平面向量数量积的运算(附答案).doc

平面向数量积的计算一、选择题（共9小题）1、（2011辽宁）若a，b，c为单位向量，且ab=0，（ac）（bc）0，则a+bc的最大值为（）A、21B、1C、2D、22、在边长为1的等边ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则ab+bc+ca=（）A、32B、0C、32D、33、若a=（x，1），b=（2，3x），且x0那么aba2+b2的取值范围是（）A、（，22）B、0，24C、24，24D、22，+）4、在ABC中，a=5，b=8，C=60，则BCCA的值为（）A、10B、20C、10D、205、在边长为2的正三角形ABC中，设AB=c，BC=a，CA=b，则ab+bc+ca等于（）A、0B、1C、3D、36、如图，P为AOB所在平面上一点，向量OA=a，OB=b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量OP=C若|a|=3，|b|=2，则c（ab）的值为（）A、5B、3C、52D、327、ABC内有一点O，满足OA+OB+OC=0，且OAOB=OBOC则ABC一定是（）A、钝角三角形B、直角三角形C、等边三角形D、等腰三角形8、设a，b，c均为单位向量，且ab，则（a+c）（b+c）的最小值为（）A、1B、12C、22D、29、设向量m=（sinB，3cosB），n=（3cosC，sinC），且A、B、C分别是ABC的三个内角，若mn=1+cos（B+C），则A=（）A、56B、3C、23D、6二、填空题（共10小题）10、已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|等于_11、（2008江西）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：（A）AC+AF=2BC；（B）AD=2AB+2AF；（C）ACAD=ADAB；（D）（ADAF）EF=AD（AFEF）其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）12、在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BAD=60，E为CD的中点，则AEBD=_13、如图，OAB中|OA|=3，|OB|=2，点P在线段AB的垂直平分线上，记向量OA=a，OB=b，OP=c，则c（ab）的值为_14、在ABC中，若C=90，AC=BC=4，则BABC=_15、如图，向量OA与x轴方向相同，向量OB与x轴正半轴的夹角为23，OA=2，OB=1，且OA+OB+OC=0，则OC=_16、ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，点D是边AC上的点，且AD=13DC，则BDAC=_17、已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=a，且|c|1，a（bc）=0，则实数的取值范围是_18、如图，A，B，C是直线l上三点，P是直线l外一点，已知AB=BC=a，APB=90，BPC=45，记PBA=，则PAPC=_（用a表示）19、ABAC可以看成向量AB在向量AC上的投影与AC的乘积已知点B，C在以AD为直径的圆上，若AB=2，AC=3，则ADBC的值为_答案与评分标准一、选择题（共9小题）1、（2011辽宁）若a，b，c为单位向量，且ab=0，（ac）（bc）0，则a+bc的最大值为（）A、21B、1C、2D、2考点：平面向量数量积的运算；向量的模。专题：计算题；整体思想。分析：根据（ac）（bc）0及a，b，c为单位向量，可以得到c（a+b）1，要求a+b+c的最大值，只需求a+b+c2的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得解答：解：（ac）（bc）0，即abc（a+b）+c20，又a，b，c为单位向量，且ab=0，c（a+b）1，而a+bc2=a2+b2+b2+2ab2c（a+b）=32c（a+b）32=1a+bc的最大值为1故选B点评：此题是个中档题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力2、在边长为1的等边ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则ab+bc+ca=（）A、32B、0C、32D、3考点：平面向量数量积的运算。分析：直接应用数量积进行计算即可得到答案解答：解：在边长为1的等边ABC中，a=b=c=1，则ab+bc+ca=abcosa，b+bccosb，c+cacosc，a=32故选A点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意向量的夹角，是基础题3、若a=（x，1），b=（2，3x），且x0那么aba2+b2的取值范围是（）A、（，22）B、0，24C、24，24D、22，+）考点：平面向量数量积的运算；函数的值域。专题：计算题；综合题；分类讨论。分析：化简aba2+b2，当x0时利用基本不等式推出它的范围即可解答：解：aba2+b2=2x+3xx2+1+4+9x2=x2x2+1当x0时，上式=11x+2x122=24（等号成立的条件是x=22）因为x0，aba2+b2的取值范围0，24故选B点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数的值域，基本不等式的应用，是基础题4、在ABC中，a=5，b=8，C=60，则BCCA的值为（）A、10B、20C、10D、20考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：由数量积的定义BC与CA的模分别是a和b的长度，而BC与CA的夹角为角C的补角，即180C=18060=120，代入计算即可解答：解：由题意可知BC与CA的夹角为180C=18060=120，BCCA=BCCAcos1200=58（12）=20故选D点评：本题考查向量数量积的运算，属基本题型、基本运算的考查，在解题中，要弄清两向量的夹角5、在边长为2的正三角形ABC中，设AB=c，BC=a，CA=b，则ab+bc+ca等于（）A、0B、1C、3D、3考点：平面向量数量积的运算。分析：由向量数量积的定义ab=abcosa，b可知要求ab+bc+ca需求出|a|，|b|，|c|以及这三个向量之间的夹角然后代入计算即可求解解答：解：在边长为2的正三角形ABC中，设AB=c，BC=a，CA=b|a|=|b|=|c|=2且a，b=150，b，c=30，c，a=150由向量数量积的定义可得则ab+bc+ca=22cos150+22cos30+22cos150=14=3故选D点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算解题的关键是要根据边长为2的正三角形ABC求出|a|=|b|=|c|=2且a，b=150，b，c=30，c，a=150而再求两个向量的夹角时要时刻牢记需将这两个向量平移到共起点然后再找夹角！6、如图，P为AOB所在平面上一点，向量OA=a，OB=b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量OP=C若|a|=3，|b|=2，则c（ab）的值为（）A、5B、3C、52D、32考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：直接按照数量积的定义公式不易求解，c与（ab）夹角及模均不确定，建立平面直角坐标系，也不易求解，注意到P在线段AB的垂直平分线上，若设AB中点为D，则OP=OD+OP，OD=12（OA+OB），且DPBA=0，代换转化为OA，OB的运算解答：设AB中点为D，则OP=OD+OP，OD=12（OA+OB），c（ab）=（OD+OP）BA=ODBA+DPBA=12（OA+OB）（OAOB）+0=12（a2b2）=12（94）=52故选C点评：本题考查向量数量积的运算，考查转化计算能力向量数量积ab的计算常通过下列途径：直接按照定义公式，求出两向量的模及夹角余弦值，代入公式计算利用向量数量积的几何意义，整体求出bcos，即a在b方向上的投影，再与a相乘建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算求值选择一组基底，将有关向量用基向量表示，转化为基向量间的运算7、ABC内有一点O，满足OA+OB+OC=0，且OAOB=OBOC则ABC一定是（）A、钝角三角形B、直角三角形C、等边三角形D、等腰三角形考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；综合题。分析：由OAOB=OBOC移向，利用数量积的运算法则，可得CAOB；由OA+OB+OC=0移向结合向量加法的平行四边形法则可以判断点O为ABC的重心，两者结合即可判断出ABC的形状解答：解：由OAOB=OBOC可得（OAOC）OB=0即CAOB=0，所以CAOB，即点O在边AC的高线上；由OA+OB+OC=0得OA+OC=0B，设AC的中点为D，则OA+OC=2OD=0B，即点O在边AC的中线上，所以ABC一定是等腰三角形故选D点评：本题考查向量的运算在三角形中的应用，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力8、设a，b，c均为单位向量，且ab，则（a+c）（b+c）的最小值为（）A、1B、12C、22D、2考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；函数思想；方程思想。分析：结合题意，把a，b，c用坐标的形式表示，从而把向量的最值问题转化为代数问题求解解答：解：a，b，c均为单位向量，且ab，不妨设a=（1，0），b=（0，1），c=（cos，sin），（a+c）（b+c）=cos2+sin2+cos+sin=1+（cos+sin）=1+2sin（+4），1sin（+4）1，12（a+c）（b+c）1+2，故选B点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数与方程思想，是中档题9、设向量m=（sinB，3cosB），n=（3cosC，sinC），且A、B、C分别是ABC的三个内角，若mn=1+cos（B+C），则A=（）A、56B、3C、23D、6考点：同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算。专题：综合题。分析：根据平面向量的数量积的运算法则化简已知的等式，由A+B+C=，得到B+C=A，利用诱导公式得到sin（B+C）=sinA，代入化简后的式子中，得到一个关系式，记作，根据同角三角函数间的基本关系得到另一个关系式，记作，联立，求出sinA和cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数解答：解：由A+B+C=，得到B+C=A，则mn=sinB3cosC+3cosBsinC=3sin（B+C）=1+cos（B+C），即3sinA=1cosA，变形得：3sinA+cosA=1，又sin2A+cos2A=1，由得：cosA=13sinA，把代入得：2sinA（2sinA3）=0，解得：sinA=0（舍去），sinA=32，将sinA=32代入得：cosA=132=12，又A（0，），则A=23故选C点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，以及同角三角函数间的基本关系在求出sinA的值后，一定注意再求出cosA的值，由cosA的值为负数得到A为钝角，这是学生容易出错的地方二、填空题（共10小题）10、已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|等于13考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：因为a、b均为单位向量，且夹角为60，所以可求出它们的模以及数量积，欲求|a+3b|，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，把前面所求代入即可解答：解；a，b均为单位向量，|a|=1，|b|=1又两向量的夹角为60，ab=|a|b|cos60=12|a+3b|=a2+（3b）2+6ab=1+9+3=13故答案为13点评：本题考察了单位向量，数量积的概念，以及向量的模的求法，属于向量的综合运算11、（2008江西）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：（A）AC+AF=2BC；（B）AD=2AB+2AF；（C）ACAD=ADAB；（D）（ADAF）EF=AD（AFEF）其中真命题的代号是A、B、D（写出所有真命题的代号）考点：平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义。专题：常规题型。分析：结合图形，依据向量的基础知识，逐一判断即可得到结果解答：解：AC+AF=AC+CD=AD=2BC，A对取AD的中点O，则AD=2AO=2AB+AF，B对设AB=1，则ACAD=32cos6=3，而ADAF=21cos3=1，C错又ABAD=12cos3=1=（AF）2，D对真命题的代号是A，B，D故选A，B，D点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量加减混合运算及其几何意义，是基础题12、在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BAD=60，E为CD的中点，则AEBD=32考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：先根据两个向量的数量积的定义，求出ABAD的值，利用，AEBD=（AD+AB2）（ADAB）=AD212ABAD12AB2进行运算求值解答：解：由题意得ABAD=21cos60=1，AEBD=（AD+AB2）（ADAB）=AD212ABAD12AB2=1122=32，故答案为：32点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用13、如图，OAB中|OA|=3，|OB|=2，点P在线段AB的垂直平分线上，记向量OA=a，OB=b，OP=c，则c（ab）的值为52考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用c=b+BH+HP及c=a+AH+HP，求出c=HP+a+b2，代入式子并利用HP（ab）=0进行运算解答：解：连接PA、PB，设 AB的中点为H，则HP为线段AB的中垂线，HP（ab）=0，c=OP=OB+BH+HP=b+BH+HP，c=OP=OA+AH+HP=a+AH+HP 把相加可得c=HP+a+b2，c（ab）=（HP+a+b2）（ab）=0+a2b22=942=52OA OB点评：本题考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，体现了数形结合的数学思想14、在ABC中，若C=90，AC=BC=4，则BABC=16考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用向量垂直的充要条件得到CABC=0；利用向量的运算法则将BA用BC，CA表示，利用向量的运算律求出BABC的值解答：解：C=90CABC=0BA=BC+CABABC=（BC+CA）BC=BC2+CABC=16故答案为：16点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律15、如图，向量OA与x轴方向相同，向量OB与x轴正半轴的夹角为23，OA=2，OB=1，且OA+OB+OC=0，则OC=（32，32）考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：先求出A、B两个点的坐标，根据OA+OB+OC=0，计算OC的坐标解答：解：由题意可知：A（2，0），即向量OA=（2，0）；B（12，32），则向量OB=（12，32），OA+OB+OC=0，OC=（OA+OB）=（32，32）故答案为：（32，32）点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量和复平面内的点的对应关系，是基础题16、ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，点D是边AC上的点，且AD=13DC，则BDAC=174考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用两个向量的数量积的定义求出BDAC=（BA+AD）AC=21cosA+494余弦定理求出cosA代入可求得结果解答：解：由题意得 AD=14AC=74，BDAC=（BA+AD）AC=BAAC+ADAC=BAAC（cosA）+747=21cosA+494ABC中，由余弦定理得 25=9+49237cosA，cosA=3342，BDAC=213342+494=174，故答案为：174点评：本题考查两个向量的数量积的定义，余弦定理的应用，计算BAAC是本题得易错点17、已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=a，且|c|1，a（bc）=0，则实数的取值范围是（1，1）考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，由a（bc）=0，变化式子为模和夹角的形式，整理出的表达式，根据夹角的范围得到结果解答：解：a（bc）=0，c=a，baa2=0，abcos=a2且0，a，b是平面内的两个单位向量，=cos，|c|1，1，实数的取值范围是（1，1）故答案为（1，1）点评：本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算，本题是把向量的数量积同三角函数问题结合在一起属中档题18、如图，A，B，C是直线l上三点，P是直线l外一点，已知AB=BC=a，APB=90，BPC=45，记PBA=，则PAPC=45a2（用a表示）考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；综合题。分析：三角形ABP是直角三角形，求出PA、PB，再有正弦定理求PC，结合余弦定理，求出的余弦值，求数量积即可解答：解：PA=asin，PB=acos，PC=sin（）asin45=2asin，且PC2=PB2+BC22PBBCcos（）=a2+a2cos2+2a2cos2=a2+3a2cos2，2a2sin2=a2+3a2cos2，解得sin2=45，则PAPC=PAPCcos135=2a2sin222=45a2，故答案为：45a2点评：本题考查平面向量数量积，正弦定理，余弦定理等知识，是综合题19、ABAC可以看成向量AB在向量AC上的投影与AC的乘积已知点B，C在以AD为直径的圆上，若AB=2，AC=3，则ADBC的值为5考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；综合题。分析：根据向量加法的三角形法则可得ADBC=AD（ACAB）=ADACADAB，利用已知条件点B，C在以AD为直径的圆上，以及向量数量积的几何意义可求得结果解答：解：ADBC=AD（ACAB）=ADACADAB点B，C在以AD为直径的圆上，ADACADAB=AC2AB2=94=5，故答案为：5点评：此题考查平面向量数量积的几何意义以及向量加法的三角形法则，把BC用AC、AB来表示是解题的关键，属中档题菁优网 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