柴俊-丁大公-陈咸平--等-编-科学出版社-华东师范大学-高等数学作业集-答案Ch-11-Infinite-series

第11章 无穷级数参考解答1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性： （1） 解：，故原级数收敛。（2） 解：，故原级数发散。2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性： （1） 解：，而级数收敛，故原级数收敛。（2） 解：，而级数发散，故原级数发散。（3） 解：，而级数收敛，故原级数收敛。（4）解：，而级数收敛，故原级数收敛。（利用极限，或）（5）解：，而级数发散，故原级数发散。3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性： （1） 解：，故原级数收敛。（2） 解：，故原级数发散。（3） 解：，故原级数收敛。（4）解：，故原级数收敛。（利用极限）4、用根值审敛法判别下列级数的敛散性： （1） 解：，故原级数收敛。（2） 解：，故原级数收敛。（3） 解：，故原级数收敛。5、判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛： （1） 解：，且，故原级数为Leibniz型交错级数。但因，而发散，故发散。因此，原级数条件收敛。（2） 解：，且，故原级数为Leibniz型交错级数。但因，而收敛，故收敛。因此，原级数绝对收敛。（3）（即） 解：，且，故原级数为Leibniz型交错级数。但因发散，故原级数条件收敛。（4）解：考察函数，因时， ，故函数在上单调下降。由此可知，当时，且易知，故原级数为Leibniz型交错级数。但因，而发散，故发散。因此，原级数条件收敛。6、求下列幂级数的收敛区间： （1）解：，故得。时，级数为；时，级数为，上述级数均收敛，故原幂级数的收敛区间为。（2）解：，故得。时，级数为，此系Leibniz型交错级数；时，级数为，此系调和级数。故原幂级数的收敛区间为。（3）解：原幂级数即为，此为缺项幂级数。因，故由，得。时，级数均成为，发散。故原幂级数的收敛区间为。（4）解：，故得。时，级数为，发散；时，级数为，系Leibniz型交错级数。故原幂级数的收敛区间为。（5）解：，故得，原幂级数的收敛区间为。7、利用逐项求导或逐项积分求下列幂级数的和函数： （1）解：，故得。时，相应的级数均发散（一般项不趋于零）。故幂级数的收敛区间为。设，则，故得，。（2）解：，故得。时，相应的级数均发散。故幂级数的收敛区间为。设，则当时，有。当时，但，故得，于是得，。因此，所求幂级数之和函数为（3）解：，故得。时，相应的级数为，因，而发散，故发散。时，相应的级数为，为Leibniz型交错级数。故幂级数的收敛区间为。设，则当时，有。当时，其中，。因，故得，于是因此，所求幂级数之和函数为8、将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） （）（2） （）（3） （）（4） （）（5） （）（6） 解：设，则 （） （） （）（7） 解：， （8） 解：， 9、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） （2） （）10、求级数的和。 解：先求幂级数的和函数。易知其收敛区间为。设 则当时，其中，。因，故得，于是所求级数的和即为。11、设，试将展成x的幂级数，并求级数之和。解：当时， 因，故得。1213、略。14、设，其中（），求解：因为所给Fourier级数为余弦级数，故先将偶延拓到上，即然后将延拓成这个实数轴上的以2为周期的函数。于是，根据Dirichlet收敛条件，得注：周期的大小可从公式看出。15-16、略。（第15题课上已介绍）17、判别下列级数之敛散性：（1）解：因（Taylor公式），故所求极限为1，故原级数收敛。（2）解：1 ，但级数收敛，故原级数收敛。2 ，但级数发散，故原级数发散。18、设收敛，且，证明收敛。证明：因收敛，故部分和数列收敛，即存在；又，故因此，极限存在，从而知收敛。19、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。证明：因，在点连续，故知。于是故由Taylor公式，（其中），从而得。于是，但级数收敛，故原级数绝对收敛。20、设幂级数的收敛半径为3，求幂级数的收敛区间。解：故所求收敛区间为。21、将函数展成x的幂级数，并指明收敛域，利用展开式求级数的和。解：， 另一方面，故得 令，得，从而得。22、设，试将它展开成以2为周期的Fourier级数，并用它来求。 解：，故所求Fourier级数为 令，得，即，故得。如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！15