 D.17二、填空题(4624)11.若两圆的半径分别为cm 和4 cm，则这两个圆相切时圆心距为12.已知O的半径是5cm，弦ABCD，AB6cm，CD8cm，则AB与CD的距离是_13. 林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示现已知,.5米，则这棵大树的直径为_米.14如图，ABC三边与O分别切于D、E、F，已知AB=7cm，AC=5cm， AD=2cm，则BC=_ (14) (15) (16) 15.如图,在同心圆O中,AB是大圆的直径,AC是大圆的弦,AC与小圆相切于点D,若小圆的半径为3cm,则BC= cm.16.如图, 与相交于点A、B,且是的切线, 是的切线,A是切点.若与的半径分别为3和4,则公共弦AB的长为 cm. 三、解答题17.如图，AD、BC是O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD。18.如图，AB是O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD.19.如图，在O中，B=50，C=20，求BOC的大小。20如图，已知扇形AOB的半径为12，OAOB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D求图中阴影部分面积21如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB =，高BC =，求这个零件的表面积（结果保留）.CBA22.如图，是O1与O2的公共弦，在O2上，分别是O1与O2的直径，与的延长线交于点，与相交于点 CDBEAM（1）连结，求证：；（2）求证：是O1的切线23.如图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形图2是车棚顶部截面的示意图车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）O BAAA图2图1AB2米4米45米24.如图，在平面直角坐标系中，M与轴交于A、B两点，是M的直径，过点的直线交轴于点，连结，已知点的坐标为，直线的函数解析式为（1）求点的坐标和的长；（2）求点的坐标和M的半径；（3）求证：是M的切线课后作业教学反思12