高一数学暑假课程第6讲-函数与方程

寒假课程高一数学第六讲 函数与方程一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式 二、知识梳理：方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数把使成立的实数叫做函的零点.2.函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3.二次函数的零点：二次函数时，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点 三、方法归纳：1、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理. 四、课堂例题精讲：1.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是_答案：和解析：由题意，得，解得.，令，很容易得到其零点为和.2.求函数零点的个数为 .答案：3解析：因，又显然有两个实数根，故共三个零点.3.已知的图象如图所示，今考虑，则方程有三个实根；当时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；当时，恰有一实根；当时，恰有一实根；当时，恰有一实根则正确结论的编号为.答案：解析：，即，在内有一个实根由图中知，方程在上只有一个实根，所以正确；又，由图知在上没有实数根，所以不正确；又，即，所以在上必有一个实根，又，在上也有一个实根在上有两个实根，不正确；由且在上是增函数，在上没有实根不正确并且由此可知也正确4.若函数（且）有两个零点，则实数a的取值范围是 .答案：解析：设函数且）和函数，则由函数（且）有两个零点，知函数且）与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，函数的图象过点，而直线所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.5.当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：（1）方程的两根都小于；（2）方程至少有一个实根小于解析：（1）当时，满足题意 当时，设. 若要方程两根都小于1，只要 综上，方程的根都小于1时，（2）设，若方程的两个实根都小于，则有 若方程的两个根一个大于，另一个小于，则有，若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为， 综上，方程至少有一实根小于时，6.已知二次函数和一次函数，其中，且，（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；（2）求线段在轴上投影长度的取值范围解析：（1），由 得，因为，所以两函数、的图象必交于不同的两点；（2）设，则 ，（，）7.关于x的二次方程在区间上有解，求实数m的取值范围解析：设，若在区间上有一解，则应有，又，解得.若在区间上有两解，则，即，解得由可知.五、课堂训练：1.已知函数有零点，则a的取值范围是_答案：解析：设，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案.2.设全集为R，集合，集合关于x的方程的根一个在上，另一个在上. 求（RA）（RB）.解析：由，即，RA又关于x的方程 的根一个在上，另一个在上，设函数，则满足，（RA）（RB）3.设与分别是实系数方程和的一个根，且 ，求证：方程有且仅有一根介于和之间.解析：令由题意可知故则因为，即方程有且仅有一根介于和之间.4.已知函数有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点解析：有且仅有一个零点，即方程仅有一个实根设，则.当0时，即m240，当m2时，t1；m2时，t1（不合题意，舍去），2x1，解得x0符合题意当0时，即m2或m0的解集是_3.若函数的零点个数为，则_.4.当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围： （1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程的两根都在区间上；（3）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；5.已知a是实数，函数f（x）2ax22x3a.如果函数yf（x）在区间1，1上有零点，求a的取值范围参考答案：1.或2. 解析：f（x）x2axb的两个零点是2，3.2，3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知，f（x）x2x6.不等式af（2x）0，即（4x22x6）02x2x30，故解集为3. 答案：3解析：作出函数与函数的图象，发现它们恰有个交点.4. 解析：（1）设，其图象为开口向上的抛物线若要其与轴的两个交点在点的两侧，只需，即， （2）设则方程两个根都在 上等价于： （3）设，则方程一个根在上，另一根在上等价 或5.解析：当时， ，显然在上没有零点， 所以 .令， 解得 当 时， 恰有一个零点在上； 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时， 则 或解得或.综上所求实数的取值范围是或.7