2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线

2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析一、选择题1二、填空题3三、大题51、 选择题【浙江卷】2椭圆的离心率是ABCD【解析】，选B.【全国1卷（理）】10.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A16 B14 C12 D10【解析方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案】设倾斜角为作垂直准线，垂直轴易知同理， 又与垂直，即的倾斜角为而，即，当取等号 即最小值为，故选A【全国卷（理）】9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A2 B C D【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为得，【全国III卷（理）】5.已知双曲线C: (a0,b0)的一条渐近线方程为,且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为( )A. B. C. D. 【解析】双曲线的一条渐近线方程为，则又椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则由解得，则双曲线的方程为，故选B.【全国III卷（理）】10.已知椭圆C：，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为( )A. B. C. D.【解析】以为直径为圆与直线相切，圆心到直线距离等于半径，又，则上式可化简为，可得，即，故选A【天津卷】（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A. B.C.D.【解析】由题意得 ，故选B.二、填空题【全国1卷（理）】15.已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若MAN=60，则C的离心率为_.【解析】如图， ， 又，解得 【全国2卷（理）】16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，又由定义，且，【北京卷】（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_.【解析】.【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是 .【解析】右准线方程为，渐近线为，则，则.【山东卷】14.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .三、大题【全国I卷（理）】20.（12分）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.20.解：（1）根据椭圆对称性，必过、又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点将代入椭圆方程得，解得， 椭圆的方程为：（2）当斜率不存在时，设得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设联立，整理得, 则又，此时，存在使得成立直线的方程为当时， 所以过定点【全国II卷（理）】20. （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 解：设，易知又，又在椭圆上，即设点，由已知：，设直线：，因为直线与垂直故直线方程为，令，得，若，则，直线方程为，直线方程为，直线过点，为椭圆的左焦点【全国III卷（理）】20.（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解:(1)显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设，联立：得，恒大于，即在圆上(2)若圆过点，则化简得解得或当时，圆心为，半径则圆当时，圆心为，半径则圆【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A为线段BM的中点.（18）解：（）把P（1,1）代入y2=2Px得P=C:y2=x，焦点坐标（，0），准线：x=-.（）设l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由题知A(x1，x1)，B(x1，)k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1x2=.由x1+x2=，x1x2=，上式A为线段BM中点.【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.17.解:（1）椭圆E的离心率为，.两准线之间的距离为8，.联立得，故椭圆E的标准方程为.（2）设，则，由题意得，整理得，点在椭圆E上，故点P的坐标是.【江苏卷】B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A= ，B=.(1) 求AB;(2)若曲线C1; 在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程.B.解:（1）AB=.（2）设是曲线上任意一点，变换后对应的点为，所以，即，因为在曲线上，所以即曲线C2的方程.【山东卷】（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（）求椭圆的方程；（）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.（21）解：（I）由题意知 ，所以 ，因此 椭圆的方程为.（）设，联立方程得，由题意知，且，所以 .由题意知，所以由此直线的方程为.联立方程得，因此 .由题意可知 ，而，令，则，因此 ，当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此，所以最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.【天津卷】（19）（本小题满分14分）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.（19）（）解：设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.所以，直线的方程为，或.【浙江卷】21（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（）求直线AP斜率的取值范围；（）求的最大值.21解：（）由题易得P（x，x2），-x，故kAP=x-（-1,1），故直线AP斜率的取值范围为（-1,1）.（）由（）知P（x，x2），-x，故=（-x，-x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BP：y=，由 故 ，又 ，故，即，令，则，当时，当时，故，即的最大值为.