2010年部分省市中考数学试题分类汇编-二次函数.doc

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 二次函数21、（2010年浙江省东阳县）如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）【关键词】二次函数的应用【答案】（1）y= （2）y=0, x=6+413 （3）设y= m=13+218 y=0, x=18223 再向前跑10米yxCAOB第20题1、（2010年宁波市）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求ABC的面积。【关键词】二次函数【答案】解：（1）把A（2，0）、B（0，6）代入得：解得这个二次函数的解析式为（2）该抛物线对称轴为直线点C的坐标为（4，0）10(2010年安徽省芜湖市)二次函数yax2bxc的图象如图所示，反比例函数y 与正比例函数y（bc）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）A B C D【关键词】二次函数、一次函数、反比例函数图像的性质【答案】B20(2010年安徽省芜湖市)（本小题满分8分）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积解：【关键词】二次函数的应用【解】根据题意可得：等腰直角三角形的直角边为cm，矩形的一边长为cm其相邻边长为2分该金属框围成的面积=（）【此处未注明的取值范围不扣分】4分当时, 金属框围成的面积最大，此时矩形的一边是（m）,相邻边长为(m) 7分()8分答：（略）8(2010年浙江省金华). 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，3） ,那么该抛物线有（ ）A. 最小值 3 B. 最大值3 C. 最小值2 D. 最大值2【关键词】二次函数、最大值问题【答案】By(第15题图)Ox1315. (2010年浙江省金华)若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 ；【关键词】二次函数、对称轴、交点坐标【答案】-120(2010年浙江省金华)(本题8分)已知二次函数y=ax2bx3的图象经过点A（2，3），B（1，0） （1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 个单位 【关键词】二次函数、二元一次方程组、根的判别式【答案】(1)由已知，有，即，解得所求的二次函数的解析式为.(2) 410（2010年浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为()yxO（第10题） A3 B1 C5 D8 【关键词】对称轴与二次函数与X轴交点关系【答案】D24（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P.（1）求点A的坐标，并判断PCA存在时它的形状（不要求说理）（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）CDP的面积为S，求S关于m的关系式。xyDACOP【关键词】二次函数、图形的平移、等腰三角形、面积等【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2点A的坐标是（2，0），PCA是等腰三角形，（2）存在。OC=AD=m,OA=CD=2，（3）当0m2时，如图2作PHx轴于H，设,A（2，0），C（m,0）,AC=m-2，AH=OH= = ,把把=代入y=-2x2+4x，得得, =CD=OA=2，（2010年广东省广州市）已知抛物线yx22x2（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小【关键词】抛物线的顶点、对称轴、描点法画图、函数增减性【答案】解：（1）x1；（1，3）（2）x10123y12321（3）因为在对称轴x1右侧，y随x的增大而减小，又x1x21，所以y1y2（2010年四川省眉山）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t，MN的长度为l求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标【关键词】抛物线、菱形、最值【答案】 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 （1分） （3分） 所求函数关系式为： （4分） （2）在RtABO中，OA=3，OB=4，四边形ABCD是菱形BC=CD=DA=AB=5 （5分）C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0） （6分）当时，当时，点C和点D在所求抛物线上 （7分）（3）设直线CD对应的函数关系式为，则解得： （9分）MNy轴，M点的横坐标为t，N点的横坐标也为t则， ，（10分）， 当时，此时点M的坐标为（，） （12分）25(2010年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数x1234价格y（元/千克）22.22.42.6进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x所满足的函数关系式，并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为，5月份的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第周仅上涨若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出的整数值（参考数据：，）【答案】解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为.把和分别代入，得 解得五月份y与x满足的函数关系式为（2）设4月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为元.-0.050，随x的增大而减小.当时，最大=-0.05+0.6=0.55.=对称轴为且-0.050，x-0.5时，y随x的增大而减小.当x=1时，最大=1.所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元.（3）由题意知：整理，得.解得.，而1529更接近1521，.（舍去）或.答：的整数值为8.5（2010江苏泰州，5，3分）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【关键词】一次函数、反比例函数、二次函数的增减性27（2010江苏泰州，27，12分）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点求的值；如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）【答案】 抛物线经过点D()c=6.过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：SABC=SADC DE=BF 又DME=BMF， DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即AC平分BD c=6. 抛物线为A（）、B（）M是BD的中点 M（）设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点解得直线AC的解析式为.存在设抛物线顶点为N(0，6)，在RtAQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得AQPABP【关键词】二次函数、一次函数、解直角三角形及其知识的综合运用第24题图(2010年浙江省绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是2. （1）求的值及点B的坐标； （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点的直线为,且与x轴交于点N. 若过DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标； 若与DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.【答案】解：（1） 点A在抛物线C1上， 把点A坐标代入得 =1. 抛物线C1的解析式为, 设B(2,b)， b4, B(2,4) . （2）如图1， M(1, 5)，D(1, 2), 且DHx轴， 点M在DH上，MH=5. 过点G作GEDH,垂足为E,第24题图1由DHG是正三角形,可得EG=, EH=1， ME4. 设N ( x, 0 ), 则 NHx1,由MEGMHN,得 , , , 点N的横坐标为 第24题图2 当点移到与点A重合时,如图2，直线与DG交于点G,此时点的横坐标最大过点,作x轴的垂线,垂足分别为点,F,设（x，0）， A (2, 4), G (, 2), NQ=，F =, GQ=2, MF =5. NGQNMF， ,第24题图3图4 , . 当点D移到与点B重合时,如图3，直线与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小. B(2, 4), H(2, 0), D(2, 4),设N（x，0）， BHNMFN， ， , . 点N横坐标的范围为 x. （2010年宁德市）（本题满分12分）如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，与直线交于A、D两点。直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标.则点落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？yx0D(5,-2)CBA图1图2-13【答案】解： A点坐标：(3，0)，C点坐标：C(4，0)；直线AD解析式：. 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）：第一次第二次11341（1，1）（1， 1）（1，3）（1，4）1（1，1）（1， 1）（1，3）（1，4）3（3，1）（3， 1）（3， 3）（3， 4）4（4，1）（4， 1）（4， 3）（4， 4）总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图1中抛物线与直线围成区域内的结果有7种：（1，1），（1，1），（1，1），（1，3），（3，1），（3，1），（4，1）. 因此P（落在抛物线与直线围成区域内）.（注：落在抛物线与直线围成区域内的点列举错误1个扣1分，2个及2个以上扣2分。由点列举错误引起概率计算错误不扣分。）（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，BC6，AD3，DCB30.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边EFG设E点移动距离为x（x0）.EFG的边长是_（用含有x的代数式表示），当x2时，点G的位置在_；若EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求当0x2时，y与x之间的函数关系式；当2x6时，y与x之间的函数关系式；探求中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.B E F CA DG【答案】解： x，D点； 当0x2时，EFG在梯形ABCD内部，所以yx2；分两种情况：.当2x3时，如图1，点E、点F在线段BC上，EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，FNCFCN30,FNFC62x.GN3x6.由于在RtNMG中，G60，所以，此时 yx2（3x6）2.当3x6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，EFG与梯形ABCD重叠部分为ECP，EC6x,y（6x）2.当0x2时，yx2在x0时，y随x增大而增大，x2时，y最大；当2x3时，y在x时，y最大；当3x6时，y在x6时，y随x增大而减小，x3时，y最大.B E C FA DGPH图2综上所述：当x时，y最大.B E F CA DGNM图121（8分）（2010年浙江省东阳市）如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）【关键词】二次函数 【答案】（1）y= （3分） （2）y=0, x=6+4132分 （3）设y= m=13+218 y=0, x=18223 再向前跑10米3分23（10分）（2010年浙江省东阳市）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸。A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元。探究1：如果木板边长为2米，FC1米，则一块木板用墙纸的费用需 元；探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（73平方米）进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板 块。【关键词】二次函数 最值【答案】（1）220 2分（2）y=20x220x+60 2分当x=时，y小=55元。1分（3）y=20x220ax+60a2 2分 当x=a时，1分21块 2分1.（2010年四川省眉山市）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t，MN的长度为l求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标【关键词】抛物线、直线的关系式、菱形的性质【答案】解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 所求函数关系式为： （2）在RtABO中，OA=3，OB=4，四边形ABCD是菱形BC=CD=DA=AB=5 C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）当时，当时，点C和点D在所求抛物线上 （3）设直线CD对应的函数关系式为，则解得： MNy轴，M点的横坐标为t，N点的横坐标也为t则， ， 当时，此时点M的坐标为（，）26. (2010重庆市潼南县)如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1-2分二次函数的解析式为 -3分（2）设点D的坐标为（m，0） （0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， -4分DE=-5分CDE的面积=m=当m=1时，CDE的面积最大点D的坐标为（1，0）-8分（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为设y=0则 解得：x1=2 x2=1点B的坐标为（1，0） C（0，1）设直线BC的解析式为：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直线BC的解析式为: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=点B(1,0) 点C（0，1）OB=OC BCO=450当以点C为顶点且PC=AC=时，设P(k, k1)过点P作PHy轴于HHCP=BCO=450CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）-10分以A为顶点，即AC=AP=设P(k, k1)过点P作PGx轴于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2（2k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) -11分以P为顶点，PC=AP设P(k, k1)过点P作PQy轴于点QPLx轴于点LL(k,0)QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) -12分综上所述： 存在四个点：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)（2010年日照市）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 （本题满分10分） 解：（1）在RtAOC中，AOC=30 o ，OA=8，AC=OAsin30o=8=， OC=OAcos30o=8=12点A的坐标为（12，） 2分设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得： =12k ，k= ，OA的解析式为y=x； 4分(2) 顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，6分把点O的坐标代入得：0=a（0-9）+12，解得a= ，抛物线的解析式为y= (x-9)+12 及y= x+ x； 8分(3) 当x=12时，y= ，小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 .答案：1x3 ; 25（2010年湖北黄冈市）（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.（2010年湖北黄冈市）（11分）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程平均速度时间）；（3）如图b，直线xt（0t135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系. 图a图b （1）（2）2.510+5120+25635（米）（3）(4)相等的关系（2010年湖北黄冈市）若函数，则当函数值y8时，自变量x的值是（）AB4C或4D4或14.D7. （2010年安徽中考） 若二次函数配方后为则、的值分别为（ ）A）0.5 B）0.1 C）4.5 D）4.1【关键词】二次函数【答案】D23（2010年浙江省东阳市）（10分）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸。A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元。探究1：如果木板边长为2米，FC1米，则一块木板用墙纸的费用需 元；探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（73平方米）进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板 块。【关键词】二次函数、正方形【答案】 2分（2）y=20x220x+60 2分当x=时，y小=55元。1分（3）y=20x220ax+60a2 2分 当x=a时，1分21块 2分22. （2010年安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第天（且为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第天的收入（元）与（天）之间的函数关系式？（当天收入日销售额日捕捞成本）试说明中的函数随的变化情况，并指出在第几天取得最大值，最大值是多少？【关键词】二次函数【答案】解：（1）解：该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10kg.（1） 解：由题意，得（3）解：又且x为整数，当时，y随x的增大而增大当时，y随x的增大而减小当x=10时，即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元。1、（2010年宁波市）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求ABC的面积。yxCAOB第20题【关键词】二次函数【答案】解：（1）把A（2，0）、B（0，6）代入得：解得这个二次函数的解析式为（2）该抛物线对称轴为直线点C的坐标为（4，0）2. (2010年兰州市)二次函数的图像的顶点坐标是 A（-1，8） B（1，8） C（-1，2） D（1，-4）【关键词】二次函数【答案】A3. (2010年兰州市)抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2【关键词】二次函数【答案】B4. (2010年兰州市)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.【关键词】二次函数【答案】3. (2010年兰州市)（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由图1 第28题图 图2【关键词】二次函数【答案】 解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为1分由得当x=2时，该抛物线的最大值是4. 2分（2） 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得 ，解得所以直线ME的关系式为y=-2x+8. 3分由已知条件易得，当时，OA=AP=，4分 P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. 21世纪教育网 当时，点P不在直线ME上. 5分以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， OA=AP=t. 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) 6分 AN=-t 2+4t (0t3) , AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)0 , PN=-t 2+3 t 7分（）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD， S=DCAD=32=3. （）当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 PNCD，ADCD， S=(CD+PN)AD=3+(-t 2+3 t)2=-t 2+3 t+38分当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、29分 而1、2都在0t3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1,3）10分当t=2时，此时N点的坐标（2,4）11分说明：（）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（），只有1.(2010福建泉州市惠安县)如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点（1）求抛物线的顶点坐标；(2) 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由.【关键词】二次函数【答案】解：（1） = = （1，-4）； （2）由抛物线和直线可求得：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，3） OB=OC=OD=3OBD=OBC=450 又OBD=AFE，OBC=AEFAFE=AEF=450EAF=900，AE=AF AEF是等腰直角三角形2.(2010福建泉州市惠安县) 如图，把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合（如图）.现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转（旋转角满足条件：00900），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）.（1）在上述过程中，BH与CK有怎样的数量关系？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当GKH的面积恰好等于ABC面积的，求此时BH的长.图图【关键词】二次函数【答案】（1）BH=CK. 如图2，点O是等腰直角三角板ABC斜边中点 B=GCK=450 ，BG=CG由旋转的性质，知BGH=CGK BGHCGKBH=CK. （2） 由(1)易知S四边形CHGK =ABC =4，SGKH = S四边形CHGK-SKCH=4-CHCK得y = （04）当y =8=时，即=，解得=1 或=3.当GKH的面积恰好等于ABC面积的时，BH=1 或BH=3.3.(2010年山东聊城)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标xyOx1第25题ACB【关键词】二次函数【答案】设抛物线的解析式为yax2bxc，则有：解得：，所以抛物线的解析式为yx22x3.令x22x30，解得x1，x23,所以B点坐标为（3，0）.设直线BC的解析式为ykx2b,则，解得，所以直线解析式是yx3.当x1时，y2.所以M点的坐标为（1，2）.方法一：要使PBC90，则直线PC过点C，且与BC垂直，又直线BC的解析式为yx3，所以直线PC的解析式为yx3，当x1时，y4，所以P点坐标为（1，4）.方法二：设P点坐标为（1，y），则PC212（3y）2,BC23232；PB222y2由PBC90可知PBC是直角三角形，且PB为斜边，则有PC2BC2PB2.所以：12（3y）2323222y2；解得y4，所以P点坐标为（1，4）.1、（2010福建德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由图2BCOADEMyxPN图1BCO(A)DEMyx答案：（1）（2）点P不在直线ME上依题意可知：P（,），N（，）当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：=+=+=抛物线的开口方向：向下，当=，且时，=当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，=3综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值2、（2010盐城）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由AxyOB关键词：二次函数与圆答案 ：1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点(1分)当a0时，=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=x2+x+1（3分） （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PCx 轴于点C是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）（4分）以PB为直径的圆与直线AB相切于点B PBAB 则PBC=BAO RtPCBRtBOA ，故PC=2BC，（5分）设P点的坐标为(x，y)，ABO是锐角，PBA是直角，PBO是钝角，x-2BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，-4-2x=x2+x+1（6分）解之得：x1=-2，x2=-10x-2 x=-10，P点的坐标为：(-10，16)（7分）（3）点M不在抛物线上（8分）由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CMPB，且CQ=MQ QEMD，QE=MD，QECECMPB，QECE PCx 轴 QCE=EQB=CPBtanQCE= tanEQB= tanCPB =CE=2QE=22BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=Q点的坐标为(-，)可求得M点的坐标为(，)（11分）=C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上（12分）(其它解法，仿此得分)8(2010年北京崇文区) 函数y=x2-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范围是（ ）A B C D【关键词】二次函数图象及取值范围【答案】D23(2010年北京崇文区) 已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值【关键词】求二次函数解析式、与X轴交点个数、平移【答案】解：(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等所以，抛物线对称轴，所以，21世纪教育网（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0因为，=16-8=80所以，方程有两个不同的实数根，分别是 ，（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为若使抛物线的图象与轴无交点，只需 无实数解即可由=0，得又是正整数，所以得最小值为22(2010年北京崇文区) 已知抛物线经过点A（1，3）和点B（2，1）（1）求此抛物线解析式；（2）点C、D分别是轴和轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）过点B作轴的垂线，垂足为E点点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）【关键词】二次函数与动点【答案】解：（1）依题意：解得抛物线的解析式为（2）点A（1，3）关于轴的对称点的坐标是（-1，3），点B（2，1）关于轴的对称点的坐标是（2，-1）由对称性可知=由勾股定理可求AB=，所以，四边形ABCD周长的最小值是（3）确定F点位置的方法：过点E作直线EG使对称轴到直线EG成角，则EG与对称轴的交点为所求的F点设对称轴于轴交于点H，在Rt中，由HE=1，得HF=1所以，点F的坐标是（1，1）23（2010年门头沟区）已知：关于的一元二次方程（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式【关键词】二次函数与一元二次方程【答案】解：（1）=方程有两个不相等的