五年级数学基本概念.doc

以下是小学数学基本概念，标红部分是五年级及以前应掌握的基本概念，请家长督促孩子背下来并多做练习。第一部分 数与代数数的知识【知识解读】一、整数1、整数的计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿都是整数的计数单位。每相邻的两个计数单位间的进率都是10，也就是10个较低的单位等于相邻的一个较高的单位。这样的计数法叫做十进制计数法。2、整数的数位和位数在计数时，计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。如：2008中的“2”在右起第四位，即“2”所在的数位是千位。位数是指一个数用几个数字写出来（最左边的数字不是0），有几个数字就是几位数，或者说，一个自然数含有几个数位，就是几位数。如：1356含有四个数位，则1356就是四位数。3、整数的读法和写法按照我国的读数习惯，采用四位分级法，即从个位起，每四个数位作为一级。个、十、百、千四位称为个级；万、十万、百万、千万四位称为万级；亿、十亿、百亿、千亿四位称为亿级，等等。个级、万级、亿级称为数级。读整数时，从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加上“亿”字、“万”字就可以了，每一级末尾的0都不读出来，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读出一个零。写整数时，从高位到低位，一级一级地写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数为上写0.4、整数的改写和近似数 整万、整亿数的改写，就是把万后面的4个0或亿后面的8个0省略，换成一个“万”或“亿”字。如果要改写的多位数不是整万或整亿的数改写的方法就是：在万位或亿位数字的右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，再在小数后面加“万”或“亿”字作单位。生活中一些事物的数量，有时不用精确地数表示，而只用一个与它比较接近的数来表示，这样的数是近似数。求近似数地方法一般有以下三种：四舍五入法：是指要求精确的某一位，后一位数如果是4或比4小的就舍去；如果是5或比5大，就向前一位进1。进一法：在截取近似数时，不管多余部分上的数是多少，都向前一位进1。去尾法：在截取近似数时，不管多余部分上的数是多少，一概去掉。5、整数比较大小比较两个整数的大小，整数数位多的数比较大；整数数位相同的，要从高位依次看相同数位上的数字，相同数位上的数字大的数比较大。6、整数的分类(1)自然数：在数物体时，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。1是自然数的基本组成单位。自然数即可以表示事物的多少（基数），也可以表示事物的次序（序数）。自然数“0”的含义：自然数“0”表示没有，仅是最初的含义。随着社会的不断进步和数学研究的不断深入，人们对“0”的认识也有了发展。“0”不仅表示“没有”，而且具有比较确定的内容。例如：“今天的气温是0摄氏度”，并不是说今天没有温度，而是表示在标准大气压时，冰水混合物的温度；在运用测量工具时，“0刻度线”是测量的起点；在写数运算时，“0”还有占位的作用。数字的含义及种类表示数目的书写符号叫做数字。常见的数字有三种：中国数字、阿拉伯数字、罗马数字。中国数字是我国常用的数字。分小写和大写两种。小写是：0、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿等；大写是：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿等。阿拉伯数字是：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，这是世界各国通用的数字，也是数学中常用的数字。罗马数字是罗马人创造的计数符号。共有七个计数符号：表示1，表示5，表示10，L表示50，表示100，D表示500，表示1000。由于罗马数字计数不方便，现在已很少使用。（2）负整数以前我们学过的5、6、3、300这样大于0的数都是正数，正数前面也可以加“+”号，如+5，+6，+3，+，+300。而像-16，-321，-，-0.7这样小于0的数都是负数。负数前面“-”称为负号。0在正数和负数之间，它既不是正数，也不是负数。像-1、-2、-3、-99这样的数是负整数。7、数的整除因数和倍数 如果自然数a和自然数b的乘积是自然数c，即ab=c，那么a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。(注：这里的自然数不包括0)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。因数和倍数的关系：因数和倍数是两个不同的概念，但又是相互依存，不能单独存在。找一个数的因数的方法：列乘法算式或列除法算式，（一对一对的找）。找一个数的倍数的方法：就是用这个数，依次与非零的自然数相乘所得的数就是这个数的倍数，（一倍一倍的找）。2、5、3和其他数的倍数特征2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。3的倍数特征：一个数的各数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位是0或5的数，都是5的倍数。9的倍数特征：一个数的各数位上的数字和是9的倍数，这个数就是9的倍数。4或25的倍数的特征：如果一个数的末两位数字所表示的数是4或25的倍数，那么这个数就是4或25的倍数。8或125的倍数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数是8或125的倍数，那么这个数就是8或125的倍数。10、7、11、13的倍数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字组成的差是7或11或13的倍数，那么这个数就是7或11或13的倍数。 奇数、偶数自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2倍数的数叫做奇数。 奇数、偶数的性质：（1）奇数+奇数=偶数 （2）奇数-奇数=偶数 （3）偶数+偶数=偶数（4）偶数-偶数=偶数 （5）奇数+偶数=奇数 （6）奇数-偶数=奇数（7）偶数-奇数 =奇数 （8）奇数奇数=奇数 （9）偶数偶数=偶数（10）奇数偶数=偶数质数（素数）、合数与分解质因数质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫做素数）；（质数只有两个因数）合数：一个数如果除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫做合数。（合数最少有3个因数）。1只有一个因数，所以1既不是质数，也不是合数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。如：30=235，其中2、3、5本身是质数，又是30的因数，所以2、3、5都是30的质因数。分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 分解质因数的方法：对于一个较小的数，可采用塔内分解图进行分解。短除法：把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。（4）公因数和最大公因数公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。互质数的意义：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两个数互质的特殊判断方法：1和任何大于1的自然数互质。 2和任何奇数都是互质数。相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数是互质数。不相同的两个质数是互质数。当一个数是合数，而另一个数是质数时，（除了合数是质数倍数情况下）。一般情况下这两个数也是互质数。公倍数最小公倍数（5）公倍数最小公倍数的意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做最小公倍数。（6）求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：特殊方法： 如果两个数中的较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公因数就是1。最小公倍数是这两个数的积。 一般地，求几个数的最大公因数、最小公倍数通常用短除法。用短除法求几个数的最大公因数：一般先用这几个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来。用短除法求几个数的最小公倍数：一般先用这几个数公有的质因数去除，然后用任意两个数的公因数去除，直到所有的商两两互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。最大公因数最小公倍数=两个数的乘积。分解质因数法：18和30的最大公因数是=23=6 或（18,30）=23=618和30的最小公倍数是=2335=90 或18,30=2335=90二、 小数1、小数的意义把整数“1”平均分成10份、100份、1000份、这样的一份或几份是十分之一、百分之一、千分之一或十分之几、百分之几、千分之几写成不带分母的形式的数，叫做小数。2、小数的位数和计数单位同整数一样，小数的计数单位也是按照一定的顺序排列起来的，它们所占的位置叫做小数的数位。小数的小数部分按从左往右的顺序，十分位的计算单位是十分之一（或0.1）、百分位的计数单位是百分之一（或0.01）；千分位的计数单位是千分之一（或0.001）；万分位的计数单位是万分之一（或1.0001）每相邻两个计数单位间的进率都是十。小数部分最高位十分位上的计数单位十分之一，它与整数部分最低位个位上的计数单位一（或个）之间的进率也是十。 3、小数的读法和写法（1）直接读法：读小数一般采用直接读法。读小数时，整数部分按照整数读法去读，整数部分是0的，就读作零；中间的小数点读作“点”；小数部分按照从左往右的顺序依次读出每一个数位上的数字，小数部分的“0”要一个不少地全部读出来。（2）间接读法：小数还有一种“分数读法”，例如：0.7可读作十分之七，3.57可以读作三又百分之五十七，这种读法有利于理解小数的意义。写法：写小数时，要先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分。整数部分按照整数写法来写，整数部分是零的写作“0”；然后把小数点点在个位的右下角；小数部分从十分位起，由高位到低位依次写出每一个数位上的数字；例如：零点四七写作：0.47，一千零五点零零三六写作：1005.0036.4、小数的性质小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。这叫做小数的性质。根据这个性质，可以把小数化简。例如：1.800=1.8；也可以根据需要在小数的末尾添上“0”；还可以在整数个位的右下角点上小数点再添上“0”，把整数写成小数形式。例如：3=3.000；小数的大小不变，计数单位从“一”变成了“0.001”。即：3个“一”等于3000个“0.001”。5、小数点位置移动引起小数大小的变化（1）小数点向右移动一位，小数就扩大到原数的10倍。（2）小数点向右移动两位，小数就扩大到原数的100倍。（3）小数点向右移动三位，小数就扩大到原数的1000倍。（4）小数点向左移动一位，小数就缩小到原数的。（5）小数点向左移动两位，小数就缩小到原数的。（6）小数点向左移动三位，小数就缩小到原数的移动小数点时，如果位数不够时就用0补足。6、小数的分类按照整数部分分类 纯小数：一个整数部分是零的小数叫做纯小数。 带小数：一个整数部分不是零的小数叫做带小数或混小数。按照小数部分分类 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。无限小数：小数部分的位数是无限的小数。无限小数又可以分为循环小数和无限不循环小数。小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。7、小数大小的比较比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大8、小数的近似数求一个小数的近似数，同求整数的近似数相似，根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数。主要看要求精确的某一位后面是满5，还是小于5，如果满5就像前一位进一，小于5，则直接舍去。 三、分数1、 分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。其中的一份的数，叫做分数单位。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示有这样的多少份的数，叫做分数的分子；2、分数的分类（1）真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。如:,，（2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。如：， （3）带分数：一个假分数，如果分子不是分母的倍数，它就可以写成由一个整数（不包括0）和真分数合成的分数，叫做带分数。如可以写成3。（4）真分数和假分数互化假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母。当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；分子不是分母倍数，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。把整数化成假分数用指定的分母作分母，用分母和整数的乘积做分子。把带分数化成假分数：用原来的分母作分母，用分母和整数的乘积再加上原来的分子作分子。3、分数的读法和写法（1）分数的读法在读真分数和假分数是先读分母，再读分之，最后读分子。 在读带分数时，先读带分数的整数部分，再读分数部分，并在两者之间加读“又”字。（2）分数的写法写真分数或假分数时，先写出分数线，再写分母，后写分子。写带分数时，先写带分数的整数部分，后写分数部分。被除数(分子）（分数线） 除数（分母） = 商（分数值）注：因为零不能作除数，因此所有分数的分母不能为0。 5、分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。 （1）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（2）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。（3）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数做分母的数。6、分数大小比较：（1）同分母分数的大小比较分母相同的两个分数相比，分子大的分数比较大。（2）同分子分数的大小比较分子相同（0除外）的两个分数相比，分母小的分数比较大。（3）分子、分母都不相同得分数的大小比较分子、分母都不相同得分数比较大小，一般先通分再比较，也可以把各分数化成小数再比较。四、百分数1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，百分数也叫做百分率或百分比。2、百分数的读法和写法百分数的读法与分数的读法相同，先读分母，再读分子。一个百分数，百分号“%”前面的数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。如：21%读作百分之二十一。百分数通常不写成分数形式，而用百分号“%”来表示。如：百分之七十八写作78%。3、成数和折扣（1）成数：“成”表示十分之一，成数就是十分之几。（2）折扣：折表示十分之几，化成百分数就是百分之几十。 4、税率和利率纳税是根据国家的有关规定，按照一定的比率把集体或个人的收入的部分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税额。应纳税额与各种收入的比率叫税率。人们常把暂时不用的钱存入银行，存款分为活期、整存整取和零存整取等方式。存入银行的钱叫做本金，取款时银行多付的钱叫做利息。利息=本金利率时间。数的运算 一、四则运算的意义 加、减法的意义 数的 分类运算名称整数小数分数加法把两个数合并成一个数的运算。与整数加法的意义相同。与整数加法的意义相同。减法已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。与整数减法的意义相同。与整数减法的意义相同。乘法求几个相同加数和的简便运算1、小数乘整数与整数乘法的意义相同。2、一个数乘小数表示求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。2、一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。除法已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。与整数除法的意义相同。与整数除法的意义相同。 二、四则运算的法则1、加减法的运算法则： 二、四则运算的法则1、加减法的运算法则：同单位相加减，单位不变，单位的个数相加减整数小数分数1、相同数位对齐；2、从个位算起；3、加法中满几十就向前一位进几；减法中不够减时，就从前一位借，借几当几十。1、相同数位对齐（小数点对齐）；2、从低位算起；3、按照整数加、减法的法则进行计算；4、结果中的小数点和相加减数的小数点对齐。1、同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。2、异分母分数相加减，先通分，然后计算。3、计算的结果，能约分的要约分。 2、乘除法的运算法则：整数小数分数乘法1、从个位起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数。2、用第二个因数去乘，得数的末位就要和第二个因数的那一位对齐。3、再把每次乘得的得数加起来。1、按照整数乘法的法则求出积。2、看因数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点。1、分数乘分数用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。2、有整数的把整数看成分母是1的假分数。3、有带分数的，通常先把带分数化成假分数。除法除法是整数的除法：从被除数的高位起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位。除到哪一位就要把商就写在那一位上面。商的小数点和被除数的小数点对齐。除数是小数的除法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补0），然后按照除数是整数的除法进行计算。甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数注意：因数是整十、整百或整千的多位数乘法，先用这些数十位、百位或千位上的数去乘，然后在乘得的数末尾添上一个0、两个0或三个0 4、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。三、四则运算各部分之间的关系加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数 被减数减数差 被减数减数差 减数被减数差 因数因数=积 一个因数=积另一个因数被除数除数商 被除数除数商 除数被除数商有余数的除法： 被除数商除数+余数除数=（被除数-余数）商 四、四则运算的顺序四则运算分为两级。加、减法叫做第一级运算，乘、除法叫做第二级运算。运算顺序：在一个没有括号的算式里，如果只有同一级运算，按照从左往右的顺序计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的。五、运算定律 定 律内 容字母表示交换律加法两数相加交换加数的位置，和不变。a+b=b+a乘法两数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba结合律加法三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或先把后两个数相加，再同第一个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)乘法三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。(ab) c=a (bc)乘法分配律两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。（a+b）c=ac+bc六、运算性质名称内容字母表示及推广减法性质一个数减去两个数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数。a- (b+c) =a-b-ca- b-c =a-(b+c)一个数减去两个数的差，等于先从这个书中减去差里的被减数，然后再加上减数。a- (b-c) =a-b+ca- b+c =a- (b-c)a+ b-c =a+ (b-c)除法性质一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积里的两个因数。a(bc) = abca(bc)= ac(ab)c= ac bc七、和、差、积、商的变化规律和、差、积、商的变化规律字母表示和加法中，加数增加（或减少）一个数，和也随着增加（或减少）同一个数。当一个加数增加一个数，另一个数减少同一个数时，和不变。a+b = c(am) +b = cm(a+m) +(b-n) = c+m-n(a+m) +(b-m) = c差减法中，被减数加上（或减去）一个数，减数不变，差也随着增加（或减少）同一个数。被减数不变，减数加上（或减去）一个数，差反而减少（或增加）同一个数。当一个被减数和减数都加上（或减去）同一个数，它们的差不变。a-b = c(am) -b = cma-(b+m) = c - ma-(b-m) = c + m(am) +(bm) = c积乘法中，因数乘上（或除以）一个数（不为0），积也随着乘上（或除以）这个数。当一个因数乘上（或除以）一个数（不为0），另一个因数除以（或乘上）这个数时，他们的积不变。ab = c(am) +(bn) = cmn(am) +(bm) = c商除法中，被除数乘上（或除以）一个数（不为0），除数不变，商也随着乘上（或除以）这个数。被除数不变，除数乘上（或除以）一个数（不为0），商则除以（或乘以）这个数。被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外）商不变。ab= c(am) b= cm(am) b= cma(bm)= cma(bm)= cm(am) (bm) = c(am)(bm) = c 八、常用的简算的方法1、分组法：根据运算定律，运算形式，以及和、差、积、商的一些性质，对算式中的运算进行重新整合，使之便于计算。例如：6324-（789-676） 52524 =（6324+676）-789 =（52）（254）2、补数凑整法：对于算式中接近整十、整百、的数，有时补上一个数，使其变成整十、整百、的数，可以简算。例如：（1）536-198 （2）4499 =536-200+2 =44100-443、 基准数法：若干个都接近某数的数相加。可以把某数作为基准数，然后把基准数与相加数的个数相乘。再加上各数与基准数的差，就可以得到计算的结果。 例如：31+35+32+28+29 =305+（1+5+2-2-1） 4、分解法：在某些乘除算式中，可以把其中的某个数进行恒等变形，使计算简便。例如：（1）251.2532 （2） 56035=251.25（48） =560（75） =（254）（1.258） =560755、转化法：某数乘或除以5、25、125，可以用（102），（1004），（10008）代替5、25、125，然后计算，一个数除以另一个不为0的数，可以化为乘这个数的倒数等。 6、公式法：对于成等差数列的数字之和，可以用公式（第一个数+最后一个数）数字个数2计算。例如：2+4+6+8+200=（2+200）1002九、有关“0”和“1”的运算1、“0”的运算特点：（1）0与任何数相加仍等于任何数。 a+0= a（2）任何数减去0仍得原数。 a- 0= a（3）任何数减去它本身，差为0. a- a = 0（4）0与任何数相乘，积必定是0. 0a=0或a0=0（5）0除以任何非0的数，商都是0. 0a=02、“1”的运算特点：（1）1与任何数相乘，积等于任何数。 1 a= a或a1= a（2）任何数除以1，商等于任何数。 a 1= a（3）两个相同的数相除等于1. a a = 1 （4）1除以任何一个等于这个数的倒数。 1a =（ a0）