2017新北师大版初中数学知识点汇总

2017 新北师大版初中数学知识点汇总 目 录 七年级上册知识点汇总 1 第一章 丰富的图形世界 1 第二章 有理数及其运算 1 第三章 字母表示数 3 第四章 平面图形及位置关系 4 第五章 一元一次方程 6 第六章 生活中的数据 6 七年级下册知识点总结 7 第一章 整式的运算 7 第二章 平行线与相交线 9 第三章 生活中的数据 10 第四章 概率 10 第五章 三角形 10 第六章 变量之间的关系 12 第七章 生活中的轴对称 14 八年级上册知识点汇总 15 第一章 勾股定理 15 第二章 实数 15 第三章 图形的平移与旋转 15 第四章 四平边形性质探索 16 第五章 位置的确定 17 第六章 一次函数 18 第七章 二元一次方程组 18 第八章 数据的代表 18 八年级下册知识点汇总 21 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 20 第二章 分解因式 22 第三章 分式 24 第四章 相似图形 25 第五章 数据的收集与处理 26 第六章 证明 一 27 九年级上册知识点汇总 28 第一章 证明 二 28 第二章 一元二次方程 28 第三章 证明 三 30 第四章 视图与投影 31 第五章 反比例函数 32 第六章 频率与概率 33 九年级下册知识点汇总 35 第一章 直角三角形边的关系 34 第二章 二次函数 36 第三章 圆 39 第四章 统计与概率 44 第 1 页 共 45 页 侧 面 是 曲 面底 面 是 圆 面圆 柱 侧 面 是 正 方 形 或 长 方 形底 面 是 多 边 形棱 体柱 体 侧 面 是 曲 面底 面 是 圆 面圆 锥 侧 面 都 是 三 角 形底 面 是 多 边 形棱 锥锥 体 有 理 数 3 21 如负 整 数 如正 整 数整 数 0零 8 4 32 如负 分 数分 数 5 如正 分 数 七年级上册知识点汇总 注 表示重点部分 表示了解部分 表示仅供参阅 部分 第一章 丰富的图形世界 1 2 3 球体 由球面围成的 球面是曲面 4 几何图形是由点 线 面构成的 几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面 几何的表面有 平面和曲面 面与面相交得到线 线与线相交得到点 5 棱 在棱柱中 任何相邻两个面的交线都叫做棱 6 侧棱 相邻两个侧面的交线叫做侧棱 所有侧棱长都相等 7 棱柱的上 下底面的形状相同 侧面的形状都是长方形 8 根据底面图形的边数 人们将棱柱分为三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 它 们底面图形的形状分别为三边形 四边形 五边形 六边形 9 长方体和正方体都是四棱柱 10 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成 11 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成 12 设一个多边形的边数为 n n 3 且 n 为整数 从一个顶点出发的对角线有 n 3 条 可以把 n 边形成 n 2 个三角形 这个 n 边形共有 条对角线 2 3 n 13 圆上两点之间的部分叫做弧 弧是一条曲线 14 扇形 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形 15 凸多边形和凹多边形都属于多边形 有弧或不封闭图形都不是多边形 第二章 有理数及其运算 第 2 页 共 45 页 数轴的三要素 原点 正方向 单位长度 三者缺一不可 任何一个有理数 都可以用数轴上的一个点来表示 反过来 不能说数轴上所有的 点都表示有理数 如果两个数只有符号不同 那么我们称其中一个数为另一个数的相反数 也称这两 个数互为相反数 0 的相反数是 0 在数轴上 表示互为相反数的两个点 位于原点的侧 且到原点的距离相等 数轴上两点表示的数 右边的总比左边的大 正数在原点的右边 负数在原点的左 边 绝对值的定义 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 数 a 的 绝对值记作 a 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的数 0 的绝对值是 0 或 0 a 0 a 绝对值的性质 除 0 外 绝对值为一正数的数有两个 它们互为相反数 互为相反数的两数 除 0 外 的绝对值相等 任何数的绝对值总是非负数 即 a 0 比较两个负数的大小 绝对值大的反而小 比较两个负数的大小的步骤如下 先求出两个数负数的绝对值 比较两个绝对值的大小 根据 两个负数 绝对值大的反而小 做出正确的判断 绝对值的性质 对任何有理数 a 都有 a 0 若 a 0 则 a 0 反之亦然 若 a b 则 a b 对任何有理数 a 都有 a a 有理数加法法则 同号两数相加 取相同符号 并把绝对值相加 异号两数相 加 绝对值相等时和为 0 绝对值不等时取绝对值较大的数的符号 并用较大数的绝对 值减去较小数的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 加法的交换律 结合律在有理数运算中同样适用 灵活运用运算律 使用运算简化 通常有下列规律 互为相反的两个数 可以先 相加 符号相同的数 可以先相加 分母相同的数 可以先相加 几个数相加 能得到整数 可以先相加 有理数减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 有理数减法运算时注意两 变 改变运算符号 改变减数的性质符号 变为 相反数 有理数减法运算时注意一个 不变 被减数与减数的位置不能变换 也就是说 减法没有交换律 有理数的加减法混合运算的步骤 写成省略加号的代数和 在一个算式中 若有减法 应由有理数的减法法则转 0 1 2 3 1 2 3 越来越大 第 3 页 共 45 页 化为加法 然后再省略加号和括号 利用加法则 加法交换律 结合律简化计 算 注意 减去一个数等于加上这个数的相反数 当有减法统一成加法时 减数应变成 它本身的相反数 有理数乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 绝对值相乘 任何数与 0 相乘 积仍为 0 如果两个数互为倒数 则它们的乘积为 1 如 2 与 等 2135与 乘法的交换律 结合律 分配律在有理数运算中同样适用 有理数乘法运算步骤 先确定积的符号 求出各因数的绝对值的积 乘积为 1 的两个有理数互为倒数 注意 零没有倒数 求分数的倒数 就是把分数的分子分母颠倒位置 一个带分数要先 化成假分数 正数的倒数是正数 负数的倒数是负数 有理数除法法则 两个有理数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何非 0 的数都得 0 0 不可作为除数 否则无意义 有理数的乘方 注意 一个数可以看作是本身的一次方 如 5 51 当底数是负数或分数时 要先用括号将底数括上 再在右上角写指数 乘方的运算性质 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 任何数的偶数次幂都是非负数 1 的任何次幂都得 1 0 的任何次幂都得 0 1 的偶次幂得 1 1 的奇次幂得 1 在运算过程中 首先要确定幂的符号 然后 再计算幂的绝对值 有理数混合运算法则 先算乘方 再算乘除 最后算加减 如果有括号 先算括号里 面的 第三章 字母表示数 代数式的概念 用运算符号 加 减 乘除 乘方 开方等 把数与表示数的字母连接而成的式 子叫做代数式 单独的一个数或一个字母也是代数式 注意 代数式中除了含有数 字母和运算符号外 还可以有括号 代数式中不含有 等符号 等式和不等式都不是代数式 但等号和不等号两边的式子一般都是代数式 代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义 是实际问题的要 符合实际问题的意义 代数式的书写格式 代数式中出现乘号 通常省略不写 如 vt an个 n指数底数 幂 第 4 页 共 45 页 数字与字母相乘时 数字应写在字母前面 如 4a 带分数与字母相乘时 应先把带分数化成假分数后与字母相乘 如 应写a 312 作 a37 数字与数字相乘 一般仍用 号 即 号不省略 在代数式中出现除法运算时 一般按照分数的写法来写 如 4 a 4 应写作 注意 分数线具有 号和括号的双重作用 4 a 在表示和 或 差的代差的代数式后有单位名称的 则必须把代数式括起来 再将单位名称写在式子的后面 如 平方米 2ba 代数式的系数 代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数 如 3x 4y 的系数分别为 3 4 注意 单个字母的系数是 1 如 a 的系数是 1 只含字母因数的代数式的系数是 1 或 1 如 ab 的系数是 1 a 3b 的系数是 1 代数式的项 代数式 表示 6x2 2x 7 的和 6x 2 2x 7 是它的项 其中把不含字762 x 母的项叫做常数项 注意 在交待某一项时 应与前面的符号一起交待 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 注意 判断几个代数式是否是同类项有两个条件 a 所含字母相同 b 相同字母的 指数也相同 这两个条件缺一不可 同类项与系数无关 与字母的排列顺序无关 几个常数项也是同类项 合差同类项 把代数式中的同类项合并成一项 叫做合并同类项 合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律 合并同类项的法则是把同类项的系数相加 所得结果作为系数 字母和字母的指数 不变 注意 如果两个同类项的系数互为相反数 合并同类项后结果为 0 不是同类项的不能合并 不能合并的项 在每步运算中都要写上 只要不再有同类项 就是最后结果 结果还是代数式 根据去括号法则去括号 括号前面是 号 把括号和它前面的 号去掉 括号里各项都不改变符号 括号前面是 号去掉 括号里各项都改变符号 根据分配律去括号 括号前面是 号看成 1 括号前面是 号看成 1 根据乘法的分配律用 1 或 第 5 页 共 45 页 1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的 注意 去括号时 要连同括号前面的符号一起去掉 去括号时 首先要弄清楚括号前是 号还是 号 改变符号时 各项都变号 不改变符号时 各项都不变号 第四章 平面图形及位置关系 一 线段 射线 直线 1 正确理解直线 射线 线段的概念以及它们的区别 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 l BA 直线 AB 或 BA 直 线 l 无端点 无法度量 射线 MO 射线 OM 1 个 无法度量 线段 l BA 线段 AB 或 BA 线段 l 2 个 可度量长度 2 直线公理 经过两点有且只有一条直线 二 比较线段的长短 1 线段公理 两点间线段最短 两之间线段的长度叫做这两点之间的距离 2 比较线段长短的两种方法 圆规截取比较法 刻度尺度量比较法 3 用刻度尺可以画出线段的中点 线段的和 差 倍 分 用圆规可以画出线段的和 差 倍 三 角的度量与表示 1 角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 这个公共端点叫做角的顶点 这两条射线叫做角的边 2 角的表示法 角的符号为 用三个字母表示 如图 1 所示 AOB 用一个字母表示 如图 2 所示 b 用一个数字表示 如图 3 所示 1 用希腊字母表示 如图 4 所示 经过两点有且只有一条直线 两点之间的所有连线中 线段最短 两点之间线段的长度 叫做这两点之间的距离 1 60 1 60 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 如图 5 所示 A O B图 1 b图 2 终边 始边 图 5 1 图 3 图 4 第 6 页 共 45 页 一条射线绕它的端点旋转 当终边和始边成一条直线时 所成的角叫做平角 如图 6 所示 终边继续旋转 当它又和始边重合时 所成的角叫做周角 如图 7 所示 从一个角的顶点引出的一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个 角的平分线 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足 平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 如图 8 所示 过点 C 作直线 AB 的垂线 垂足为 O 点 线段 CO 的长度叫做点 C 到直 线 AB 的距离 第五章 一元一次方程 在一个方程中 只含有一个未知数 x 元 并且未知数的指数是 1 次 这样的方 程叫做一元一次方程 等式两边同时加上 或减去 同一个代数式 所得结果仍是等式 等式两边同时乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 所得结果仍是等式 解方程的步骤 解一元一次方程 一般要通过去分母 去括号 移项 合并同类 项 未知数的系数化为 1 等几个步骤 把一个一元一次方程 转化 成 x m 的形式 第六章 生活中的数据 科学记数法 一般地 一个大于 10 的数可以表示成 a 10n的形式 其中 1 an 2 在应用时需要注意以下几点 法则使用的前提条件是 同底数幂相除 而且0不能做除数 所以法则中a 0 任何不等于0的数的0次幂等于1 即 如 2 50 1 则0 0无意义 0 1 0 a10 任何不等于0的数的 p次幂 p是正整数 等于这个数的p的次幂的倒数 即 pa1 a 0 p是正整数 而0 1 0 3都是无意义的 当a 0时 a p的值一定是正的 当a 0时 a p的值可能是正也可能是负的 如 运算要注意运算顺 82 432 序 六 整式的乘法 1 单项式乘法法则 单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个 单项式里含有的字母 连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点 积的系数等于各因式系数积 先确定符号 再计算绝对值 这时容易出现的错误的 是 将系数相乘与指数相加混淆 相同字母相乘 运用同底数的乘法法则 只在一个单项式里含有的字母 要连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 单项式乘以单项式 结果仍是一个单项式 2 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式 是通过乘法对加法的分配律 把它转化为单项式乘以单项式 即 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 单项式与多项式相乘时要注意以下几点 单项式与多项式相乘 积是一个多项式 其项数与多项式的项数相同 运算时要注意积的符号 多项式的每一项都包括它前面的符号 在混合运算时 要注意运算顺序 3 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把 所得的积相加 第 9 页 共 45 页 多项式与多项式相乘时要注意以下几点 多项式与多项式相乘要防止漏项 检查的方法是 在没有合并同类项之前 积的项 数应等于原两个多项式项数的积 多项式相乘的结果应注意合并同类项 对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 其二次项系数为1 一次项系数等于两个因式中常 abxbxa 2 数项的和 常数项是两个因式中常数项的积 对于一次项系数不为1的两个一次二项式 和 相乘可以得到mn abxmnxbm 2 七 平方差公式 1 平方差公式 两数和与这两数差的积 等于它们的平方差 即 2baba 其结构特征是 公式左边是两个二项式相乘 两个二项式中第一项相同 第二项互为相反数 公式右边是两项的平方差 即相同项的平方与相反项的平方之差 八 完全平方公式 1 完全平方公式 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和 加上 或减去 它 们的积的2倍 即 22baba 口决 首平方 尾平方 2倍乘积在中央 2 结构特征 公式左边是二项式的完全平方 公式右边共有三项 是二项式中二项的平方和 再加上或减去这两项乘积的2倍 3 在运用完全平方公式时 要注意公式右边中间项的符号 以及避免出现 这样的错误 2ba 九 整式的除法 1 单项式除法单项式 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含 有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 2 多项式除以单项式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以单项式 再把所得的商相加 其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式 所得商的项数与原多项 式的项数相同 另外还要特别注意符号 第二章 平行线与相交线 一 台球桌面上的角 1 互为余角和互为补角的有关概念与性质 如果两个角的和为90 或直角 那么这两个角互为余角 如果两个角的和为180 或平角 那么这两个角互为补角 注意 这两个概念都是对于两个角而言的 而且两个概念强调的是两个角的数量关系 与两个角的相互位置没有关系 它们的主要性质 同角或等角的余角相等 第 10 页 共 45 页 同角或等角的补角相等 二 探索直线平行的条件 两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理 共有三条 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线 平行 三 平行线的特征 平行线的特征即平行线的性质定理 共有三条 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角 互补 四 用尺规作线段和角 1 关于尺规作图 尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图 2 关于尺规的功能 直尺的功能是 在两点间连接一条线段 将线段向两方向延长 圆规的功能是 以任意一点为圆心 任意长度为半径作一个圆 以任意一点为圆心 任意长度为半径画一段弧 第三章 生活中的数据 1 科学记数法 对任意一个正数可能写成a 10 n的形式 其中1 a 10 n是整数 这种记数的方法称为科学记数法 2 利用四舍五入法取一个数的近似数时 四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确 到哪一位 对于一个近似数 从左边第一个不是0的数字起 到精确到的数位止 所有 的数字都叫做这个数的有效数字 3 统计工作包括 设定目标 收集数据 整理数据 表达与描述数据 分析结果 第四章 概率 1 随机事件发生与不发生的可能性不总是各占一半 都为50 2 现实生活中存在着大量的不确定事件 而概率正是研究不确定事件的一门学科 3 了解必然事件和不可能事件发生的概率 必然事件发生的概率为1 即P 必然事件 1 不可能事件发生的概率为0 即 P 不可能事件 0 如果A为不确定事件 那么0 P A 1时 伸长为原来的n倍 当0 n1时 伸长为原来的n倍 当0 n0 或向左 a0 或向下 b0 所得的图形与原图形相比 形状不变 当n 1时 对应线段大小扩大到原来的n倍 当0 n0时 y随x的增大而增大 当k 0时 y随x的增大而减小 第七章 二元一次方程组 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 两个 一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组 解二元一次方程组 代入消元法 加减消元法 无论是代入消元法还是加减消元法 其目的都是 将 二元一次方程 变为 一元一次方程 所谓之 消元 在利用方程来解应用题时 主要分为两个步骤 设未知数 在设未知数时 大多 数情况只要设问题为x或y 但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑 寻找等量关系 一般地 题目中会含有一表述等量关系的句子 只须找到此句话 即可根据其列出方程 处理问题的过程可以进一步概括为 解 答检 验求 解组方 程抽 象分 析问 题 第八章 数据的代表 加权平均数 一组数据 的权分加为 则称nx 21 nw 21 3210 k b 第 19 页 共 45 页 为这 n 个数的加权平均数 如 对某同学的数学 语文 nwxx 21 科学三科的考查 成绩分别为 72 50 88 而三项成绩的 权 分别为 4 3 1 则 加权平均数为 134 8507 一般地 n个数据按大小顺序排列 处于最中间位置的一个数据 或最中间两个数据 的平均数 叫做这组数据的中位数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数 众数着眼于对各数据出现次数的考察 中位数首先要将数据按大小顺序排列 而且 要注意当数据个数为奇数时 中间的那个数据就是中位数 当数据个数为偶数时 居于中间的两个数据的平均数才是中位数 特别要注意一组数据的平均数和中位数 是唯一的 但众数则不一定是唯一的 第 20 页 共 45 页 八年级下册知识点汇总 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一 不等关系 1 一般地 用符号 或 连接的式子叫做不等式 2 要区别方程与不等式 方程表示的是相等的关系 不等式表示的是不相等的关系 3 准确 翻译 不等式 正确理解 非负数 不小于 等数学术语 非负数 大于等于 0 0 0 和正数 不小于 0 非正数 小于等于 0 0 0 和负数 不大于 0 二 不等式的基本性质 1 掌握不等式的基本性质 并会灵活运用 1 不等式的两边加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 即 如果 a b 那么 a c b c a c b c 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 即 如果 a b 并且 c 0 那么 ac bc cba 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 即 如果 a b 并且 c 0 那么 acb 那么 a b 是正数 反过来 如果 a b 是正数 那么 a b 如果 a b 那么 a b 等于 0 反过来 如果 a b 等于 0 那么 a b 如果 a b 那么 a b 是负数 反过来 如果 a b 是正数 那么 ab a b 0 a b a b 0 a b a bb 或 ax0 时 解为 当 a 0 时 且 b 0 则 x 取一切实数 abx 当 a 0 时 且 b 0 则无解 当 a 0 时 解为 ab 5 不等式应用的探索 利用不等式解决实际问题 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似 即 审 认真审题 找出题中的不等关系 要抓住题中的关键字眼 如 大于 小 于 不大于 不小于 等含义 设 设出适当的未知数 列 根据题中的不等关系 列出不等式 解 解出所列的不等式的解集 答 写出答案 并检验答案是否符合题意 五 一元一次不等式与一次函数 六 一元一次不等式组 1 定义 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组 叫做一元一 次不等式组 2 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集 如果这些不 等式的解集无公共部分 就说这个不等式组无解 几个不等式解集的公共部分 通常是利用数轴来确定 3 解一元一次不等式组的步骤 1 分别求出不等式组中各个不等式的解集 2 利用数轴求出这些解集的公共部分 即这个不等式组的解集 两个一元一次不等式组的解集的四种情况 a b 为实数 且 ab ba 两大取较大 x a ba 两小取小 bxa a x b ba 大小交叉中间找 无解 ba 在大小分离没有 解 是空集 第 22 页 共 45 页 第二章 分解因式 一 分解因式 1 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式分解因式 2 因式分解与整式乘法是互逆关系 因式分解与整式乘法的区别和联系 1 整式乘法是把几个整式相乘 化为一个多项式 2 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 二 提公共因式法 1 如果一个多项式的各项含有公因式 那么就可以把这个公因式提出来 从而将多项 式化成两个因式乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式法 如 cba 2 概念内涵 1 因式分解的最后结果应当是 积 2 公因式可能是单项式 也可能是多项式 3 提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律 即 cbamcba 3 易错点点评 1 注意项的符号与幂指数是否搞错 2 公因式是否提 干净 3 多项式中某一项恰为公因式 提出后 括号中这一项为 1 不漏掉 三 运用公式法 1 如果把乘法公式反过来 就可以用来把某些多项式分解因式 这种分解因式的方法 叫做运用公式法 2 主要公式 1 平方差公式 2baba 2 完全平方公式 2222 3 易错点点评 因式分解要分解到底 如 就没有分解到 224yxyx 底 4 运用公式法 1 平方差公式 应是二项式或视作二项式的多项式 二项式的每项 不含符号 都是一个单项式 或多项式 的平方 二项是异号 2 完全平方公式 应是三项式 其中两项同号 且各为一整式的平方 第 23 页 共 45 页 还有一项可正负 且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍 5 因式分解的思路与解题步骤 1 先看各项有没有公因式 若有 则先提取公因式 2 再看能否使用公式法 3 用分组分解法 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的 4 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积 否则不是因式分解 5 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止 四 分组分解法 1 分组分解法 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法 如 nmbanbmabnam 2 概念内涵 分组分解法的关键是如何分组 要尝试通过分组后是否有公因式可提 并且可继续 分解 分组后是否可利用公式法继续分解因式 3 注意 分组时要注意符号的变化 五 十字相乘法 1 对于二次三项式 将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积 bxa 2 21a 且满足 往往写成 c2a2 c1a1 的形式 将二次三项式进行21c 121c 分解 如 21xabxa 2 二次三项式 的分解 qp2 p 2bxaqpx 3 规律内涵 1 理解 把 分解因式时 如果常数项 q 是正数 那么把它分解成两个同qpx 2 号因数 它们的符号与一次项系数 p 的符号相同 2 如果常数项 q 是负数 那么把它分解成两个异号因数 其中绝对值较大的因数 与一次项系数 p 的符号相同 对于分解的两个因数 还要看它们的和是不是等于 一次项系数 p 4 易错点点评 1 十字相乘法在对系数分解时易出错 2 分解的结果与原式不等 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确 第三章 分式 ba11 第 24 页 共 45 页 一 分式 1 两个整数不能整除时 出现了分数 类似地 当两个整式不能整除时 就出现了分式 整式 A 除以整式 B 可以表示成 的形式 如果除式 B 中含有字母 那么称 为分式 对BABA 于任意一个分式 分母都不能为零 2 整式和分式统称为有理式 即有 分 式整 式有 理 式 3 进行分数的化简与运算时 常要进行约分和通分 其主要依据是分数的基本性质 分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值不变 0 MBAMBA 4 一个分式的分子 分母有公因式时 可以运用分式的基本性质 把这个分式的分子 分母同时除以它的们的公因式 也就是把分子 分母的公因式约去 这叫做约分 二 分式的乘除法 1 分式乘以分式 用分子的积做积的分子 分母的积做积的分母 分式除以以分式 把 除式的分子 分母颠倒位置后 与被除式相乘 即 BDAC CBDA 2 分式乘方 把分子 分母分别乘方 即 为 正 整 数nn 逆向运用 当 n 为整数时 仍然有 成立 nBA nBA 3 分子与分母没有公因式的分式 叫做最简分式 三 分式的加减法 1 分式与分数类似 也可以通分 根据分式的基本性质 把几个异分母的分式分别化 成与原来的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分 2 分式的加减法 分式的加减法与分数的加减法一样 分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减 1 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 上述法则用式子表示是 CBA 2 异号分母的分式相加减 先通分 变为同分母的分式 然后再加减 上述法则用式子表示是 DD 3 概念内涵 通分的关键是确定最简分母 其方法如下 最简公分母的系数 取各分母系数的最小 第 25 页 共 45 页 公倍数 最简公分母的字母 取各分母所有字母的最高次幂的积 如果分母是多项式 则 首先对多项式进行因式分解 四 分式方程 1 解分式方程的一般步骤 在方程的两边都乘最简公分母 约去分母 化成整式方程 解这个整式方程 把整式方程的根代入最简公分母 看结果是不是零 使最简公母为零的根是原方 程的增根 必须舍去 2 列分式方程解应用题的一般步骤 审清题意 设未知数 根据题意找相等关系 列出 分式 方程 解方程 并验根 写出答案 第四章 相似图形 一 线段的比 1 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么就说这两 条线段的比 AB CD m n 或写成 nmBA 2 四条线段 a b c d 中 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 即 那么这四条dcba 线段 a b c d 叫做成比例线段 简称比例线段 3 注意点 a b k 说明 a 是 b 的 k 倍 由于线段 a b 的长度都是正数 所以 k 是正数 比与所选线段的长度单位无关 求出时两条线段的长度单位要一致 除了 a b 之外 a b b a 与 互为倒数 ab 比例的基本性质 若 则 ad bc 若 ad bc 则dc dcba 二 黄金分割 1 如图 1 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 那么称线段 AB 被ACB 点 C 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比 1 68 025 AB 2 黄金分割点是最优美 最令人赏心悦目的点 四 相似多边形 1 一般地 形状相同的图形称为相似图形 2 对应角相等 对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的 比叫做相似比 五 相似三角形 图 1 B C A 第 26 页 共 45 页 1 在相似多边形中 最为简简单的就是相似三角形 2 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比叫做 相似比 3 全等三角形是相似三角的特例 这时相似比等于 1 注意 证两个相似三角形 与证 两个全等三角形一样 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 4 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 5 相似三角形周长的比等于相似比 6 相似三角形面积的比等于相似比的平方 六 探索三角形相似的条件 1 相似三角形的判定方法 一般三角形 直角三角形 基本定理 平行于三角形的一边且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线 所截得的三角形与原三角形相似 两角对应相等 两边对应成比例 且夹角相等 三边对应成比例 一个锐角对应相等 两条边对应成比例 a 两直角边对应成比例 b 斜边和一直角边对应成比例 2 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直 线 所得的对应线段成比例 如图 2 l1 l2 l3 则 EFBCDA 3 平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的 延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 八 相似的多边形的性质 相似多边形的周长等于相似比 面积比等于相似比 的平方 九 图形的放大与缩小 1 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都经过同一点 那么这 样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 2 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3 位似变换 变换后的图形 不仅与原图相似 而且对应顶点的连线相交于一点 并且对应点 到这一交点的距离成比例 像这种特殊的相似变换叫做位似变换 这个交点叫做 位似中心 一个图形经过位似变换后得到另一个图形 这两个图形就叫做位似形 利用位似的方法 可以把一个图形放大或缩小 第五章 数据的收集与处理 一 每周干家务活的时间 图 2 F E D C B A l 3 l 2 l 1 第 27 页 共 45 页 1 所要考察的对象的全体叫做总体 把组成总体的每一个考察对象叫做个体 从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本 2 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查 为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查 二 数据的收集 1 抽样调查的特点 调查的范围小 节省时间和人力物力优点 但不如普查得到的 调查结果精确 它得到的只是估计值 而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性 第六章 证明 一 二 定义与命题 1 一般地 能明确指出概念含义或特征的句子 称为定义 定义必须是严密的 一般避免使用含糊不清的术语 例如 一些 大概 差不 多 等不能在定义中出现 2 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题 正确的命题称为真命题 错误的命题称为假命题 3 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的 并且把它们作为判断 其他命题真假的原始依据 这样的真命题叫做公理 4 有些命题可以从公理或其他真命题出发 用逻辑推理的方法判断它们是正确的 并 且可以进一步作为判断其他命题真假的依据 这样的真命题叫做定理 5 根据题设 定义以及公理 定理等 经过逻辑推理 来判断一个命题是否正确 这 样的推理过程叫做证明 三 为什么它们平行 1 平行判定公理 同位角相等 两直线平行 并由此得到平行的判定定理 2 平行判定定理 同旁内互补 两直线平行 3 平行判定定理 同错角相等 两直线平行 四 如果两条直线平行 1 两条直线平行的性质公理 两直线平行 同位角相等 2 两条直线平行的性质定理 两直线平行 内错角相等 3 两条直线平行的性质定理 两直线平行 同旁内角互补 五 三角形和定理的证明 1 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 2 一个三角形中至多只有一个直角 3 一个三角形中至多只有一个钝角 4 一个三角形中至少有两个锐角 六 关注三角形的外角 1 三角形内角和定理的两个推论 推论 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 第 28 页 共 45 页 九年级上册知识点汇总 第一章 证明 二 等腰三角形的 三线合一 顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 等边三角形是特殊的等腰三角形 作一条等边三角形的三线合一线 将等边三角形 分成两个全等的 直角三角形 其中一个锐角等于 30 这它所对的直角边必然等于斜边的一半 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有 勾股定理 注意区分斜边与直角边 22cba 在直角三角形中 如有一个内角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 此定理将在第三章出现 垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线 注意着重号的意义 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等 线段垂直平分线逆定理 到一条线段两端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分 线上 三角形的三边的垂直平分线交于一点 并且这个点到三个顶点的距离相等 如图 1 所示 AO BO CO 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线逆定理 在角内部的 如果一点到角两边的距离相等 则它在该角的平分 线上 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 三角形三条角平分线交于一点 并且交点到三边距离相等 交点即为三角形的内心 如图 2 所示 OD OE OF 第二章 一元二次方程 A C B O 图 1 图 2 O A C B D E F 第 29 页 共 45 页 只含有一个未知数的整式方程 且都可以化为 a b c 为02 xa 常数 a 0 的形式 这样的方程叫一元二次方程 把 a b c 为常数 a 0 称为一元二次方程的一般形式 a 为二02 x 次项系数 b 为一次项系数 c 为常数项 解一元二次方程的方法 配方法 0 2 mx 公式法 注意在找 abc 时须先把方程化为一般acbx24 形式 分解因式法 把方程的一边变成 0 另一边变成两个一次因式的乘积来 求解 主要包括 提公因式 和 十字相乘 配方法解一元二次方程的基本步骤 把方程化成一元二次方程的一般形式 将二次项系数化成 1 把常数项移到方程的右边 两边加上一次项系数的一半的平方 把方程转化成 的形式 0 2 mx 两边开方求其根 根与系数的关系 当 b2 4ac 0 时 方程有两个不等的实数根 当 b2 4ac 0 时 方程有两个相等的实数根 当 b2 4ac 0 时 方程无实数根 如果一元二次方程 的两根分别为 x1 x 2 则有 0 cxa x 2121 一元二次方程的根与系数的关系的作用 1 已知方程的一根 求另一根 2 不解方程 求二次方程的根 x1 x 2 的对称式的值 特别注意以下公式 2121 x 2121xx 2121214 x xx 21212121x 第 30 页 共 45 页 其他能用 或 表达的代数 3 2121321 xxx 21x 1 式 3 已知方程的两根 x1 x 2 可以构造一元二次方程 0 21221 x 4 已知两数 x1 x 2 的和与积 求此两数的问题 可以转化为求一元二次方程 的根0 12 在利用方程来解应用题时 主要分为两个步骤 设未知数 在设未知数时 大多 数情况只要设问题为 x 但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑 寻找等量关系 一般地 题目中会含有一表述等量关系的句子 只须找到此句话 即可根据其列出方程 处理问题的过程可以进一步概括为 解 答检 验求 解方 程抽 象分 析问 题 第三章 证明 三 平行四边的定义 两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻 的两顶点连成的线段叫做它的对角线 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平分 平行四边形的判别方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行线之间的距离 若两条直线互相平行 则其中一条直线上任意两点到另一条直 线的距离相等 这个距离称为平行线之间的距离 菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质 具有平行四边形的性质 且四条边都相等 两条对角线互相垂直平分 每一 条对角线平分一组对角 菱形是轴对称图形 每条对角线所在的直线都是对称轴 菱形的判别方法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 第 31 页 共 45 页 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形是特殊的平行四边形 矩形的性质 具有平行四边形的性质 且对角线相等 四个角都是直角 矩形是轴 对称图形 有两条对称轴 矩形的判定 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 根据定义 对角线相等的平行四边形是矩形 四个角都相等的四边形是矩形 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 正方形的定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形的性质 正方形具有平行四边形 矩形 菱形的一切性质 正方形是轴对称 图形 有两条对称轴 正方形常用的判定 有一个内角是直角的菱形是正方形 邻边相等的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方 形 正方形 矩形 菱形和平行边形四者之间的菱形关系 如图 3 所示 梯形定义 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形 等腰梯形的性质 等腰梯形同一底上的两个内角相等 对角线相等 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 夹在两条平行线间的平行线段相等 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 第 32 页 共 45 页 平行四边形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 或对角线互相垂直平分 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直 一个内角为直角 或对角线相等 图 3 第四章 视图与投影 三视图包括 主视图 俯视图和左视图 三视图之间要保持长对正 高平齐 宽相等 一般地 俯视图要画在主视图的下方 左视图要画在正视图的右边 主视图 基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图 基本可认为从物体上面视得的图象 左视图 基本可认为从物体左面视得的图象 视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面 平面或曲面 而相连的两个闭合线 框一定不在一个平面上 在一个外形线框内所包括的各个小线框 一定是平面体 或曲面体 上凸出或凹的 各个小的平面体 或曲面体 在画视图时 看得见的部分的轮廓线通常画成实线 看不见的部分轮廓线通常画成 虚线 物体在光线的照射下 会在地面或墙壁上留下它的影子 这就是投影 太阳光线可以看成平行的光线 像这样的光线所形成的投影称为平行投影 探照灯 手电筒 路灯的光线可以看成是从一点出发的 像这样的光线所形成的投影 称为中心投影 区分平行投影和中心投影 观察光源 观察影子 眼睛的位置称为视点 由视点发出的线称为视线 眼睛看不到的地方称为盲区 从正面 上面 侧面看到的图形就是常见的正投影 是当光线与投影垂直时的投影 点在一个平面上的投影仍是一个点 线段在一个面上的投影可分为三种情况 线段垂直于投影面时 投影为一点 线段平行于投影面时 投影长度等于线段的实际长度 线段倾斜于投影面时 投影长度小于线段的实际长度 平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况 平面图形和投影面平行的情况下 其投影为实际形状 平面图形和投影面垂直的情况下 其投影为一线段 第 33 页 共 45 页 平面图形和投影面倾斜的情况下 其投影小于实际的形状 第五章 反比例函数 反比例函数的概念 一般地 k 为常数 k 0 叫做反比例函数 即 y 是 xxy 的反比例函数 x 为自变量 y 为因变量 其中 x 不能为零 反比例函数的等价形式 y 是 x 的反比例函数 0 kxy 变量 y 与 x 成反比例 比例系数为 k 0 1 k 0 ky 判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法 按照反比例函数的定义判断 看两个变量的乘积是否为定值 通常第二种方法更适用 x 反比例函数的图象由两条曲线组成 叫做双曲线 反比例函数的画法的注意事项 反比例函数的图象不是直线 所 两点法 是不 能画的 选取的点越多画的图越准确 画图注意其美观性 对称性 延伸特征 反比例函数性质 当 k 0 时 双曲线的两支分别位于一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减 小 当 k0 或向左 h0 或向下 k0 则当 x 时 y 随 xab 的增大而增大 若 a 0 则当 x 时 y 随 x2ab2 的增大而减小 最值 若 a 0 则当 x 时 若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点 acb42 0 抛物线与 x 轴有 1 个交点 0 抛物线与 x 轴有 0 个交点 无交点 c2 当 0 时 设抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 则这两个点之间的距离 ab4 2121212 4 1 xxAB 化简后即为 这就是抛物线与 x 轴的两交0 4 2 acb 点之间的距离公式 第三章 圆 一 车轮为什么做成圆形 1 圆的定义 描述性定义 在一个平面内 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周 另一个 端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆 固定的端点 O 叫做圆心 线 段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆 O 集合性定义 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合 其中定点叫做圆心 定长叫做圆的半径 圆心定圆的位置 半径定圆的大小 圆心和半径 确定的圆叫做定圆 对圆的定义的理解 圆是一条封闭曲线 不是圆面 第 41 页 共 45 页 圆由两个条件唯一确定 一是圆心 即定点 二是半径 即定长 2 点与圆的位置关系及其数量特征 如果圆的半径为 r 点到圆心的距离为 d 则 点在圆上 d r 点在圆内 d r 点在圆外 d r 其中点在圆上的数量特征是重点 它可用来证明若干个点共圆 方法就是证明这 几个点与一个定点 的距离相等 二 圆的对称性 1 与圆相关的概念 弦和直径 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 半圆 优弧 劣弧 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 用符号 表示 以 CD 为端点的弧记为 读作 圆弧 CD 或 弧 CD 半圆 直径的两个端点分圆成两条弧 每一条弧叫做半圆 优弧 大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 为了区别优弧和劣弧 优弧用三个字母表示 弓形 弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 同心圆 圆心相同 半径不等的两个圆叫做同心圆 等圆 能够完全重合的两个圆叫做等圆 半径相等的两个圆是等圆 等弧 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 2 圆是轴对称图形 直径所在的直线是它的对称轴 圆有无数条对称轴 3 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 说明 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对 的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论 4 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦心 距相等 第 42 页 共 45 页 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 三 圆周角和圆心角的关系 1 1 的弧的概念 把顶点在圆心的周角等分成 360 份时 每一份的角都是 1 的圆 心角 相应的整个圆也被等分成 360 份 每一份同样的弧叫 1 弧 2 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 这里指的是角度数与弧的度数相等 而不是角与弧相等 即不能写成 AOB 这 是错误的 3 圆周角的定义 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角 叫做圆周角 4 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 反之 在同圆或等圆中 相等圆周角所对的 弧也相等 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 四 确定圆的条件 1 理解确定一个圆必须的具备两个条件 圆心和半径 圆心决定圆的位置 半径决定圆的大小 经过一点可以作无数个圆 经过两点也可以作无数个圆 其圆心在这个两点线段的 垂直平分线上 2 经过三点作圆要分两种情况 1 经过同一直线上的三点不能作圆 2 经过不在同一直线上的三点 能且仅能作一个圆 定理 不在同一直线上的三个点确定一个圆 3 三角形的外接圆 三角形的外心 圆的内接三角形的概念 1 三角形的外接圆和圆的内接三角形 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角 形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 2 三角形的外心 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 第 43 页 共 45 页 3 三角形的外心的性质 三角形外心到三顶点的距离相等 五 直线与圆的位置关系 1 直线和圆相交 相切相离的定义 1 相交 直线与圆有两个公共点时 叫做直线和圆相交 这时直线叫做圆的割线 2 相切 直线和圆有惟一公共点时 叫做直线和圆相切 这时直线叫做圆的切线 惟一的公 共点做切点 3 相离 直线和圆没有公共点时 叫做直线和圆相离 2 直线与圆的位置关系的数量特征 设 O 的半径为 r 圆心 O 到直线的距离为 d d r 直线 L 和 O 相交 d r 直线 L 和 O 相切 d r 直线 L 和 O 相离 3 切线的总判定定理 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线 4 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 可得如下结论 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 就可推出第三个 垂直于切线 过切点 过圆心 5 三角形的内切圆 内心 圆的外切三角形的概念 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这 个三角形叫做圆的外切三角形 6 三角形内心的性质 1 三角形的内心到三边的距离相等 2 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 由此性质引出一条重要的辅助线 连接内心和三角形的顶点 该线平分三角形的这个内 角 六 圆和圆的位置关系 第 44 页 共 45 页 1 外离 外切 相交 内切 内含 包括同心圆 这五种位置关系的定义 1 外离 两个圆没有公共点 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 叫做这两个圆外 离 2 外切 两个圆有惟一的公共点 并且除了这个公共点以外 每个圆上的点都在另一个圆 的外部时 叫做这两个圆外切 这个惟一的公共点叫做切点 3 相交 两个圆有两个公共点 此时叫做这个两个圆相交 4 内切 两个圆有惟一的公共点 并且除了这个公共点以外 一个圆上的都在另一个圆的 内部时 叫做这两个圆内切 这个惟一的公共点叫做切点 5 内含 两个圆没有公共点 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 叫做这两个圆 内含 两圆同心是两圆内的一个特例 2 两