高考数学题函数部分.doc

2009 年高考数学试题分类汇编 函数 一 选择题 1 2009 年广东卷文 若函数 yfx 是函数 1xyaa 0 且 的反函数 且 2 1f 则 fx A 2log B x21 C x21log D 2 x 2 2009 年广东卷文 函数 xef 3 的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 w w w k s 5 u c o m 3 2009 浙江文 若函数 2 afx R 则下列结论正确的是 A a R f在 0 上是增函数 w w w k s 5 u c o m B 在 上是减函数 C fx是偶函数 D a 是奇函数 4 2009 北京文 为了得到函数 3lg10 xy 的图像 只需把函数 lgyx 的图像上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 C 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 5 2009 山东卷文 函数 xey 的图像大致为 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 6 2009 山东卷文 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 0 2 1 4log2xfxf 则 f 3 的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 7 2009 山东卷文 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 fxfx 且在区间 0 2 上 是增函数 则 A 25 180 fff B 80 1 25 fff C 25 D 25 8 2009 安徽卷文 设 函数 的图像可能是 9 2009 江西卷文 函数 234xy 的定义域为 A 4 1 B 4 0 C 0 1 D 4 0 1 10 2009 江西卷文 已知函数 f是 上的偶函数 若对于 x 都有 2 fxf 且当 2 x 时 2log x 则 28 9 ff 的值为 A B 1 C 1 D 11 2009 江西卷文 如图所示 一质点 Py在 O平面上沿曲线运动 速度大小不 变 其在 x轴上的投影点 0 Qx的运动速度 Vt 的图象大致为 yxO Py 0 Qx A B C D 12 2009 江西卷文 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3yx 和 21594ax 都相切 则a 等于 A 1 或 25 64 B 或 24 C 74 或 6 D 7或 13 2009 天津卷文 设 3 02131 log l cba 则 A a b c B a c b C b c a D b ax 2 则下面的不等式 在 R 内恒成立的是 A 0 xf B 0 xf C xf D xf 16 2009 四川卷文 已知函数 f是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数 且对任意实 数 x都有 1 xf 则 25 的值是 A 0 B 2 C 1 D 25 17 2009 湖南卷文 log的值为 A 2 B C 2 D 1 18 2009 湖南卷文 设函数 yfx 在 内有定义 对于给定的正数 K 定义函数 K Kff O VttO VttO VttO Vtt 取函数 2xf 当 K 1时 函数 Kfx的单调递增区间为 A 0 B 0 C 1 D 1 19 2009 辽宁卷文 已知函数 fx满足 x 4 则 fx 2x 当 x 4 时 f 1 fx 则 2 log3 f A 24 B 1 C 18 D 38 20 2009 辽宁卷文 已知偶函数 fx在区间 0 单调增加 则满足 21 fx 1 3f 的 x 取值范围是 A 2 B 13 2 C 12 3 D 2 3 21 2009 陕西卷文 定义在 R 上的偶函数 fx满足 对任意的 112 0 xx 有 21 0fxf 则 A 3 ff B 1 2 3 ff C 213 D 3 22 2009 陕西卷文 设曲线 1 nyxN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标 为 nx 则 12nx 的值为 A B 1 C 1n D 1 23 2009 福建卷文 下列函数中 与函数 yx 有相同定义域的是 A lnfx B fx C f D xfe 24 2009 福建卷文 定义在 R 上的偶函数 x的部分图像如右图所示 则在 2 0 上 下列函数中与 fx的单调性不同的是 A 21y B x C 3 21 0 xy D 0 xeo 25 2009 福建卷文 若函数 fx的零点与 42xg 的零点之差的绝对值不超过 0 25 则 fx可以是 A 41 B 2 1 fx C xfe D fIn 26 2009 重庆卷文 把函数 3 fx 的图像 1C向右平移 u个单位长度 再向下平移v 个单位长度后得到图像 2C 若对任意的 0u 曲线 与 2至多只有一个交点 则 v的 最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 二 填空题 1 2009 辽宁卷文 若函数 2 1xaf 在 处取极值 则 a 2 2009 重庆卷理 若 xf 是奇函数 则 3 若曲线 2fxaIn 存在垂直于 y轴的切线 则实数 a的取值范围是 4 2009 上海卷文 函数 f x x3 1 的反函数 f 1 x 5 2009 北京文 已知函数 1 xf 若 2x 则 6 2009 北京理 若函数 0 1 3xf 则不等式 1 3fx 的解集为 7 2009 江苏卷 函数 2 56f 的单调减区间为 8 2009 江苏卷 在平面直角坐标系 xoy中 点 P 在曲线 3 10Cyx 上 且在第二 象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 9 2009 江苏卷 已知 512a 函数 xfa 若实数 m n满足 ffn 则m n的大小关系为 10 2009 江苏卷 已知集合 2log AxB 若 AB 则实数 a的取值范 围是 c 其中 c 11 2009 山东卷理 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 fxfx 且在区间 0 2 上 是增函数 若方程 f x m m 0 在区间 8 上有四个不同的根 123 则1234 xx 12 2009 山东卷文 若函数 f x a x x a a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 13 2009 四川卷文 设 V是已知平面 M上所有向量的集合 对于映射 fV 记 a的象为 f 若映射 f 满足 对所有 ab 及任意实数 都有 fbab 则 f称为平面 上的线性变换 现有下列命题 设 是平面 M上的线性变换 aV 则 ffb 若 e是平面 上的单位向量 对 ae 设 则 是平面 M上的线性变换 对 aVf 设 则 f是平面 M上的线性变换 设 f是平面 上的线性变换 aV 则对任意实数 k均有 fakf 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 14 2009 陕西卷理 设曲线 1 nyxN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx 令 lgnax 则 129a 的值为 15 2009 宁夏海南卷文 曲线 2xye在点 0 1 处的切线方程为 16 2009 重庆卷文 记 3 log 1 fx 的反函数为 1 yfx 则方程 1 8fx 的解x 三 解答题 1 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知二次函数 xgy 的导函数的图像与直线 2yx 平行 且 xgy在 1 处取得最小 值 m 1 m 0 设函数 xf 1 若曲线 xfy上的点 P 到点 Q 0 2 的距离的最小值为 求 m 的值 2 Rk 如何取值时 函数 kxfy 存在零点 并求出零点 2 2009 浙江文 本题满分 15 分 已知函数 32 1 faxxb ab I 若函数 fx的图象过原点 且在原点处的切线斜率是 求 的值 II 若函数 在区间 1 上不单调 求 a的取值范围 3 2009 北京文 本小题共 14 分 设函数 3 0 fxab 若曲线 yf在点 2 fx处与直线 8y 相切 求 ab的值 求函数 x的单调区间与极值点 4 2009 山东卷文 本小题满分 12 分 已知函数 321 fabx 其中 0a 当 ba 满足什么条件时 f取得极值 已知 0 且 xf在区间 0 1 上单调递增 试用 表示出 b的取值范围 5 设函数 3214axa 其中常数 a 1 讨论 f x 的单调性 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 w w w k s 5 u c o m 6 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 设函数 329 6fxx 对于任意实数 fm 恒成立 求 的最大值 若方程 0fx有且仅有一个实根 求 a的取值范围 2009 天津卷文 本小题满分 12 分 设函数 0 1 31 2 mRxf 其 中 当 时 1 m曲线 在 点 1 fxfy处的切线斜率 求函数的单调区间与极值 已知函数 f有三个互不相同的零点 0 21 x 且 21x 若对任意的 21x 1 xf 恒成立 求 m 的取值范围 2009 四川卷文 本小题满分 12 分 已知函数 32 fxbcx 的图象在与 x轴交点处的切线方程是 510yx 求函数 的解析式 设函数 1 3gxfmx 若 g的极值存在 求实数 m的取值范围以及函数 gx取 得极值时对应的自变量 的值 2009 湖南卷文 本小题满分 13 分 已知函数 32 fxbcx 的导函数的图象关于直线 x 2 对称 求 b 的值 若 f在 t处取得最小值 记此极小值为 gt 求 t的定义域和值域 2009 辽宁卷文 本小题满分 12 分 设 2 1 xfea 且曲线 y f x 在 x 1 处的切线与 x 轴平行 求 a 的值 并讨论 f x 的单调性 证明 当 0 cos f in 22 时 2009 陕西卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3 1 0fxa 求 的单调区间 若 fx在 处取得极值 直线 y my 与 yfx 的图象有三个不同的交点 求 m 的 取值范围 2009 宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 已知函数 323 9fxax 设 1a 求函数 f的极值 若 4 且当 1 4x 时 xf 12a 恒成立 试确定 a的取值范围 2009 福建卷文 本小题满分 12 分 已知函数 321 fxaxb 且 1 0f 试用含 a的代数式表示 求 f的单调区间 2009 上海卷文 本题满分 16 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满 分 10 分 有时可用函数 0 15ln 6 4 axfx 描述学习某学科知识的掌握程度 其中 x表示某学科知识的学习次数 xN fx表示 对该学科知识的掌握程度 正实数 a 与学科知识有关 1 证明 当 x 7 时 掌握程度的增长量 f x 1 f x 总是下降 2 根据经验 学科甲 乙 丙对应的 a 的取值区间分别为 115 121 121 127 127 133 当学习某学科知识 6 次时 掌握程度是 85 请确定相应的学科 2009 重庆卷文 本小题满分 12 分 问 7 分 问 5 分 已知 2 fxbc 为偶函数 曲线 yfx 过点 2 gxafx 求曲线 yg有斜率为 0 的切线 求实数 a的取值范围 若当 1x 时函数 x取得极值 确定 yx的单调区间 参考答案 一 选择题 ADCCA BDCDC BABAA ADCAA ABACA B 二 填空题 3 12 0a 31x 3log2 3 2 15 m n c 4 12418xx 1 a 2 3yx 2 三 解答题 解析 1 设 2gxabc 则 2gxab 又 的图像与直线 y平行 1 又 x在 1 取极小值 12 2 gabcm c xf 设 oPxy 则 222000PQy 220mx 24m 2m w w w k s 5 u c o m 2 由 10yfxkx 得 2 当 1k时 方程 有一解 2x 函数 yfxk 有一零点 2mx 当 时 方程 有二解 410m 若 1 函数 yfxk 有两个零点 12kkx 若 0 1km 函数 f有两个零点 41mkk 当 时 方程 有一解 410m 函数 yfxk 有一零点 1xk w w w k s 5 u c o m 解析 由题意得 2 23 axf 又 0 afb 解得 0 b 3 或 1 函数 x在区间 1 不单调 等价于 导函数 f 在 既能取到大于 0 的实数 又能取到小于 0 的实数 即函数 在 上存在零点 根据零点存在定理 有 0 1 f 即 0 2 1 23 1 23 aa 整理得 0 5 a 解得 5 23fx 曲线 yfx在点 2 fx处与直线 8y 相切 203404 2 86abf 2x 当 0a 时 0f 函数 fx在 上单调递增 此时函数 x没有极值点 当 时 由 fxa 当 xa 时 0 函数 fx单调递增 当 时 fx 函数 单调递减 当 x 时 函数 fx单调递增 此时 a 是 fx的极大值点 a 是 f的极小值点 解 1 由已知得 2 1fxb 令 0 f 得 210 xb xf 要取得极值 方程 0 必须有解 所以 240ba 即 2 此时方程 2ax 的根为1 bxa 224baba 所以 12 fax 当 0 时 x x 1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 x在 x 1 x2 处分别取得极大值和极小值 当 0 a时 x x 2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以 x在 x 1 x2 处分别取得极大值和极小值 综上 当 ba满足 时 xf取得极值 2 要使 xf在区间 0 上单调递增 需使 2 10fxabx 在 上恒成立 即 1 2 恒成立 所以 ma b 设 axg 2 1 2xag 令 0得 1或 x 舍去 当 a时 当 0 a 时 0gx 1 2ax 单调增函数 当 1 x时 x单调减函数 所以当 a 时 gx取得最大 最大值为 1 ga 所以 b 当 01a 时 此时 0gx在区间 1 恒成立 所以 1 2axg 在区间 上单调递增 当 时 最大 最大值为 ag 所以 b 综上 当 1 a时 ba 当 01 时 2b 解 I 4 2 axaxxf w w w k s 5 u c o m 由 知 当 时 f 故 f在区间 2 是增函数 当 ax 时 0 x 故 x在区间 是减函数 当 ax2 时 0 xf 故 xf在区间 2 a是增函数 综上 当 1时 f在区间 2 和 是增函数 在区间 2 a是减函数 II 由 I 知 当 x时 xf在 或 0 x处取得最小值 aaaf 421 3 442 f 0 由假设知 w w w k s 5 u c o m 0 21fa 即 024 0 6 3 1a 解得 1 a 6 故 的取值范围是 1 6 解 1 2 3963 1 fxx 因为 fm 即 29 6 0 xm 恒成立 所以 812 0 得 34 即 的最大值为 34 2 因为 当 x 时 f 当 12x 时 fx 当 2 时 0fx 所以 当 时 取极大值 5 fa 当 2x时 f取极小值 故当 0f 或 1 时 方程 0fx仅有一个实根 解得 2a 或 5 解析 解 当 1 2 3 2 fxxfm故时 所以曲线 在 点 xfy 处的切线斜率为 1 w w w k s 5 u c o m 2 解 12 令 0 xf 得到 mx 因为 mm 1 0所 以 当 x 变化时 xf的变化情况如下表 x 1 m 1 m 1 m f 0 0 x 极小值 极大值 f 在 1 m 和 内减函数 在 1 m 内增函数 函数 x在 处取得极大值 1f 且 f 31223 函数 f在 处取得极小值 且 3 解 由题设 3 3 2122 xxmxxf 所以方程 1312 0 由两个相异的实根 21 故 3 且0 4 m 解得 2 舍 因为 3 2 211 xxx故所 以 若 0 3 f则 而 0 1 xf 不合题意 若 21x则对任意的 21x 有 21 则 1 f 又 f 所以函数 xf在 21x 的最 小值为 0 于是对任意的 2x 恒成立的充要条件是 03 m 解得 3 m w w w k s 5 u c o m 综上 m 的取值范围是 3 21 解析 I 由已知 切点为 2 0 故有 0f 即 40bc 又 2 4fxbxc 由已知 185f 得 7 联立 解得 1 所以函数的解析式为 32 fxx 4 分 II 因为 321 gm 令 2410 x 当函数有极值时 则 0 方程 213403xm 有实数解 w w w k s 5 u c o m 由 4 1 m 得 1 当 时 gx 有实数 x 在 左右两侧均有 0gx 故函数 gx无 极值 当 1 时 0 有两个实数根21 33xmxm gx 情况如下表 1 112 2x2 x gx 0 0 极大值 极小值 所以在 1 m时 函数 gx有极值 当 23 x时 有极大值 当 1 2 3 xm时 gx有极小值 解 2 3fxbxc 因为函数 f 的图象关于直线 x 2 对称 所以 6 于是 6 由 知 32 fxcx 22 313 1fxcxc 当 c 12 时 0 此时 无极值 ii 当 c1 则 2 1 1 4 12faaxafxa 故 当 时 不恒成立 所以使 4 x 恒成立的 a 的取值范围是 4 5 I 依题意 得 2 fxb 由 1 0fa 得 1 由 I 得 32 fxxax 故 2 2 令 0fx 则 1 或 x 当 1a 时 a 当 变化时 f与 f的变化情况如下表 x 12 a 2 1 a 1 f 单调递增 单调递减 单调递增 由此得 函数 fx的单调增区间为 12 a 和 单调减区间为 12 a 由 1a 时 21a 此时 0fx 恒成立 且仅在 x 处 0fx 故函数 fx 的单调区间为 R 当 时 同理可得函数 fx的单调增区间为 1 和 2 a 单调减区间为 1 2 a 综上 w w w k s 5 u c o m 当 a 时 函数 fx的单调增区间为 12 a 和 单调减区间为 12 a 当 1 时 函数 f的单调增区间为 R 当 a 时 函数 x的单调增区间为 1 和 2 a 单调减区间为 1 2 a 证明 1 当 7 时 0 4 3 ffxx 而当 7x 时 函数 3 4yx 单调递增 且 3 40 x 故函数 1 ff 单调递减 当 x时 掌握程度的增长量 1 fxf 总是下降 w w w k s 5 u c o m 2 有题意可知 0 5ln0 856a 整理得 6ae 解得 0 52 013 20 1 7 1 13 分 由此可知 该学科是乙学科 14 分 解 2 fxbc 为偶函数 故 fxf 即有2 b 解得 0b 又曲线 yfx过点 2 5 得 25 c有 13gaax 从而 2 31gxax 曲线 ygx 有 斜率为 0 的切线 故有 0g 有实数解 即 20有实数解 此时有241a A 解得 3 所以实数 a的取值范围 3 a 因 x时函数 ygx 取得极值 故有 1 0g 即 210 解得 2a 又 2 411g 令 x 得 1 3x 当 x 时 0 x 故 x在 上为增函数 当 3时 g 故 在 3上为减函数 当 1x 时 x 故 gx在 1 上为增函数 w w w k s 5 u c o m