经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

极坐标与参数方程综合测试题1在极坐标系中，已知曲线C：=2cos，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+2在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin（+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长3在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：2=4（cos+sin）6若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系（）求圆C的参数方程；（）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标4若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求.5在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标6在极坐标系中，曲线C的方程为2=，点R（2，）（）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值7已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2cos（）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（）若直线=（R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度8在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为cossin=2，曲线C的极坐标方程为sin2=2pcos（p0）（1）设t为参数，若x=2+t，求直线l的参数方程；（2） 已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（2，4），且|PQ|2=|MP|MQ|，求实数p的值9在极坐标系中，射线l：=与圆C：=2交于点A，椭圆的方程为2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（）求点A的直角坐标和椭圆的参数方程；（）若E为椭圆的下顶点，F为椭圆上任意一点，求的取值范围10已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由11已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值12设点A为曲线C：=2cos在极轴Ox上方的一点，且0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程13在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，实数a0），曲线C2：（为参数，实数b0）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=（0，0）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点当=0时，|OA|=1；当=时，|OB|=2（）求a，b的值；（）求2|OA|2+|OA|OB|的最大值14在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系（）求C2的极坐标方程；（）设曲线C3的极坐标方程为sin（）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值15已知半圆C的参数方程为，a为参数，a，（）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（）在（）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标16已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与C2交点的极坐标（0，02）极坐标与参数方程综合测试题答案一解答题（共16小题）1在极坐标系中，已知曲线C：=2cos，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y22x=0即（x1）2+y2=1曲线C1的直角坐标方程为=1，曲线C表示焦点坐标为（，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，+=2在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin（+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长【解答】解：（I）利用cos2+sin2=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x1）2+y2=1，22cos=0，即=2cos（II）设（1，1）为点P的极坐标，由，解得设（2，2）为点Q的极坐标，由，解得1=2，|PQ|=|12|=2|PQ|=23在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：2=4（cos+sin）6若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系（）求圆C的参数方程；（）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标【解答】（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程解：（）因为2=4（cos+sin）6，所以x2+y2=4x+4y6，所以x2+y24x4y+6=0，即（x2）2+（y2）2=2为圆C的普通方程（4分）所以所求的圆C的参数方程为（为参数）（6分）（）由（）可得，（7分）当 时，即点P的直角坐标为（3，3）时，（9分）x+y取到最大值为6（10分）4若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求.【解答】解：（1）=，2sin2=6cos，曲线C的直角坐标方程为y2=6x曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线（2）直线l的参数方程可化为，代入y2=6x得t24t12=0解得t1=2，t2=6|=|t1t2|=85在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标【解答】解：（1）由消去参数，得曲线C1的普通方程为由得，曲线C2的直角坐标方程为（2）设P（2cos，2sin），则点P到曲线C2的距离为当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为6在极坐标系中，曲线C的方程为2=，点R（2，）（）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值【解答】解：（）由于x=cos，y=sin，则：曲线C的方程为2=，转化成点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）（）设P（）根据题意，得到Q（2，sin），则：|PQ|=，|QR|=2sin，所以：|PQ|+|QR|=当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为47已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2cos（）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（）若直线=（R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（为参数），利用平方关系消去可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y22x+2y5=0，可得极坐标方程：cos+2sin5=0曲线C2的极坐标方程为=2cos，即2=2cos，可得直角坐标方程：x2+y2=2x（II）把直线=（R）代入cos+2sin5=0，整理可得：225=0，1+2=2，12=5，|PQ|=|12|=28在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为cossin=2，曲线C的极坐标方程为sin2=2pcos（p0）（1）设t为参数，若x=2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（2，4），且|PQ|2=|MP|MQ|，求实数p的值【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为cossin=2，化为直角坐标方程：xy2=0x=2+t，y=x2=4+t，直线l的参数方程为：（t为参数）（2）曲线C的极坐标方程为sin2=2pcos（p0），即为2sin2=2pcos（p0），可得直角坐标方程：y2=2px把直线l的参数方程代入可得：t2（8+2p）t+8p+32=0t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2|PQ|=|t1t2|=|PQ|2=|MP|MQ|，8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p4=0，解得p=19在极坐标系中，射线l：=与圆C：=2交于点A，椭圆的方程为2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（）求点A的直角坐标和椭圆的参数方程；（）若E为椭圆的下顶点，F为椭圆上任意一点，求的取值范围【解答】解：（）射线l：=与圆C：=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆的方程为2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（为参数）；（）设F（cos，sin），E（0，1），=（，2），=（cos，sin1），=3cos+32（sin1）=sin（+）+5，的取值范围是5，5+10已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（为参数），普通方程为（x1）2+（y1）2=4，直线l的极坐标方程为=，直角坐标方程为xy4=0；（2）点P到直线l的距离d=，=2k，即=2k（kZ），距离的最小值为22，点P的直角坐标（1+，1）11已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值【解答】解：（I）由可得=x2，2=（x2）2，即y2=4（x1）；（）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值设M2（r21，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d=|M1M2|的最小值为12设点A为曲线C：=2cos在极轴Ox上方的一点，且0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B轨迹的极坐标方程【解答】（1）为参数）（2）：设A（0，0），且满足0=2cos0，B（，），依题意，即代入0=2cos0并整理得，所以点B的轨迹方程为，13在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，实数a0），曲线C2：（为参数，实数b0）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=（0，0）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点当=0时，|OA|=1；当=时，|OB|=2（）求a，b的值；（）求2|OA|2+|OA|OB|的最大值【解答】解：（）由曲线C1：（为参数，实数a0），化为普通方程为（xa）2+y2=a2，展开为：x2+y22ax=0，其极坐标方程为2=2acos，即=2acos，由题意可得当=0时，|OA|=1，a=曲线C2：（为参数，实数b0），化为普通方程为x2+（yb）2=b2，展开可得极坐标方程为=2bsin，由题意可得当时，|OB|=2，b=1（）由（I）可得C1，C2的方程分别为=cos，=2sin2|OA|2+|OA|OB|=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=+1，2+，+1的最大值为+1，当2+=时，=时取到最大值14在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求C2的极坐标方程；（）设曲线C3的极坐标方程为sin（）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值【解答】解：（）C2的参数方程为（为参数），普通方程为（x1）2+y2=1，C2的极坐标方程为=2cos；（）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为sin（）=1，直角坐标方程为xy2=0，圆心到直线的距离d=，|PQ|=2=15已知半圆C的参数方程为，a为参数，a，（）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（）在（）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标【解答】解：（）由半圆C的参数方程为，a为参数，a，则圆的普通方程为x2+（y1）2=1（0x1），由x=cos，y=sin，x2+y2=2，可得半圆C的极坐标方程为=2sin，0，；（）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，则sinTAO=，由于TAO0，则TAO=，由于TAO=TOX，所以TOX=，T点的极坐标为（，）16已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与C2交点的极坐标（0，02）【解答】解：（）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x4）2+（y5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y28x10y+16=0将x=cos，y=sin代入上式，得28cos10sin+16=0，此即为C1的极坐标方程；（）曲线C2的极坐标方程为=2sin化为直角坐标方程为：x2+y22y=0，由，解得或C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）