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新博士教育高二数学摸底试卷 姓名: 得分:第卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若,则的值分别是 ( )ABCD2已知直线,直线,给出下列四个命题:若,则;若,则;若,则;若,则. 其中正确的命题有 ( )A B C D35个人排成一排,若A、B、C三人左右顺序一定(不一定相邻),那么不同排法有( )A B C D4某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( )AB C D5一颗骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6,若以连续掷两次骰子分别得到的 点数m、n作为P点坐标,则点P落在圆内的概率为 ( )A B C D6坛子里放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回摸球 A1表示第一次摸得白球,A2 表示第二次摸得白球,则A1与A2是 ( )A互斥事件 B独立事件 C对立事件D不独立事件7从6种小麦品种中选出4种,分别种植在不同土质的4块土地上进行试验,已知1号、2 号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植,则不同的种植方法有 ( )A144种B180种C240种D300种8在()8的展开式中常数项是 ( )A28B7C7D289甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1,乙解决这个问题的概率是 P2,那么其中至少有1人解决这个问题的概率是 ( )AP1+P2 B P1P2 C1P1P2 D1(1 P1) (1 P2)10袋中有6个白球,4个红球,球的大小相同,则甲从袋中取1个是白球,放入袋中,乙 再取1个是红球的概率为 ( )A B C D第卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题共4小题,每小题6分,共24分。将正确答案填在题中横线上11乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二,四位置,那么不同的出场安排共有_种(用数字作答)12已知斜三棱柱中,侧面的面积为S,侧棱与侧面的距离为d,则斜三棱柱的体积V=_13已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱,那么2FV= 14已知的展开式中,的系数为,则常数的值为_三、解答题:本大题共6小题,满分76分15(本题满分12分)第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前,巴西队、士 耳其队、中国队等8支球队抽签分组,求中国队与巴西队被分在同一组的概率 16(本题满分12分)如图,ABCD为矩形,PA平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点, (1)求证:MN/平面PAD;(2)求证:MNAB; (3)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为, 试确定的值,使得直线MN是异面直线AB 与PC的公垂线17(本题满分12分)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5 (相互独立) (1)求至少3人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于0.3?18(本小题满分12分)某人有5把钥匙,1把是房门钥匙,但忘记了开房门的是哪一把, 于是,他逐把不重复地试开,问: (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少? (2)三次内打开的概率是多少? (3)如果5把内有2把房门钥匙,那么三次内打开的概率是多少?19(本题满分12分)已知的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中二项式系数的最大的项及系数最大项.20(本小题满分12分)如图,在正三棱柱中,M为 的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为N.求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC和NC的长; (3)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小 (用反三角函数表示). 高二数学测试题参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案ABCBBDCCDD二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)11252 12 13 4 144 三、解答题(本大题共6题,共76分)15(12分) 解一:记事件A为“中国队与巴西队被分在同一小组”,则事件A的对立事件;“中国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有种方法,即基本事件总数为,其中中国队与巴西队被分在两个小组有种可能, 根据对立事件的概率加法公式 解二:设巴西队已被分在某组,中国队此时面临7种可能位置,其中与巴西同组的位置有3种,故两队同组的概率为.答:中国队与巴西队被分在同一组的概率为.16(12分) 证明: (1)取PD中点E,连接NE、AE,则四边形MNEA是平行四边形,所以MN/AE,所以MN/平面PAD(2)连接AC、BD交于O,连接OM、ON,因为ON/PA,所以ON平面ABCD,因为OMAB,由三垂线定理知,MNAB;(3)PA面AC,AD是PD在面AC内的射影,CDAD CDPD PDA是二面角P-CD-B的平面角.当=45时,AEPD,AECD,AE面PCD MNAE MN面PCD,PC面PCD, MNPC,又由(2)知MNAB,MN是AB与PC的公垂线.17(12分) 解:每个人上网的概率为0.5,作为对立事件,每个人不上网的概率也为0.5,在6个人需上网的条件下,r个人同时上网这个事件(记为Ar)的概率为:P(Ar)=式中r=0,1,2,6第(1)问的解法一 应用上述记号,至少3人同时上网即为事件A3+A4+A5+A6,因为A3、A4、A5、A6为彼此互斥事件,所以可应用概率加法公式,得至少3人同时上网的概率为P=P(A3+A4+A5+A6)= P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(20+15+6+1)=解法二 “至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”,即事件A0+A1+A2,因为A0,A1,A2是彼此互斥的事件,所以至少3人同时上网的概率为P=1P(A0+A1+A2)=1P(A0)+P(A1)+P(A2)=1()=1(1+6+15)=第(2)问的解法:记“至少r个人同时上网”为事件Br,则Br的概率P(Br)随r的增加而减少,依题意是求满足P(Br)0.3的整数r的值,因为P(B6)=P(A6)=0.3,P(B5)=P(A5+A6)= P(A5)+P(A6)=()=0.3因为至少4人同时上网的概率大于0.3,所以至少5人同时上网的概率小于0.3 18(12分) 解:5把钥匙,逐把试开有种等可能的结果 (1)第三次打开房门的结果有种,因此恰好第三次打开房门的概率P(A)= (2)三次内打开房门的结果有3种,因此所求概率P(A)= (3)解法一 因5把内有2把房门钥匙,故三次内打不开的结果有种,从而三次内打开的结果有种,所求概率P(A)= 解法二 三次内打开的结果包括:三次内恰有一次打开的结果有种;三次内恰有2次打开的结果有种,因此,三次内找开的结果有+,所求概率P(A)=19(14分)解:末三项的二项式系数分别为:,由题设得:+=121 即+=121,n2+n240=0 n=15(n=16) (n=16舍去) 当n=15时,二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分别为C37x7与C38x8展开式通项Tr+1= C(3x)r= C3r xr 设Tr+1项系数最大,则有3r3r13r3r+1 解得11r12, 展开式中系数最大的项为T12= C311x11,T13= C312x12 20(14分) 解:(1)正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线的长为(2)如图1,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1 的位置,连结MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线. 设PC=x,则P1C=x在中,由勾股定理得: 解得: (3)如图2,连接,则就是平面NMP与平面ABC的交线. 作于H,又平面ABC,连结CH 由三垂线定理得: NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角) 在中, 在中, 故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为
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