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矩阵在工程中的应用戴维理 201221010603 通信与信息工程学院摘要：矩阵是数学的基本概念之一。作为线性代数的核心内容，矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。关键词：矩阵；密码学；化学；数学建模；应用Abstract：Matrix is one of the fundamental conception in mathematics.As the core content in the linear algebra,It is used in various domains like mathematical modeling,cryptology,chemistry,communication&computer science,etc.and also solve a large amount of practical problems.Keyword：matrix,cryptology,chemistry,mathematical modeling,application.一、 矩阵在密码学中的应用古罗马时期，凯撒大帝为了避免信使在途中背杀以至于情报被敌军劫走，发明了一种方法，即，把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第四个字母。人们为了纪念凯撒，就把这种密码称为凯撒密码。但是凯撒密码有一个致命的缺陷，即每个字母与经过转化后的字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。后来凯撒改良了此种方法，将羊皮纸做成长条绑在木棍上，纵向书写，再展开，如果不按照规定的方法捆绑，就无法读出真实的内容。到了1929年，Hill提出了一种克服凯撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞生从此是密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段。下面举两个利用二阶矩阵的例子来说明Hill密码的加密与解密。如I love you这句话，我们对此进行加密和解密。首先，我们把A-Z26个字母分别编号为1,2,324,25,0。其次，两两一组把明文分组，如果明文字母个数为奇数，则在最后随意加一字母，比如Il ov ey ou。第三，把分过组的字母按照编号转化为1*2数字矩阵Qi：Q1=（912 ），Q2=（1522 ），Q3=（525 ），Q4=（1521 ）第四，取二阶方阵A=（3021）分别左乘Qi，得到Pi=AQi：P1=（2730 ），P2=（4552 ），P3=（1530 ），P4=（4551 ）第五，每个Pi的分量对26取同余，得到余数：1,4,19,0,15,4,19,25。第六，把这些余数矩阵转化为英文字母，这就得到了利用Hill方法加密后的密文：Ad，sz，od，sy。解码时只要通过A的逆矩阵就可以把原话给求出来。I love you。二、 矩阵在化学中的应用化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。定义：化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种原子的个数，排列成的数字表成为化学反应矩阵。例如：2H2+O2=2H2O的反应矩阵为（202021），其中行数代表是各个元素，比如第一行代表氢，第二行代表氧。列数代表各个物质，如第一列代表氢气，第二列代表氧气，第三列代表水。各个数值表示该物质中含有的对应元素的原子个数，比如第二行第二列代表氧气中含有两个氧原子。第二行第三列代表水中含有一个氧原子。在遇到复杂的化学方程式时，我们可以利用克拉默法则进行求解，如：KMnO4=K2MnO4+MnO2+O2这是高锰酸钾光解或加热后的反应方程式，这个式子中有4个物质，它们由3种原子（钾，锰和氧）组成。因此，化学反应矩阵如下：P=（120011104422）矩阵中第一行代表钾，第二行代表锰，第三行代表氧。列代表每一种元素在各个物质中的原子数量。接下来，我们分别将第一列，第二列，第三列和第四列去掉，构成四个3*3的方阵：P1=（200110422）P2=（100110422）P3=（120110442）P4=（120111442）不难求得，各个方阵的行列式值的绝对值为4,2,2,2。因此，化学反应方程式的系数可以写成：2KMnO4=K2MnO4+MnO2+O2这种方法在参与反应的物质较多的时候可以大大降低运算程度，占有很好的优势。然而它也有很明显的局限性，因为涉及到行列式求值问题，所以被“削减”后的矩阵必须是方阵，进而可以推出，必须满足“参与反应的物质数量必须比参与反应的元素的数量多一个”这样严苛的条件才能够使用此种方法。三、 矩阵在数学建模中的应用矩阵在数学建模中也有极大的作用，这里以方幂为例，如果我们设想有ABCD四个地点，其中各个地点间的道路连通情况如图所示：可以写出其转移矩阵如下：P1=（0111000101001010）其中，上角标1代表一步的转移状态，矩阵中0代表从X点到Y点没有道路直达，1代表有一条路直达。如AB有一条路直达，因此P12=1。同理，我们可以将P2P3算出：P2=（1111101000010211）P3=（1222021110101112）依旧以AB为例，上式中的角标2和3代表两步转移状态和三步转移状态，在P2中，P12=1，代表AB有一条路可以两步到达，即ACB；而在P3中，P12=2，代表AB有两条路可以三步到达，即ADCB和ADAB。由此，我们可以推算出N次转移时，Pn的选择路线。四、 总结从上面这些例子不难看出，矩阵的应用是十分有必要，也是十分简便的。它帮助我们解决了大量的实际问题，由此见得工程数学的存在意义。参考文献 矩阵在数学建模中的应用举例，刘鹏，楚雄师范学院学报，2006年6月，第21卷，第6期 线性代数教学中的矩阵应用实例，刘卫锋，周长芹，中国科技信息，2009年6月刊 矩阵的应用，蔡丽君，中国西部科技，2006年12月刊